塔爾斯基：什么是邏輯概念井赌？(柯可蘭編注；劉新文譯)*
1.
我演講的題目是一個(gè)問題贵扰；它屬于現(xiàn)如今非常時(shí)髦的一類問題仇穗。你們還常常聽到另一類問題：什么是心理學(xué)、什么是物理學(xué)拔鹰、什么是歷史學(xué)仪缸？這類問題有時(shí)由在特定科學(xué)中工作的專家來回答，有時(shí)由科學(xué)哲學(xué)家來回答列肢；在這樣的問題上恰画，有時(shí)，人們也把邏輯學(xué)家當(dāng)作所謂的權(quán)威而問及其觀點(diǎn)瓷马。好了拴还，讓我們這樣來說，在一門特定的科學(xué)中工作的專家通常是這樣一些人欧聘，他們至少有資格為這門科學(xué)給出一個(gè)好的定義片林。在這個(gè)范圍內(nèi)，你們通常會期望從科學(xué)哲學(xué)家那里獲得一種明智的討論怀骤。邏輯學(xué)家顯然不是權(quán)威费封，邏輯學(xué)家并沒有特殊資格來回答這類問題。相反蒋伦，邏輯學(xué)家的角色和影響具有負(fù)面特點(diǎn)——他提出批評意見弓摘，指出某種表述多么糊涂，對某一門科學(xué)的說明多么不明確痕届。鑒于邏輯學(xué)家討論其他科學(xué)的定義的負(fù)面方式韧献，邏輯學(xué)家在討論自己的科學(xué)并且試圖說邏輯是什么的時(shí)候末患，當(dāng)然必須特別謹(jǐn)慎。
對于“什么是邏輯锤窑？”或者“什么是如此這般的科學(xué)璧针？”這個(gè)問題，回答可能是千差萬別的渊啰。在有些情況下我們會說明這門科學(xué)的名稱的流行用法探橱。因此，要說什么是心理學(xué)時(shí)绘证，你可以試試說明使用“心理學(xué)”這個(gè)詞的大多數(shù)人通常指什么走搁。有些情況下，我們并不在意使用一個(gè)詞的所有人的流行用法迈窟，而是在意有資格使用它的人的流行用法，這些人是該領(lǐng)域的專家忌栅。這里车酣，我們就會在意心理學(xué)家對“心理學(xué)”這個(gè)詞的理解。在另一些情況下索绪，我們的回答帶有規(guī)范性特征：我們建議這個(gè)詞以特定的方式使用湖员，而不管它實(shí)際使用的方式。另一些回答似乎另有不同的目的瑞驱，對此我難以說明白它是什么娘摔；人們常常會談?wù)摪盐找粋€(gè)概念專有的、真正的意義唤反，或者某種獨(dú)立于實(shí)際用法凳寺、獨(dú)立于任何規(guī)范性建議的東西，抑或某種類似于這個(gè)概念背后柏拉圖式的理念的東西彤侍。最后這種探討對我來說十分怪異肠缨，我會忽略不計(jì)，因?yàn)閷@類問題我無法給出任何明智的說明盏阶。
讓我提前告訴你們晒奕，要回答“什么是邏輯概念？”這個(gè)問題名斟，我的做法是為“邏輯概念”這個(gè)術(shù)語的一種可能用法提出一項(xiàng)建議或提議脑慧。對我而言，即便這個(gè)建議并非與“邏輯概念”這個(gè)術(shù)語的所有流行用法一致砰盐，它也至少與實(shí)踐中所遇到的一種用法一致闷袒。我認(rèn)為這個(gè)術(shù)語在幾種不同意義上使用，而我的建議說明了其中一種意義楞卡。① 此外霜运，我將不討論“什么是邏輯脾歇？”這個(gè)一般性的問題，我把邏輯看作一門科學(xué)淘捡、一個(gè)真句子系統(tǒng)藕各，這些句子中包含指稱特定概念、邏輯概念的語詞焦除。在這里我僅考慮該問題的一個(gè)方面激况，即邏輯概念的問題，而不考慮比如邏輯真的問題膘魄。
2.
我的建議的基本思想要回歸到德國數(shù)學(xué)家 F. 克萊因 (Felix Klein)乌逐。在19世紀(jì)后半葉，F(xiàn). 克萊因在幾何基礎(chǔ)中做出了相當(dāng)嚴(yán)肅的工作创葡，對該領(lǐng)域后來的研究產(chǎn)生了巨大的影響浙踢。② 吸引他的一個(gè)問題是區(qū)分各種幾何體系、各種幾何理論中討論的概念灿渴，比如普通歐氏幾何洛波、仿射幾何和拓?fù)鋵W(xué)。我將嘗試把他的方法擴(kuò)展到幾何學(xué)之外骚露，還把這種方法應(yīng)用到邏輯學(xué)蹬挤。我傾向于相信，同樣的思想還可以擴(kuò)展到其他科學(xué)棘幸。據(jù)我所知焰扳，至今還沒有人嘗試這樣做，但是或許可以運(yùn)用克萊因的想法误续，闡述一些合理的建議吨悍，用于區(qū)分生物學(xué)概念、物理學(xué)概念與化學(xué)概念蹋嵌。
現(xiàn)在讓我試著向你們非常簡要地解釋克萊因的思想畜份。克萊因的思想基于“變換”這個(gè)技術(shù)性的名詞欣尼，而這個(gè)詞又是每個(gè)人都熟知的爆雹、來自高中數(shù)學(xué)的另一個(gè)名詞——“函數(shù)”的特例。我們都知道愕鼓，一個(gè)函數(shù)或者函數(shù)性關(guān)系是一個(gè)具有如下性質(zhì)的二元關(guān)系 r钙态，無論考慮什么樣的對象 x，至多存在一個(gè)對象 y 使得 x 與 y 具有關(guān)系 r菇晃。這些使這樣一個(gè) y 存在的 x 稱為“自變量值”册倒。對應(yīng)的y稱為“函數(shù)值”。我們也寫成 y=r(x)磺送；這就是通常的函數(shù)記號驻子。自變量值的集合稱為“函數(shù)的定義域”灿意，函數(shù)值的集合在《數(shù)學(xué)原理》中稱為該函數(shù)的“反域”(counter-domain)，更常見的叫法是“值域”(range)崇呵。所以缤剧，每個(gè)函數(shù)都有定義域和值域。數(shù)學(xué)中經(jīng)常處理由數(shù)構(gòu)成定義域和值域的函數(shù)域慷。然而荒辕，還有其他類型的函數(shù)。比如可以考慮由點(diǎn)構(gòu)成定義域和值域的函數(shù)犹褒。特別地抵窒，在幾何學(xué)中，我們處理定義域與值域均與整個(gè)幾何空間重合的函數(shù)叠骑。這樣的函數(shù)被看作幾何空間到自身的“變換”李皇。此外，我們還常常處理一些 1－1 函數(shù)宙枷，這些函數(shù)具有如下性質(zhì)：對任何兩個(gè)不同的自變量值疙赠，對應(yīng)的函數(shù)值總是不同的。我們便說這樣的函數(shù)在其定義域和值域之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系朦拖。因此，定義域和值域均與整個(gè)空間重合的 1－1 函數(shù)稱為幾何空間到自身的一一變換 (更簡單地稱為“變換”)⊙嵯危現(xiàn)在開始討論普通幾何空間的變換璧帝。
接著讓我們考慮我們高中就熟知的普通歐氏幾何。這門幾何學(xué)最初是一門經(jīng)驗(yàn)科學(xué)——其目的在于研究我們周圍的世界富寿。這個(gè)世界充斥著各種物理對象睬隶，尤其是剛性物體，剛性物體的一個(gè)特征是它們在移動(dòng)時(shí)不改變形狀页徐。這樣一個(gè)剛性物體的每一次運(yùn)動(dòng)都對應(yīng)于某種變換苏潜，因?yàn)橐粋€(gè)剛性物體在開始移動(dòng)時(shí)占據(jù)一個(gè)位置，而作為該運(yùn)動(dòng)的結(jié)果它又占據(jù)另外一個(gè)位置变勇。這個(gè)剛性物體在運(yùn)動(dòng)開始占據(jù)的每一個(gè)點(diǎn)都對應(yīng)同一物體在運(yùn)動(dòng)終止之時(shí)占據(jù)的一個(gè)點(diǎn)恤左。于是便有了一個(gè)函數(shù)性關(guān)系。這確實(shí)不是一個(gè)其定義域包含空間中所有點(diǎn)的函數(shù)性關(guān)系搀绣，但是由幾何學(xué)可知飞袋，它總是可以擴(kuò)展到整個(gè)空間。現(xiàn)在链患，這個(gè)變換的典型特征是兩點(diǎn)之間的距離不變巧鸭。如果 x 和 y 有一定的距離，而 f(x) 和 f(y) 是對應(yīng)于 x 和 y 的終點(diǎn)麻捻，那么 f(x) 和 f(y) 之間的距離等于 x 和 y 之間的距離纲仍。我們稱距離對這個(gè)變換保持不變呀袱。這是剛性物體的運(yùn)動(dòng)特性——要是它不成立，我們便不會稱這個(gè)物體為剛性物體郑叠。
正如你們看到的那樣夜赵，在幾何學(xué)中我們很自然來考慮這個(gè)空間中的一種特殊變換，也就是不改變點(diǎn)之間的距離的變換锻拘。數(shù)學(xué)家有一個(gè)壞習(xí)慣油吭，從其他領(lǐng)域——物理學(xué)、人類學(xué)等等借用一個(gè)詞署拟，賦予它一種相關(guān)而不同的意義婉宰。對“運(yùn)動(dòng)”這個(gè)詞他們已然這樣做了。他們在數(shù)學(xué)意義上使用“運(yùn)動(dòng)”這個(gè)詞推穷，在這種意義上心包，它只是表示距離不變的變換。因而一個(gè)特殊的物理對象馒铃、一個(gè)剛性物體的運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致某種變換蟹腾；但是對于數(shù)學(xué)家來說，運(yùn)動(dòng)只不過是不改變距離的變換区宇。這樣的變換更恰當(dāng)?shù)胤Q為 “等距變換”(isometric transformation)娃殖。
克萊因接著指出，歐幾里得幾何學(xué)中討論的所有概念對所有運(yùn)動(dòng)都保持不變议谷，也就是說炉爆，對所有等距變換都保持不變。讓我再說一遍我們說一個(gè)概念對某些變換保持不變的意思是什么卧晓。我在一種非常寬泛和一般的意義上使用“概念”這個(gè)詞芬首，粗略地說，意思是在某種類似于《數(shù)學(xué)原理》的類型分層中所有可能類型的對象逼裆。因此郁稍，概念包括個(gè)體 (在這里就是點(diǎn))、個(gè)體的類胜宇、個(gè)體的關(guān)系耀怜、個(gè)體的類的類，等等桐愉。比如封寞，說個(gè)體的類對變換f保持不變是什么意思？它的意思是仅财，x屬于這個(gè)類當(dāng)且僅當(dāng) f(x) 也屬于這個(gè)類狈究，換句話說，這個(gè)類由這個(gè)變換映射到自身。說一個(gè)關(guān)系對變換f保持不變又是什么意思抖锥？它的意思是亿眠，x 和 y 具有這種關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng) f(x) 和 f(y) 也具有這種關(guān)系。我們可以很容易地按熟悉的方式把不變性的概念擴(kuò)展到類的類磅废、類之間的關(guān)系等等纳像。
對歐幾里得幾何學(xué)的詳細(xì)分析表明，在這門幾何學(xué)中討論的所有概念拯勉，不僅對運(yùn)動(dòng)保持不變竟趾、對等距變換保持不變，而且還對更廣泛的變換類保持不變宫峦，即對幾何學(xué)家所謂“相似性變換”保持不變岔帽。有一些變換并非都保持距離，但可以說它們在所有方向上統(tǒng)一增大或縮小幾何圖形的尺寸导绷。更確切地說犀勒，有些相似性變換不保持距離，但是都保持兩個(gè)距離的比例妥曲。比方說贾费，你有三個(gè)點(diǎn) x、y 和 z檐盟，如果 y 到 z 的距離比 x 到 y 的距離大25％褂萧，那么相似性變換的結(jié)果仍然是三個(gè)點(diǎn) f(x)、f(y) 和 f(z)葵萎，其中 f(y) 到 f(z) 的距離比 f(x) 到 f(y) 的距離大25％导犹。換句話說，一個(gè)三角形變換為另一個(gè)相似三角形陌宿，兩者都有相同的角，而且它們的邊成比例增大或縮小波丰。于是壳坪，在歐幾里得幾何學(xué)中討論的所有性質(zhì)，對所有可能的相似性變換保持不變掰烟。順便說一句爽蝴，這意味著在歐幾里得幾何學(xué)中不能討論度量單位的概念。我們不應(yīng)該問這樣一位幾何學(xué)家纫骑，從他的學(xué)科觀點(diǎn)看蝎亚，米制系統(tǒng)和非米制系統(tǒng)哪個(gè)更好。用歐氏的術(shù)語來說先馆，我們無法區(qū)分一米和一碼发框，甚至也不能把一厘米與 一碼 區(qū)分開。任何兩條線段都是“相同的”煤墙，因?yàn)槟憧偪梢酝ㄟ^相似性變換把一條線段變換成另一條線段梅惯。屬于一條線段的每種歐幾里得性質(zhì)也屬于其他每一條線段宪拥。
克萊因接著說，對所有相似性變換的不變性是度量幾何學(xué) (普通歐氏幾何的另外一個(gè)名稱)的特性铣减。③ 這一點(diǎn)可以用定義來表達(dá)：一個(gè)度量概念她君，或者度量幾何學(xué)的概念，只不過是對所有可能的相似性變換保持不變的概念葫哗。我們當(dāng)然也可以設(shè)想一門學(xué)科缔刹，在其中我們考慮較窄范圍的變換類，比如只考慮等距變換劣针，或者只考慮保持左右兩邊的區(qū)分的變換 (在普通幾何學(xué)中無法給出這種區(qū)分)校镐，或者只考慮保持順時(shí)針運(yùn)動(dòng)與逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)的區(qū)分的變換 (在通常的歐幾里得幾何學(xué)中也無法給出這種區(qū)分)。但是酿秸，通過縮小可容許變換的類的范圍灭翔，可以作出更多的區(qū)分，也就是說辣苏，我們拓寬了對可容許變換保持不變的概念的類肝箱。在這個(gè)方向上，幾何學(xué)的極端情況就是挑出4個(gè)點(diǎn)稀蟋，給它們命名煌张，然后只考慮那些讓這4個(gè)點(diǎn)保持不變的變換。這將意味著引入一個(gè)坐標(biāo)系退客，然后我們將處于幾何學(xué)范圍的極限位置骏融，即處于所謂的分形幾何的位置。實(shí)際上萌狂，在這種情形中档玻，除了一個(gè)“不足道的”恒等變換，不會有可容許的變換茫藏。
另一方面误趴，可從反方向入手；不是縮小可容許變換的類的范圍并以這種方式拓寬不變性概念的類的范圍务傲，而是做相反的事情凉当，拓寬變換類。比如售葡，我們還可以增加距離可變的變換看杭，但是不變的東西是點(diǎn)彼此之間的線性位置。更確切地說挟伙，如果3個(gè)點(diǎn)在一條直線上楼雹，那么它們經(jīng)過變換之后的像也在一條直線上。如果一個(gè)點(diǎn)位于其他兩個(gè)點(diǎn)之間，那么它的像也位于其他兩點(diǎn)的像之間烘豹。有人稱這樣的變換為“仿射變換”瓜贾。共線性 (coilinearity) 和居間性 (betweeness) 恰好是兩個(gè)對所有這類變換保持不變的概念。使用這樣的概念的幾何學(xué)分支稱為仿射幾何學(xué)携悯。④ 在這門幾何學(xué)中祭芦，我們無法區(qū)分一些東西，比如一條線段與另一條線段憔鬼，實(shí)際上我們無法在三角形中作出任何區(qū)分龟劲。這樣說來，任何兩個(gè)三角形都是相等的轴或，也就是說昌跌，從仿射幾何學(xué)的觀點(diǎn)看是不可區(qū)分的。這意味著照雁，在仿射幾何學(xué)中蚕愤，我們無法指出任何一種性質(zhì)，它為某一個(gè)三角形所具有饺蚊，而不為所有其他三角形所具有萍诱。在度量幾何學(xué)中，我們知道許多這樣的性質(zhì)污呼，例如等邊性裕坊、直角性。在仿射幾何學(xué)中燕酷，我們無法作出任何這樣的區(qū)分籍凝。我們所能區(qū)分的，乃是把三角形與四邊形區(qū)分開苗缩，因?yàn)椴淮嬖诜律渥儞Q可以從一個(gè)三角形出發(fā)而得出一個(gè)四邊形饵蒂。因此，這里我們有了一個(gè)更寬范圍的變換類的例子，這致使我們也有了一個(gè)更窄范圍的概念類的例子，這些概念都對這個(gè)較寬范圍的變換類保持不變；概念越少，特征更“一般”耀销。
我們再往前走一步。比如背稼，我們可以增加一些甚至不保存居間性關(guān)系的變換周循，甚至增加一些把位于同一條直線上的點(diǎn)變成位于不同直線上的點(diǎn)的變換。粗略地說焚挠，這里被保持的典型事物就是聯(lián)通性或者封閉性膏萧。聯(lián)通了的圖仍是聯(lián)通的。封閉了的曲線仍是封閉的。從“負(fù)面”角度看事物榛泛，有時(shí)候人們說蝌蹂，這些變換就是那些不“打碎”或“撕裂”的變換。這是一種非常不精確的表述方式曹锨，但是你們中有些人大概已經(jīng)猜到我在想什么孤个；我在想所謂的連續(xù)變換，這部分幾何學(xué)沛简，亦即處理對這些變換保持不變的概念的幾何學(xué)齐鲤，就是拓?fù)鋵W(xué)。在度量幾何學(xué)中椒楣，可以把一個(gè)三角形與另外一個(gè)三角形區(qū)別開给郊；在仿射幾何學(xué)中無法做到這一點(diǎn)，但仍然可以把一個(gè)三角形和一個(gè) (比如說) 四邊形區(qū)分開捧灰。而在拓?fù)鋵W(xué)中淆九，我們無法在兩個(gè)多邊形之間作出區(qū)分，甚至在一個(gè)多邊形和一個(gè)圓之間也無法區(qū)分毛俏，因?yàn)榻o定一個(gè)多邊形炭庙，如果我們想象它由金屬絲制成，那么總可以把它彎成一個(gè)圓或者任意其他多邊形拧抖。這樣的變換是連續(xù)的：任何聯(lián)通的東西不分離出來煤搜。在拓?fù)鋵W(xué)中可以區(qū)分一些東西，比如說唧席，把一個(gè)三角形從兩個(gè)三角形區(qū)分出來擦盾。因?yàn)槿绻桓切蔚慕饘俳z可以彎曲成兩個(gè)三角形，那么就把它分裂為兩部分淌哟，每個(gè)三角形從一部分得到——這就不會是連續(xù)變換迹卢。
3.
現(xiàn)在假設(shè)我們繼續(xù)思考這一點(diǎn)，還考慮更寬范圍的變換類徒仓。在極端的情形中腐碱，我們會考慮空間、論域或者“世界”到自身的所有一一變換組成的類掉弛。處理對這個(gè)最寬范圍的變換類保持不變的概念的科學(xué)將是哪一門科學(xué)呢症见？這里只有非常少的概念，所有這些概念都具有非常一般性的特征殃饿。我認(rèn)為谋作，它們就是邏輯概念，稱一個(gè)概念是 “邏輯的”乎芳，如果它對世界到自身的所有可能的一一變換都保持不變遵蚜。⑤ 這樣的提議或許聽起來有些奇怪——看它是否合理的唯一方式便是討論它的某些推論帖池，看它會導(dǎo)致什么樣的結(jié)果，若我們同意在這種意義上使用“邏輯的”這個(gè)詞吭净，就必須相信這些結(jié)果睡汹。
一個(gè)自然的問題是這樣的：考慮在現(xiàn)有的任何邏輯系統(tǒng) (比如《數(shù)學(xué)原理》) 中可定義的語詞所指的概念。在《數(shù)學(xué)原理》中定義的概念都是我提議的那種意義上的邏輯概念嗎寂殉？回答是肯定的囚巴；這是一個(gè)很簡單的元邏輯結(jié)果，很久以前 (1936年) 林登堡姆和我就在一篇短文中進(jìn)行了闡述友扰。雖然這個(gè)結(jié)果是簡單的文兢，但是我依然認(rèn)為大多數(shù)邏輯教科書應(yīng)該包含這個(gè)結(jié)果，因?yàn)樗@示了邏輯手段所能表達(dá)的事物的一種特性焕檬。我不會用非常精確的方式表述這個(gè)結(jié)果姆坚，但是它的本質(zhì)恰如我剛才所言∈涤蓿《數(shù)學(xué)原理》中定義的每個(gè)概念兼呵，對任何其他常見的邏輯系統(tǒng)中的那些東西，對 “世界”或“論域”到自身的每個(gè)一一變換都是保持不變的腊敲。⑥
下面我們系統(tǒng)地尋找邏輯概念的例子击喂，從最簡單的語義范疇⑦ 或類型開始，逐步達(dá)到越來越復(fù)雜的范疇或類型碰辅。比如懂昂，我們可以從個(gè)體、從最低類型的對象開始没宾，并且問下面這個(gè)問題：個(gè)體中的邏輯概念的例子有哪些凌彬？我的意思是：哪些個(gè)體的例子在上述意義上是邏輯的？答案很簡單：不存在這樣的例子循衰。不存在這種類型的邏輯概念铲敛，這僅僅是因?yàn)槲覀兛偰苷业绞澜绲阶陨淼囊粋€(gè)變換，其中一個(gè)個(gè)體變換成另一個(gè)個(gè)體会钝。我們總可以定義這樣一個(gè)函數(shù)伐蒋，這個(gè)簡單事實(shí)意味著在這個(gè)層次上不存在邏輯概念。
如果我們進(jìn)入下一個(gè)層次迁酸，到達(dá)個(gè)體的類先鱼，我們問：個(gè)體的類有哪些在這種意義上是邏輯概念？依然由一個(gè)簡單論證便得出結(jié)論奸鬓，恰有兩個(gè)個(gè)體類是邏輯概念焙畔，即全域類和空類。只有這兩個(gè)類才是對論域到自身的每個(gè)變換保持不變的個(gè)體類全蝶。
如果我們再進(jìn)一步并考慮二元關(guān)系闹蒜，簡單論證即可表明，只有4個(gè)二元關(guān)系在這種意義上是邏輯概念：總是在任意兩個(gè)對象之間成立的全域關(guān)系抑淫，絕不會成立的空關(guān)系绷落，當(dāng)“兩個(gè)”對象相等時(shí)只在它們之間成立的恒等關(guān)系，以及與它相反的多樣性關(guān)系始苇。因此砌烁，全域關(guān)系、空關(guān)系催式、恒等關(guān)系以及多樣性關(guān)系函喉，這四者是個(gè)體之間僅有的邏輯的二元關(guān)系。這一點(diǎn)很有趣荣月，因?yàn)槠柺抗芎恰⑹┝_德和其他19世紀(jì)的邏輯學(xué)家在關(guān)系理論中恰好引入和討論了這4種關(guān)系。如果你考慮三元關(guān)系哺窄、四元關(guān)系等等捐下，情況也是類似的：對于這些關(guān)系中的每一種關(guān)系，你都將有少量的有窮多個(gè)邏輯關(guān)系萌业。
如果你再進(jìn)入下一個(gè)層次坷襟，考慮類的類，情況變得更有趣一些生年。我們不說“類的類”婴程，而說“類的性質(zhì)”，并且問：類的哪些性質(zhì)是邏輯概念抱婉？答案仍舊很簡單档叔，盡管十分難以精確地闡述≌艏ǎ可以證明蹲蒲，(個(gè)體的) 類的性質(zhì)中只有與這些類中元素的數(shù)目有關(guān)的性質(zhì)才是邏輯概念。一個(gè)類由3個(gè)元素組成侵贵，或者由4個(gè)元素組成……這個(gè)類是有窮的届搁，或者一個(gè)類是無窮的——這些都是邏輯概念，而且本質(zhì)上是這個(gè)層次中僅有的邏輯概念窍育。
在我看來卡睦，這個(gè)結(jié)果相當(dāng)有趣，因?yàn)樵?9世紀(jì)漱抓，有一些關(guān)于我們的邏輯是外延的邏輯還是內(nèi)涵的邏輯的討論表锻。人們說過多次，尤其是數(shù)理邏輯學(xué)家說過多次乞娄，我們的邏輯確實(shí)是外延的邏輯瞬逊。⑧ 這意味著显歧，如果兩個(gè)概念有相同的外延，便不能從邏輯上加以區(qū)分确镊，即使它們的內(nèi)涵不同士骤。正如通常所認(rèn)為的那樣，我們不能從邏輯上區(qū)分性質(zhì)和類±儆颍現(xiàn)在根據(jù)我們的建議拷肌，可以證明我們的邏輯甚至比外延的邏輯還要少，它是數(shù)的邏輯旨巷、數(shù)字關(guān)系的邏輯巨缘。如果兩個(gè)類中每個(gè)類恰有兩個(gè)個(gè)體，我們便不能從邏輯上區(qū)分它們采呐，因?yàn)槿绻阌袃蓚€(gè)類若锁，每個(gè)類都由兩個(gè)個(gè)體組成，你總能找到論域的一個(gè)變換斧吐，在這個(gè)變換下拴清，一個(gè)類變換為另外一個(gè)類。每一項(xiàng)屬于兩個(gè)個(gè)體組成的一個(gè)類的邏輯性質(zhì)会通，都屬于恰好包含兩個(gè)個(gè)體的每一個(gè)類口予。
如果你接著考慮更復(fù)雜的概念，比如類之間的關(guān)系涕侈，那么邏輯概念的種類就會增加沪停。在這里你將平生第一次遇到許多重要的和有趣的邏輯關(guān)系，學(xué)過邏輯基礎(chǔ)的人對這些關(guān)系了如指掌裳涛。我指這樣一些東西：類之間的包含木张、兩個(gè)類的不相交性、兩個(gè)類的重疊以及許多其他關(guān)系端三；所有這些關(guān)系都是通常意義上的邏輯關(guān)系的例子舷礼，在我所說的意義上它們也都是邏輯的。由此你便有了關(guān)于邏輯概念是什么的想法郊闯。我自己僅僅考慮了4種最簡單的類型妻献，只在這些類型的范圍內(nèi)討論了邏輯概念的例子。作為這個(gè)討論的結(jié)論团赁，我想轉(zhuǎn)向另一個(gè)問題育拨，在聽我的說明時(shí)，你們中有些人大概已經(jīng)有了這個(gè)問題欢摄。
4.
數(shù)學(xué)是否是邏輯的一部分熬丧？這是常常被問及的問題。在這里我們僅考慮該問題的一個(gè)方面怀挠，即數(shù)學(xué)概念是否都是邏輯概念析蝴，而不涉及比如數(shù)學(xué)真命題是否都是邏輯真命題這樣的問題害捕，它超出了我們討論的范圍。眾所周知闷畸，全部數(shù)學(xué)可以在集合論⑨ 或類理論中構(gòu)造尝盼，因此，上述問題可以歸約為如下問題：集合論的概念是否都是邏輯概念腾啥？我們又知道，所有通常的集合論概念可以用一個(gè)概念來定義⑩冯吓，即歸屬概念或?qū)儆陉P(guān)系的概念倘待，因此我們的問題的最后一種形式是：屬于關(guān)系是否是我所建議的意義上的邏輯概念？答案似乎令人失望组贺。我們可以這樣來發(fā)展集合論凸舵、屬于關(guān)系的理論，使得這個(gè)問題的答案是肯定的失尖，或者我們也可以這樣來進(jìn)行啊奄，使得這個(gè)問題的答案是否定的。
所以答案是：“如你所愿掀潮！”你們都知道菇夸，由于悖論的出現(xiàn)，主要是本世紀(jì)之交在集合論中出現(xiàn)的羅素悖論仪吧，必須重新對集合論基礎(chǔ)進(jìn)行徹底的研究庄新。這項(xiàng)研究至今絕沒有完成的一個(gè)結(jié)果是說，在集合論經(jīng)歷慘痛重?fù)糁笫硎螅瑑煞N構(gòu)造從集合論中挽救出來的東西的方法發(fā)展起來了择诈。一種方法本質(zhì)上是《數(shù)學(xué)原理》的方法、懷特海和羅素的方法——類型方法出皇。第二種方法是策梅洛羞芍、馮?諾依曼和貝奈斯等人的方法——一階方法。現(xiàn)在讓我們從這兩種方法的觀點(diǎn)來看我們的問題郊艘。?
使用《數(shù)學(xué)原理》的方法荷科，集合論就是邏輯的一部分。該方法可以大致描述如下：我們有一個(gè)基礎(chǔ)論域纱注，即個(gè)體域步做，然后我們從這個(gè)個(gè)體域構(gòu)造一些概念，比如類奈附、關(guān)系全度、類的類、關(guān)系的類等等斥滤。然而只有基本論域将鸵、個(gè)體域才是根本的勉盅。一個(gè)變換定義在這個(gè)個(gè)體域上，而這個(gè)變換又誘導(dǎo)出由個(gè)體顶掉、個(gè)體之間的關(guān)系等等構(gòu)成的類上的變換草娜。更明確地說，我們考慮最低類型的全類痒筒，一個(gè)變換以這個(gè)全類為定義域和值域宰闰。然后這個(gè)變換也誘導(dǎo)出一個(gè)變換，其定義域和值域是第二類型的全類簿透，即個(gè)體的類的類移袍。當(dāng)我們討論“世界”到自身的變換時(shí)，我們僅僅指基本論域老充、個(gè)體域的變換 (這個(gè)論域可以解釋為物理對象的論域葡盗，盡管《數(shù)學(xué)原理》中沒有任何東西強(qiáng)迫我們接受這樣一個(gè)解釋)。使用這個(gè)方法啡浊，顯然觅够，屬于關(guān)系確實(shí)是一個(gè)邏輯概念。它出現(xiàn)于幾個(gè)類型中巷嚣，因?yàn)閭€(gè)體是個(gè)體的類的元素喘先，個(gè)體的類又是個(gè)體的類的類的元素等等。恰恰根據(jù)誘導(dǎo)變換的定義廷粒，屬于關(guān)系對世界到自身的每個(gè)變化都保持不變苹祟。
另一方面，考慮構(gòu)造集合論的第二種方法评雌，這里我們沒有類型分層树枫，只有一個(gè)論域，個(gè)體之間的屬于關(guān)系是不加定義的關(guān)系景东、一個(gè)初始概念∩扒幔現(xiàn)在，顯然這個(gè)屬于關(guān)系不是邏輯概念斤吐，因?yàn)檎缥仪懊嫣岬降哪菢由裕瑐€(gè)體之間只有4個(gè)邏輯關(guān)系：全域關(guān)系、空關(guān)系和措、恒等關(guān)系和多樣性關(guān)系庄呈。如果個(gè)體和集合被看作屬于同一個(gè)論域，那么屬于關(guān)系并不是這些關(guān)系中的任何一種關(guān)系派阱；因此诬留，在這第二種設(shè)想之下，數(shù)學(xué)概念不是邏輯概念。
這個(gè)結(jié)論在我看來非常有趣文兑，因?yàn)檫@兩個(gè)可能的答案對應(yīng)于兩種不同類型的思想盒刚。我認(rèn)為，一種關(guān)于邏輯绿贞、集合論和數(shù)學(xué)的一元論看法 (依據(jù)這一看法因块，整個(gè)數(shù)學(xué)是邏輯的一部分)，要求助于現(xiàn)代哲學(xué)家的一種基礎(chǔ)傾向籍铁。另一方面涡上，若是數(shù)學(xué)家聽說數(shù)學(xué)這門在他們看來是世界上最高的學(xué)科竟然是某種像邏輯那樣不足道的東西，他們一定會很沮喪拒名；因此吩愧，他們喜歡這樣來發(fā)展集合論，在其中集合論的概念不是邏輯概念靡狞。我所給出的建議耻警，自身并不蘊(yùn)含對于數(shù)學(xué)概念是否是邏輯概念這個(gè)問題的回答隔嫡。
【注釋】
① 把這些說明與塔爾斯基1935年的論文中關(guān)于真的說明以及1936年的論文中關(guān)于邏輯后承的說明 (特別是第420頁) 聯(lián)系起來看甸怕，很有啟發(fā)性。也可以參閱柯可蘭 (Corcoran, 1983)腮恩，特別是第xx－xxii頁梢杭。
② 例如，參見克萊因 (Klein, 1872)秸滴。
③ 這個(gè)領(lǐng)域的術(shù)語不統(tǒng)一武契，有些讀者可能不太熟悉塔爾斯基的用法。此處的術(shù)語源自塔爾斯基 (Tarski, 1935b)荡含，其中用“描述幾何學(xué)”表示普通歐幾里得幾何學(xué)中僅基于“點(diǎn)”和“介于……之間” (塔爾斯基稱為“描述的初始概念”) 的那一部分咒唆。用“度量幾何學(xué)”這個(gè)詞表示全部的普通歐幾里得幾何學(xué) (如塔爾斯基注解，它可以看作僅基于“點(diǎn)”和“同余”——塔爾斯基稱這些概念為“度量的初始概念”)释液。在同一篇論文中全释，塔爾斯基指出，描述幾何學(xué)在如下意義上是度量幾何學(xué)的一個(gè)真子部分：“介于……之間”可由“點(diǎn)”和“同余”來定義误债，而“同余”不能由“點(diǎn)”和“介于……之間”來定義浸船。
④ 目前使用的“仿射幾何學(xué)”恰恰就是在這種意義上使用的。塔爾斯基這里所謂的“仿射幾何學(xué)”寝蹈，在1935年的文獻(xiàn) (Tarski, 1935b) 中稱為“描述幾何學(xué)”李命。一個(gè)并非相似性的仿射變換，可以在平面幾何學(xué)中通過平面到其自身的一個(gè)非垂直的箫老、相交“復(fù)制平面”的平行投射而得到封字。具體地說，一個(gè)恰當(dāng)放置的等腰直角三角形的像是不等邊的，但三角形所有的像都是三角形周叮。
⑤ 如果不考慮莫特納的文章 (Mautner, 1946) (塔爾斯基當(dāng)時(shí)似乎并不知道這篇論文)辩撑，我相信是塔爾斯基第一次以英語把克萊因的厄爾蘭根綱領(lǐng)應(yīng)用于邏輯。不過仿耽，在席爾瓦 (Silva, 1945) 用意大利語寫的論文中合冀，我們找到一些應(yīng)用，這些應(yīng)用預(yù)示了后來模型論的一些基本要素项贺。凱瑟爾 (Keyser, 1922, p.219) 與威爾 (Weyl, 1949, p. 73) 隱約表明了邏輯與厄爾蘭根綱領(lǐng)之間相互聯(lián)系的可能性君躺。塔爾斯基從1923年到1938年的論文 (Tarski, 1983) 中并沒有提到 F. 克萊因。厄爾蘭根綱領(lǐng)對邏輯歷史發(fā)展的影響有待研究开缎。厄爾蘭根綱領(lǐng)在物理學(xué)棕叫、尤其是相對性中的作用也尚需研究。
⑥ 在布法羅演講中奕删，塔爾斯基指出俺泣，目前的說明可以應(yīng)用到狹義的集合、集合的類等“概念”完残，但是《數(shù)學(xué)原理》中的真值函數(shù)伏钠、量詞和關(guān)系算子等等，可以解釋為狹義的概念谨设，按照這種解釋熟掂，這里的說明同樣適合它們。例如扎拣，把真值T和F解釋為論域和空集赴肚，立即致使把真值函數(shù)解釋為 (更高層的) 概念。這種解釋對于數(shù)學(xué)家來說是常見的和自然的二蓝，但它們牽扯到當(dāng)代邏輯哲學(xué)家研究的那種哲學(xué)問題誉券。
⑦ 在論文《真之概念》(Tarski, 1935a) 中，塔爾斯基對語義范疇有一段擴(kuò)展性討論 (這些語義范疇恰好包含懷特海和羅素所處理的“類型”)刊愚。在第125頁踊跟，塔爾斯基把語義范疇這個(gè)概念歸于胡塞爾。
⑧ 參見懷特海和羅素 (Whitehead and Russell, 1910), III(2)百拓。
⑨ 在這里琴锭，塔爾斯基在一種模糊的、一般的意義上使用“集合論”這個(gè)詞衙传，在這種意義上决帖，幾種不同的具體理論也有資格成為集合論。特別地蓖捶，懷特海－羅素的類型論與 (一階的) 策梅洛－弗蘭克爾理論都有資格成為集合論地回。在這一點(diǎn)上要注意，塔爾斯基把目前各種“集合理論”只看作這個(gè)領(lǐng)域中可以有用地發(fā)展起來的小樣本。編者在“導(dǎo)論”中刻像，相對于類型論畅买，只在一種狹義上使用“集合論”。
⑩ 這個(gè)說明預(yù)設(shè)以下約定：一個(gè)給定的概念被說成可以通過某個(gè)固定的概念來定義细睡，如果存在一個(gè)除下述概念外不使用任何其他概念的 (對給定概念的) 定義：(1) 固定的概念谷羞；(2) 論域；(3) 其他已被接受的邏輯概念溜徙。例如湃缎，顯然，使用屬于關(guān)系而絕不用任何其他東西蠢壹，就無法定義空集嗓违。還需要注意，塔爾斯基說“所有通常的集合論概念”而非“所有集合論關(guān)系”图贸；后者有不可數(shù)多個(gè)蹂季，定義卻只有可數(shù)多個(gè)。
? 塔爾斯基認(rèn)為第一種方法還包括一個(gè)高階的基礎(chǔ)的邏輯疏日，第二種方法還包括一個(gè)一階的基礎(chǔ)的邏輯偿洁。當(dāng)然可以在多種類的一階基礎(chǔ)邏輯中重新解釋類型論，但與本演講在精神上和文字上都不相洽制恍。類似地父能，也可以在高階邏輯中發(fā)展策梅洛的集合論神凑。這同樣也與本演講的精神不相洽——盡管策梅洛自己可能已經(jīng)這樣做過净神，這是一個(gè)歷史事實(shí)。順便說一句溉委，建立這兩種方法的歷史性文章都發(fā)表于同一年鹃唯，即1908年。
【參考文獻(xiàn)】
[1] J. Corcoran (1983), "Editor's Introduction to the Revised Edition", in Tarski 1983.
[2] C. J. Keyser (1922), Mathematical Philosophy, E. P. Dutton &Company, p. 219.
[3] F. Klein (1872), "A Comparative Review of Recent Researches in Geometry", English trans, by M. W. Haskell, in Bulletin of the New York Mathematical Society, 2(1892-1893).
[4] A. Lindenbaum and A. Tarski (1936), "On the Limitations of the Means of Expression of Deductive Theories", in Tarski 1983.
[5] F. I. Mautner (1946), "An Extension of Klein's Erlanger Programm: Logic as an Invariant Theory", in American Journal of Mathematics, 68(1946).
[6] J. S. Silva (1945), "On Automorphisms of Arbitrary Mathematical Systems", English trans, by A. J. F. de Oliveira, in History and Philosophy of Logic, 6(1985).
[7] A. Tarski (1935a), "The Concept of Truth in Formalized Languages", in Tarski 1983.
[8] A. Tarski (1935b), "Some Methodological Investigations on the Definability of Concepts", in Tarski 1983.
[9] A. Tarski (1936), "On the Concept of Logical Consequence", in Tarski 1983.
[10] A. Tarski (1969), "Truth and Proof", in Scientific American 220, no. 6.
[11] A. Tarski (1983), Logic, Semantics, Metamathematics, 1[st] ed. (ed. and trans. Woodger, J. H.), Clarendon Press, 1956.
[12] A. Tarski and S. Givant (1987), A Formalization of Set Theory Without Variables, American Mathematical Society.
[13] H. Weyl (1949), Philosophy of Mathematics and Natural Science, Princeton University Press, p. 73.
[14] A. Whitehead and B. Russell (1910), Principia Mathematica, vol. 1, Cambridge University Press.
* 1966年5月16日瓣喊，塔爾斯基在倫敦大學(xué)貝德福德學(xué)院以《什么是邏輯概念坡慌？》為題做了一次演講，然后根據(jù)演講錄音整理了一份打字稿藻三。1973年4月20日洪橘，在紐約州立大學(xué)布法羅分校的會議上，他依據(jù)這份打字稿做了一次主題演講棵帽，該校教授著名的美國邏輯學(xué)家熄求、哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和邏輯史家J. 柯可蘭 (1937—) 對本次演講做了詳細(xì)的筆記逗概，并在筆記基礎(chǔ)上寫了一份擴(kuò)展性說明弟晚，發(fā)表在該大學(xué)的報(bào)紙上。1982年，塔爾斯基把打字稿以及需要完善的說明交給了柯可蘭卿城∶兜觯柯可蘭糾正了稿件中存在的標(biāo)點(diǎn)符號、句子結(jié)構(gòu)和語法問題瑟押，并添加了參考文獻(xiàn)和腳注搀捷。1983年，塔爾斯基去世多望。在其去世前他的兒子揚(yáng)?塔爾斯基和夫人瑪麗亞?塔爾斯基征得塔爾斯基同意決定發(fā)表經(jīng)柯可蘭編輯后的文章指煎。編輯版本最后于1986年發(fā)表在《邏輯史和邏輯哲學(xué)》第7卷。征得揚(yáng)?塔爾斯基教授便斥、柯可蘭教授和《邏輯史和邏輯哲學(xué)》現(xiàn)任主編裴克豪斯 (Volker Peckhaus) 教授的許可至壤，我們把塔爾斯基的這篇經(jīng)典論文翻譯介紹給國內(nèi)讀者。該文發(fā)表時(shí)編者柯可蘭教授在文前加了一段“編者導(dǎo)論”和一段“編輯處理”枢纠，文后還有一個(gè)“編者致謝”像街，限于篇幅譯文刪除了這些內(nèi)容。本文在翻譯過程中得到了圣何塞州立大學(xué) (San Jose State University) 牟博教授的熱情支持和幫助晋渺，西南大學(xué)的馬明輝博士提出過具體的修改意見镰绎。一并致謝！
——譯者
Alfred Tarski, "What are Logical Notions?" Edited by John Corcoran, in History and Philosophy of Logic, vol. 7, 1986
原載：《世界哲學(xué)》2014年3期木西，“A. 塔爾斯基：什么是邏輯概念畴栖？” 劉新文/譯
來源：http://www.philosophy.org.cn/Subject_info.aspx?n=20150304161520190030
編排：deepfishes (限個(gè)人學(xué)習(xí)交流)
