之前，我發(fā)過(guò)一篇文章裆装，通俗地解釋了梯度下降算法的數(shù)學(xué)原理和推導(dǎo)過(guò)程踱承，推薦一看倡缠。鏈接如下：
我們知道昙沦，梯度下降算法是利用梯度進(jìn)行一階優(yōu)化，而今天我介紹的牛頓優(yōu)化算法采用的是二階優(yōu)化载荔。本文將重點(diǎn)講解牛頓法的基本概念和推導(dǎo)過(guò)程盾饮，并將梯度下降與牛頓法做個(gè)比較。
1.?牛頓法求解方程的根
有時(shí)候懒熙，在方程比較復(fù)雜的情況下丘损，使用一般方法求解它的根并不容易。牛頓法通過(guò)迭代的方式和不斷逼近的思想工扎，可以近似求得方程較為準(zhǔn)確的根徘钥。
牛頓法求根的核心思想是泰勒一階展開。例如對(duì)于方程 f(x) = 0肢娘，我們?cè)谌我庖稽c(diǎn) x0 處呈础，進(jìn)行一階泰勒展開：
令 f(x) = 0，帶入上式橱健，即可得到：
注意而钞，這里使用了近似，得到的 x 并不是方程的根畴博，只是近似解笨忌。但是，x 比 x0 更接近于方程的根俱病。效果如下圖所示：
然后官疲，利用迭代方法求解，以 x 為 x0亮隙，求解下一個(gè)距離方程的根更近的位置途凫。迭代公式可以寫成：
經(jīng)過(guò)一定次數(shù)的有效迭代后，一般都能保證在方程的根處收斂溢吻。下面給出整個(gè)迭代收斂過(guò)程的動(dòng)態(tài)演示维费。
2.?牛頓法凸優(yōu)化
上一部分介紹牛頓法如何求解方程的根，這一特性可以應(yīng)用在凸函數(shù)的優(yōu)化問題上促王。
機(jī)器學(xué)習(xí)犀盟、深度學(xué)習(xí)中，損失函數(shù)的優(yōu)化問題一般是基于一階導(dǎo)數(shù)梯度下降的∮牵現(xiàn)在阅畴，從另一個(gè)角度來(lái)看，想要讓損失函數(shù)最小化迅耘，這其實(shí)是一個(gè)最值問題贱枣，對(duì)應(yīng)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù) f'(x) = 0监署。也就是說(shuō)，如果我們找到了能讓 f'(x) = 0 的點(diǎn) x纽哥，損失函數(shù)取得最小值钠乏，也就實(shí)現(xiàn)了模型優(yōu)化目標(biāo)。
現(xiàn)在的目標(biāo)是計(jì)算 f'(x) = 0 對(duì)應(yīng)的 x春塌，即 f'(x) = 0 的根晓避。轉(zhuǎn)化為求根問題，就可以利用上一節(jié)的牛頓法了摔笤。
與上一節(jié)有所不同够滑，首先，對(duì) f(x) 在 x0 處進(jìn)行二階泰勒展開：
上式成立的條件是 f(x) 近似等于 f(x0)吕世。令 f(x) = f(x0)彰触，并對(duì) (x - x0) 求導(dǎo)，可得：
同樣命辖，雖然 x 并不是最優(yōu)解點(diǎn)况毅，但是 x 比 x0 更接近f'(x) = 0 的根。這樣尔艇，就能得到最優(yōu)化的迭代公式：
通過(guò)迭代公式尔许，就能不斷地找到 f'(x) = 0 的近似根，從而也就實(shí)現(xiàn)了損失函數(shù)最小化的優(yōu)化目標(biāo)终娃。
3.?梯度下降 VS 牛頓法
現(xiàn)在味廊，分別寫出梯度下降和牛頓法的更新公式：
梯度下降算法是將函數(shù)在 xn 位置進(jìn)行一次函數(shù)近似，也就是一條直線棠耕。計(jì)算梯度余佛，從而決定下一步優(yōu)化的方向是梯度的反方向。而牛頓法是將函數(shù)在 xn 位置進(jìn)行二階函數(shù)近似窍荧，也就是二次曲線辉巡。計(jì)算梯度和二階導(dǎo)數(shù)，從而決定下一步的優(yōu)化方向蕊退。一階優(yōu)化和二階優(yōu)化的示意圖如下所示：
梯度下降：一階優(yōu)化
牛頓法：二階優(yōu)化
以上所說(shuō)的是梯度下降和牛頓法的優(yōu)化方式差異郊楣。那么誰(shuí)的優(yōu)化效果更好呢？
首先瓤荔，我們來(lái)看一下牛頓法的優(yōu)點(diǎn)净蚤。第一，牛頓法的迭代更新公式中沒有參數(shù)學(xué)習(xí)因子输硝，也就不需要通過(guò)交叉驗(yàn)證選擇合適的學(xué)習(xí)因子了塞栅。第二，牛頓法被認(rèn)為可以利用到曲線本身的信息, 比梯度下降法更容易收斂（迭代更少次數(shù)）。如下圖是一個(gè)最小化一個(gè)目標(biāo)方程的例子, 紅色曲線是利用牛頓法迭代求解, 綠色曲線是利用梯度下降法求解放椰。顯然，牛頓法最優(yōu)化速度更快一些愉粤。
然后砾医，我們?cè)賮?lái)看一下牛頓法的缺點(diǎn)。我們注意到牛頓法迭代公式中除了需要求解一階導(dǎo)數(shù)之外衣厘，還要計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)如蚜。從矩陣的角度來(lái)說(shuō)，一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)分別對(duì)應(yīng)雅可比矩陣（Jacobian matrix）和海森矩陣（Hessian matrix）影暴。
Jacobian 矩陣
Hessian 矩陣
牛頓法不僅需要計(jì)算Hessian 矩陣错邦，而且需要計(jì)算Hessian 矩陣的逆。當(dāng)數(shù)據(jù)量比較少的時(shí)候型宙，運(yùn)算速度不會(huì)受到大的影響撬呢。但是，當(dāng)數(shù)據(jù)量很大妆兑，特別在深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中魂拦，計(jì)算Hessian 矩陣和它的逆矩陣是非常耗時(shí)的。從整體效果來(lái)看搁嗓，牛頓法優(yōu)化速度沒有梯度下降算法那么快芯勘。所以，目前神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)損失函數(shù)的優(yōu)化策略大多都是基于梯度下降腺逛。
值得一提的是荷愕，針對(duì)牛頓法的缺點(diǎn)，目前已經(jīng)有一些改進(jìn)算法棍矛。這類改進(jìn)算法統(tǒng)稱擬牛頓算法安疗。比較有代表性的是 BFGS 和 L-BFGS。
BFGS 算法使用近似的方法來(lái)計(jì)算Hessian 矩陣的逆茄靠，有效地提高了運(yùn)算速度茂契。但是仍然需要將整個(gè)Hessian 近似逆矩陣存儲(chǔ)起來(lái)，空間成本較大慨绳。
L-BFGS 算法是對(duì)BFGS 算法的改進(jìn)掉冶，不需要存儲(chǔ) Hessian 近似逆矩陣， 而是直接通過(guò)迭代算法獲取本輪的搜索方向脐雪，空間成本大大降低厌小。
總的來(lái)說(shuō)，基于梯度下降的優(yōu)化算法战秋，在實(shí)際應(yīng)用中更加廣泛一些璧亚，例如 RMSprop、Adam等脂信。但是癣蟋，牛頓法的改進(jìn)算法透硝，例如 BFGS、L-BFGS 也有其各自的特點(diǎn)疯搅，也有很強(qiáng)的實(shí)用性濒生。
