1驼鞭、基變換

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在二維空間中的向量[3,2]秋冰，我們可以將其看作向量伸縮再相加的結(jié)果臭胜，比如把i即[1,0]變長為3倍，把j即[0,1]變長為2倍，再相加呈础。

一個向量本沒有坐標(biāo)，之所以能夠把向量轉(zhuǎn)換成一組坐標(biāo)橱健，或者說能把向量轉(zhuǎn)換成一組有序的數(shù)而钞，是因?yàn)槲覀冊O(shè)定了一個坐標(biāo)系。

發(fā)生在向量與一組數(shù)之間的任意一種轉(zhuǎn)化拘荡，都被稱為一組坐標(biāo)系臼节。之所以上面的向量表示為[3,2]，是因?yàn)榘裪伸長為3倍、把j伸長為2倍官疲，再相加的結(jié)果袱结。平面中任意其他向量都可以表示為i和j的有向伸縮倍數(shù)，此時i和j就被稱為坐標(biāo)系的基向量途凫。

但本節(jié)想主要介紹的是基變換的概念垢夹，假設(shè)我們的朋友詹妮弗使用另一組坐標(biāo)系，即有另一組不同的基向量b1和b2维费。

那原先在我們的坐標(biāo)系中[3,2]的向量果元，使用詹妮弗的坐標(biāo)系的話批什，就不再是[3,2]了贱鄙，而是b1和b2的縮放倍數(shù)，即[5/3,1/3]:

同一個向量螃壤，使用不同的坐標(biāo)系阅畴，得到的坐標(biāo)是完全不同的倡怎，那么如何在不同的坐標(biāo)系中進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換呢？在詹妮佛的坐標(biāo)系中贱枣，她的b1和b2是[1,0]和[0,1]:

但在我們的坐標(biāo)系中监署，b1和b2分別是[2,1]和[-1,1]：

假設(shè)在詹妮佛的坐標(biāo)系中，有一個坐標(biāo)是[-1,2]的向量纽哥，那么在我們的空間中钠乏，這個向量的坐標(biāo)是什么呢？

這個向量的坐標(biāo)是-1 * b1 + 2 * b2春塌，而b1和b2在我們的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是晓避，[2,1]和[-1,1]，因此結(jié)果是[-4,1]

上面的過程用矩陣相乘來表示只壳，即：

前面介紹過俏拱，一個矩陣其實(shí)代表一個線性變換，矩陣[2,-1;1,1]的意思可以理解為吕世，將我們空間中的[1,0]彰触、[0,1]，轉(zhuǎn)換到詹妮佛空間中的[1,0]命辖、[0,1]况毅，而詹妮佛空間中的[1,0]、[0,1]尔艇，在我們空間看的話尔许，坐標(biāo)分別是[2,1]和[-1,1]。

因此將詹妮佛坐標(biāo)系下一個向量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成我們坐標(biāo)系下的坐標(biāo)终娃，只需要左乘上這個矩陣即可味廊。

相反的，如果把我們坐標(biāo)系下的一個向量的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)換成詹妮佛坐標(biāo)系下對應(yīng)的坐標(biāo)余佛，應(yīng)該是一個相反的過程柠新，因此使用對應(yīng)矩陣的逆：

因此，想要知道我們空間中[3,2]如何轉(zhuǎn)換在詹妮佛坐標(biāo)系下的坐標(biāo)辉巡，需要乘上相應(yīng)的逆矩陣：

最后再總結(jié)一下上面的過程恨憎，現(xiàn)在有兩個坐標(biāo)系，我們的坐標(biāo)系和詹妮佛的坐標(biāo)系郊楣，兩個坐標(biāo)系各有一組基向量憔恳，從各自的角度看，基向量的坐標(biāo)都是[1,0]和[0,1]净蚤，但是在我們的坐標(biāo)系中钥组，詹妮佛的基向量對應(yīng)的坐標(biāo)分別是[2,1]和[-1,1]，那么將用詹妮佛的坐標(biāo)系描述的向量轉(zhuǎn)換為用我們的坐標(biāo)系描述的相同向量今瀑，只需要左乘用我們的坐標(biāo)系來描述的詹妮佛的基向量矩陣即可：

逆矩陣則相反：

更進(jìn)一步程梦，考慮一個旋轉(zhuǎn)90度的線性變換，我們的基向量[1,0]和[0,1]放椰，變換后的坐標(biāo)分別是[0,1]和[-1,0]：

那么在詹妮佛空間中如何表示同樣的變換呢作烟？是左乘下面的矩陣么？

答案是否定的砾医，上面的矩陣是在追蹤我們所選的基向量的變化，也就是說衣厘，把我們的坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)90度得到了另一個坐標(biāo)系b如蚜，坐標(biāo)系b下的基向量用我們的坐標(biāo)系表示的話是[0,1]和[-1,0]。

那在詹妮佛坐標(biāo)系下影暴，一個向量旋轉(zhuǎn)90度后的坐標(biāo)是什么呢错邦？比如詹妮佛坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為[-1,2]的向量，首先需要轉(zhuǎn)換到我們的空間中坐標(biāo)型宙，然后在進(jìn)行旋轉(zhuǎn)90度的變換撬呢，最后在變回到詹妮佛空間中的坐標(biāo)：

三個矩陣相乘的結(jié)果，就是用詹妮佛語言描述的變換矩陣：

因此妆兑，每當(dāng)你看到A^-1MA的時候魂拦，它其實(shí)代表的是一種數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)移作用，將我們坐標(biāo)系中的一個線性變換M搁嗓，作用到另一個坐標(biāo)系中芯勘！非常神奇！