設一個矩陣不變?yōu)锳缠导，那么由A經過一組特征向量的作用，它會進行變換（旋轉和縮放）瞄勾，而這個縮放的值被稱為是特征值费奸，描述增長或著減少的規(guī)模弥激。
其實矩陣的乘法就是對應了一個變換，在它的作用下愿阐，可以把一個向量變成另外一個方向和長度都不同的新的向量.微服。然而，在這個變換的過程中缨历，原向量主要發(fā)生的就是旋轉和伸縮的變化.
這種變換必然會有一組向量的存在以蕴，被變換后的線性空間內的某個向量或者一組向量只發(fā)生了伸縮變換，而沒有產生旋轉的效果辛孵，那就是說在線性的變換下丛肮，它們所在直線上保持不變。那這些向量就被稱為是這個矩陣的特征銷量魄缚，伸縮的比例就是特征值宝与。
在實際應用中焚廊，所代表的具體事物被抽象為矩陣數據，那么可能存在一組變換和特征值描述它未來發(fā)展的趨勢（伸縮線性）习劫，又或者根據后來的結果咆瘟，推導出導致它進行伸縮變換的向量（因素）
如果把矩陣實際抽象為一家公司的各種特征的發(fā)展，廣告诽里，員工袒餐，產品，營銷谤狡，那么矩陣可以看做是一項經營活動灸眼，就是說它在空間里是不變的活動，A = [1000, 10, 33, 200] 時間線上的該公司的廣告墓懂，員工幢炸，產品，和營銷所花的人民幣. 那么拒贱，現(xiàn)在有一場金融風暴來臨宛徊，公司所有的預算將會減少，這時候 可設定一組向量? a = [-1, -2, 1, -1] 那么經過這樣的變換逻澳，矩陣A所在的空間變化就會發(fā)生改變闸天，它會直接崩潰到坐標軸第四象限。所以它在所有特征維度上的計劃都會變換斜做，我們就可以說是向量影響了矩陣A的方向(發(fā)展決策)和長度（營收變化）.
那么會不會有一組向量苞氮，應用在A后可以用特征值進行描述的？這組向量就被稱為是特征向量瓤逼，那這個特征值就是反應具體伸縮變換的一個標準值笼吟。其實所有的公司都需要一個標準值來準確的表示再公司經營活動中發(fā)生的盈虧度量蚂踊。
那么為了應對這次風暴乏梁，所有為了公司應收影響降到最低，就是要找到特征值至少不能為負數的特征向量（經營決策）柒瓣。但是特征值與特征向量是不可能隨意更替的诱告，就是特征值與特征向量是互相影響的東西撵枢，會存在一種特征向量來描述不改變經營決策，我會發(fā)生多大的損失（特征值決定著伸縮）.
另外一個例子圖像壓縮
使用特征值可以將圖像進行壓縮處理精居，通過壓縮后的圖像锄禽，顏色像素會損失部分
將方形圖像進行轉矩陣操作，比如255 * 255 每個像素點代表顏色值靴姿，然后求出矩陣的特征向量與特征值沃但，保留特征值最大的50個并轉成對角矩陣
為什么要使用最大值呢， 因為特征值越大越能還原該像素點佛吓。越接近本來的顏色值宵晚。特征值得到后恨旱，可以進行矩陣還原，還原后的就是壓縮后的圖像了坝疼。
