代價函數(shù)簡介
??代價函數(shù)(Cost Function),通常也被稱為損失函數(shù)(Loss Function)。這類函數(shù)是機(jī)器學(xué)習(xí)乃至整個數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)科中最為重要的一類函數(shù)模型钓账，它直觀的將數(shù)據(jù)的擬合程度呈現(xiàn)在我們面前。對于機(jī)器學(xué)習(xí)的目標(biāo)蛛壳，無非也就是最小化誤差甫题，也就是讓代價函數(shù)最小化。訓(xùn)練模型的過程就是優(yōu)化代價函數(shù)的過程瓶您，代價函數(shù)對每個參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)就是梯度下降中提到的梯度，防止過擬合時添加的正則化項也是加在代價函數(shù)后面的。因此我覺得有必要花點(diǎn)時間進(jìn)行討論一番呀袱。
??我們先做一個代價函數(shù)的簡單的定義贸毕，代價函數(shù)：假定有樣本數(shù)據(jù)，函數(shù)模型為
夜赵，參數(shù)為
明棍。擬合曲線用
表示。代價函數(shù)是一個有點(diǎn)抽象的東西寇僧，理論上能反應(yīng)擬合函數(shù)
與真實值
差異的函數(shù)都可以用來作為我們的代價函數(shù)摊腋。通常代價函數(shù)寫成
,不過我們一般會進(jìn)行求均值，寫成
嘁傀。代價函數(shù)是一個關(guān)于
的函數(shù)兴蒸，這點(diǎn)很好理解，因為我們知道细办，對于給定的算法橙凳，誤差期望應(yīng)該是一定的，但是擬合函數(shù)參數(shù)的變化卻會影響誤差笑撞。算法在尋找最優(yōu)參數(shù)的過程岛啸，我們記為：
幾種常見的代價函數(shù)
??平均絕對誤差(L1誤差函數(shù))： 平均絕對誤差(MAE)其實就是類似統(tǒng)計學(xué)中的標(biāo)準(zhǔn)差,它的具體公式如下：
??它的圖像：
??均方誤差函數(shù)(L2誤差函數(shù))： 均方誤差函數(shù)(MSE)也就是我們熟知的方差，它廣泛的運(yùn)用在一些線性問題上茴肥，下式中底的2坚踩，是為了方便求導(dǎo)約去，并無實際意義炉爆，它的公式如下：
??它的圖像：
??平滑平均絕對誤差(Huber損失)： Huber損失相比于平方損失來說對于異常值不敏感堕虹，但它同樣保持了可微的特性卧晓。它基于絕對誤差但在誤差很小的時候變成了平方誤差芬首。我們可以使用超參數(shù)
??它的圖像：
??對于Huber損失來說胜宇，
??Huber損失函數(shù)克服了MAE和MSE的缺點(diǎn)，不僅可以保持損失函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)从诲，同時可以利用MSE梯度隨誤差減小的特性來得到更精確的最小值左痢，也對異常值具有更好的魯棒性。而Huber損失函數(shù)的良好表現(xiàn)得益于精心訓(xùn)練的超參數(shù)
??Log-Cosh損失函數(shù)： Log-Cosh損失函數(shù)是一種比L2更為平滑的損失函數(shù)俊性，利用雙曲余弦來計算預(yù)測誤差：
??它的圖像：
??它的優(yōu)點(diǎn)在于對于很小的誤差來說
??但是Log-cosh損失并不是完美無缺的典徊，它還是會在很大誤差的情況下梯度和 hessian 變成了常數(shù)杭煎。
??交叉熵CrossEntropy代價函數(shù)： 我們在之前已經(jīng)極為詳細(xì)的講述過交叉熵的概念了，交叉熵通常用于分類問題上的代價函數(shù)卒落，尤其在邏輯回歸岔帽，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中使用的更多。
一點(diǎn)比較：
??均方誤差（MSE）在誤差較大點(diǎn)時的損失遠(yuǎn)大于平均絕對誤差（MAE）导绷，它會給異常值賦予更大的權(quán)重犀勒，模型會全力減小異常值造成的誤差，從而使得模型的整體表現(xiàn)下降妥曲。
??所以當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)中含有較多的異常值時贾费，平均絕對誤差（MAE）更為有效。當(dāng)我們對所有觀測值進(jìn)行處理時檐盟，如果利用MSE進(jìn)行優(yōu)化則我們會得到所有觀測的均值褂萧，而使用MAE則能得到所有觀測的中值。與均值相比葵萎，中值對于異常值的魯棒性更好导犹，這就意味著平均絕對誤差對于異常值有著比均方誤差更好的魯棒性。
??但MAE也存在一個問題羡忘，特別是對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來說谎痢，它的梯度在極值點(diǎn)處會有很大的躍變，及時很小的損失值也會長生很大的誤差卷雕，這很不利于學(xué)習(xí)過程节猿。為了解決這個問題，需要在解決極值點(diǎn)的過程中動態(tài)減小學(xué)習(xí)率漫雕。MSE在極值點(diǎn)卻有著良好的特性滨嘱，及時在固定學(xué)習(xí)率下也能收斂。MSE的梯度隨著損失函數(shù)的減小而減小浸间，這一特性使得它在最后的訓(xùn)練過程中能得到更精確的結(jié)果太雨。
??當(dāng)然還有很多的代價函數(shù)，例如分位數(shù)損失等等魁蒜，我們在這里就不進(jìn)行一一展開講述了囊扳，感興趣的讀者可以自行了解煤墙。
??下一章，我們將仔細(xì)的講解如何通過梯度進(jìn)行最小化我們的代價函數(shù)宪拥。
Reference
5 Regression Loss Functions All Machine Learners Should Know
MachineLearning CostFunction
我的掘金:WarrenRyan
我的簡書:WarrenRyan
歡迎關(guān)注我的博客獲得第一時間更新 https://blog.tity.online
我的Github:StevenEco
