在給出的條件中髓棋，我們知道了線性變換表示將我們的基向量變換為小麗的基向量，也就是把我的坐標(biāo)系變?yōu)榱诵←惖淖鴺?biāo)系惶洲。但是按声，注意！

小麗的坐標(biāo)系下的向量在變換之后仍然使用我們的“語言”(基向量)來描述湃鹊。因此儒喊，小麗坐標(biāo)系中的任一向量在進(jìn)行變換后就變成了我“語言”表示的向量。

所以的坐標(biāo)是(在我的坐標(biāo)系下币呵，用我的基向量表示)

我坐標(biāo)系表示(-1,2)

看完了上述問題怀愧，大家可能會(huì)覺得疑惑侨颈，明明是：

: 小麗坐標(biāo)系下向量坐標(biāo)我坐標(biāo)系下向量坐標(biāo)

可是:
:我坐標(biāo)系小麗坐標(biāo)系（我的基向量表述）

大家不妨這么理解：

空間中向量想要相同，需要向量的方向和大小都相同芯义。而坐標(biāo)系這個(gè)東西只是我們?yōu)榱朔奖阊芯慷藶槎x的哈垢，真實(shí)空間中并不存在任何坐標(biāo)系。小麗的向量在空間中的位置和大小都已經(jīng)確定（在她的基向量下）扛拨，而小麗和我的基向量在同一個(gè)坐標(biāo)系下不相同耘分，必然導(dǎo)致小麗的和我的不是同一個(gè)向量。因此绑警，要將我空間的變換為小麗的求泰，自然就需要進(jìn)行一個(gè)線性變換，也就是把基向量用同一坐標(biāo)系表示计盒。這里就是把小麗的基向量轉(zhuǎn)換為我的基向量表示渴频。

相信大家這時(shí)候開始懵逼了，怎么出現(xiàn)了我坐標(biāo)系下的呢北启？

因?yàn)樾←愖鴺?biāo)系下的已經(jīng)在空間中確定好了卜朗，不管坐標(biāo)系如何變，反正的位置和大小不會(huì)變咕村。而要找到 在我坐標(biāo)系下的表示场钉，自然就要從我坐標(biāo)系下找一個(gè)向量(設(shè)為)，它在經(jīng)變換后能夠與向量重疊懈涛。此時(shí)變換后的向量即是向量在我坐標(biāo)系下的表示逛万。

那為什么偏偏是？為什么不是其他向量經(jīng)變換后與重疊肩钠？

線性空間中泣港，向量是在基向量下表示的，不管基向量怎么變价匠，向量對(duì)基向量的縮放倍數(shù)肯定是不變的，這在之前我的筆記1中有提到呛每。也就是說小麗坐標(biāo)系下

它在我坐標(biāo)系下的坐標(biāo)不是踩窖，但肯定能表示成的形式，是兩個(gè)基向量的坐標(biāo)手形，它們可以是任意的啥供。

我們想找到一個(gè)向量能跟重疊，那么很好辦了库糠，在我坐標(biāo)系下對(duì)基向量縮放倍數(shù)為伙狐，的就是涮毫。只有它才能經(jīng)線性變換后變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cvec%7Bu%7D" alt="\vec{u}" mathimg="1">沈自，接下來就是之前的坐標(biāo)計(jì)算了朗恳。

我坐標(biāo)系下的向量

小麗坐標(biāo)系下的向量

可能大家還是會(huì)覺得很繞很燒腦，沒關(guān)系棺克，多看幾遍唉侄，最好是自己動(dòng)手在紙上推演這個(gè)過程咒吐，相信一定可以弄懂的。

2.我坐標(biāo)系向量她坐標(biāo)系向量

有了第一節(jié)的基礎(chǔ)属划，那么第二節(jié)就很好理解了恬叹。

還是第一節(jié)的例子，不過此時(shí)情況反轉(zhuǎn)了同眯，已知我坐標(biāo)系下的向量绽昼，那么這個(gè)在小麗坐標(biāo)系下如何表示呢？我們?cè)O(shè)其為嗽测。

用第一節(jié)的方式來理解绪励，我坐標(biāo)系下為已知向量，同時(shí)小麗坐標(biāo)系下也有一個(gè)向量唠粥，注意這倆個(gè)不是同一個(gè)向量疏魏，因?yàn)樗鼈冊(cè)诳臻g中的方向和大小都不一樣(兩者基向量不同)。那么問題變?yōu)椋?/p>

從轉(zhuǎn)換（想象成移動(dòng)向量線段的箭頭晤愧，尾部也就是原點(diǎn)保持不動(dòng)）為大莫。

至于為什么可以這么變，大家可以看前一節(jié)的解釋官份。

現(xiàn)在問題就簡(jiǎn)單了只厘，在小麗坐標(biāo)系下她的基變量是怎么變換的呢？自然就是第一節(jié)中線性變換的逆變換舅巷。也就是

具體如下：
小麗的基向量羔味，（小麗的坐標(biāo)系下），變換為我的基向量（小麗的坐標(biāo)系下）钠右，原本我們不知道我坐標(biāo)系下赋元，在小麗坐標(biāo)系下如何表示，但是我們知道之前小麗坐標(biāo)系下的基向量在我坐標(biāo)系下如何表示飒房，也就是

那么現(xiàn)在只要取逆就行搁凸，它表示將小麗的基向量移動(dòng)到了我基向量原本所在的位置，同時(shí)用的小麗的坐標(biāo)系表示狠毯。

逆變換

3.她坐標(biāo)系向量她坐標(biāo)系向量

還有一種情況也是比較常見的护糖，全程都在小麗的坐標(biāo)系下進(jìn)行變換，也就是說以我的視角來看基向量不是嚼松，了嫡良。

這時(shí)候怎么瀟灑地寫出變換后的她坐標(biāo)系向量呢锰扶？

直接寫肯定不行，因?yàn)槲覀儾恢佬←愖鴺?biāo)系下基向量是如何變換的皆刺。我們只知道我坐標(biāo)系下基向量是如何變換的少辣。

那么只好曲線迂回了，回想下1羡蛾、2節(jié)的情況漓帅，我們可以列出下列步驟：

她坐標(biāo)系向量我坐標(biāo)系向量她坐標(biāo)系向量

所以事情就簡(jiǎn)單了，按之前的1痴怨、2節(jié)來吧忙干。

1.她坐標(biāo)系向量我坐標(biāo)系向量
小麗坐標(biāo)系下的任意向量，經(jīng)過第一節(jié)的變換浪藻，得到結(jié)果如下：

變成了我坐標(biāo)系下向量捐迫，那就好辦了，我坐標(biāo)系下可以觀察到基向量爱葵，想怎么變就怎么變施戴，一切都在我的掌控中:)

2.線性變換
假設(shè)她空間中坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)了90度，也就是在我空間中旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸90度萌丈。那么結(jié)果如下：

3.我坐標(biāo)系向量她坐標(biāo)系向量
直接用第二節(jié)的結(jié)論赞哗，得到：

看成一個(gè)線性變換

這就是最后的答案了，是用她坐標(biāo)系表示的向量辆雾。是不是感覺很眼熟肪笋，來看下相似矩陣的定義：

在線性代數(shù)中，相似矩陣是指存在相似關(guān)系的矩陣度迂。設(shè)A藤乙，B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在惭墓，使得

則稱矩陣A與B相似坛梁，記為A~B。

原來相似矩陣是指不同坐標(biāo)系下的相同變換腊凶。它們的表達(dá)不一樣罚勾，但效果卻是一樣的。都是對(duì)空間進(jìn)行了相同的線性變換吭狡。例如上文說的都對(duì)空間旋轉(zhuǎn)了90度。

4.參考

主要內(nèi)容來源于b站up主@3Blue1Brown的線性代數(shù)的本質(zhì)

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