引子：遠(yuǎn)古的夜晚，沒有電視扶供、電影，人們怎么消磨寂寞時光裂明？抬頭椿浓，大片璀璨的星空就是環(huán)形大屏幕的電視秀！夕陽余輝散盡闽晦，夜幕漸次拉開扳碍，星星點點的背景漸漸顯現(xiàn)，裹挾著橫亙夜空中央的銀河緩緩滑動仙蛉，精彩的流光之舞開始上演笋敞。太陽系的一家之主平日里一臉嚴(yán)肅，把大伙嚇得不敢露臉荠瘪。此時他忙了一白天夯巷、退到后臺休息去了，小孩子們松了口氣哀墓，紛紛拉著月亮媽媽開起了舞會趁餐，兩個小女兒最調(diào)皮，她們打扮得光彩照人篮绰，時而露個鬼臉后雷、時而串到幕后；英俊的紅臉男孩快步跑著，夢想當(dāng)一個能征善戰(zhàn)的武士臀突；老大則緩緩挪動著腳步勉抓，巡視著家里的每一個角落，時而停下來回頭看看候学。九天之下藕筋，一群智慧之人，拿起直尺盒齿、圓規(guī)念逞，也開起了舞會，他們靈巧的雙手之下边翁，各個主角輪番上演翎承，居然也和天上的舞者配合得默契自如、天衣無縫符匾。他們是誰叨咖？為什么開一個和天上一樣的舞會？”
又到了每周固定的時間啊胶，學(xué)生來到餐廳甸各，發(fā)現(xiàn)老師已經(jīng)坐在靠窗桌旁了。
學(xué)生趕快走過去在對面坐下焰坪，定睛一看原來老師在擺弄一臺模型趣倾。老師十分專注，沒有看到學(xué)生某饰。模型中間是一個金屬質(zhì)地的大球儒恋，幾個顏色、大小不同的小球環(huán)繞著大球黔漂，大球和小球位于同一高度诫尽，每個小球由一個金屬桿支撐著。
學(xué)生好奇地問：“這是什么玩意炬守？”
“你猜猜看”牧嫉，老師一邊說，一邊旋轉(zhuǎn)一個金屬桿减途，周圍的小球同時繞著大球運動酣藻，越靠近中間的小球轉(zhuǎn)得越快，越遠(yuǎn)的小球轉(zhuǎn)得越慢观蜗，而中間大球不動臊恋。
“好，我看一看這里有什么名堂墓捻。中間這個球很大抖仅，周圍的球繞著它旋轉(zhuǎn)坊夫，有一個藍色的小球，還有一個紅色的小球撤卢，還有這個球上有很多光環(huán)... 哇环凿！原來是太陽系模型？” 學(xué)生驚訝地說道放吩。
“對，你猜對了”渡紫，老師說道到推，“看到這顆藍色的星球了嗎？”
“是地球惕澎，它旁邊還有一個小球繞著地球旋轉(zhuǎn)莉测，肯定是月亮了！” 學(xué)生說道唧喉。
“對捣卤。你再看看其它的行星，它們轉(zhuǎn)得比地球快還是慢八孝？”
“嗯董朝，里面這顆水星轉(zhuǎn)得最快，地球轉(zhuǎn)一圈干跛，水星轉(zhuǎn)了差不多4圈子姜。金星也轉(zhuǎn)的很快。這顆紅色行星應(yīng)該是火星楼入，轉(zhuǎn)的比地球慢一倍左右闲询，外面的土星、木星轉(zhuǎn)的就更慢了浅辙！”
“對⊙掷眩”
“老師记舆，怎么剛好設(shè)計得這么準(zhǔn)呢？” 學(xué)生不解地問道呼巴。
“你猜猜看泽腮，提醒你一下”。老師用手指了指衣赶。
“哦诊赊，這些齒輪！我一開始就注意到了府瞄”贪酰”
“每個齒都是三角形，相鄰齒輪上的齒大小相等，所以可以緊密嚙合在一起鲸郊。當(dāng)一個齒輪轉(zhuǎn)動時丰榴，會帶動相鄰的齒輪轉(zhuǎn)動。直徑大的齒輪轉(zhuǎn)一圈花的時間更久秆撮∷谋簦”
“這有什么用呢？”
“齒輪數(shù)與公轉(zhuǎn)的角速度成反比职辨，或者說齒輪數(shù)與公轉(zhuǎn)周期成正比盗蟆。”
“能舉個例子嗎舒裤？”
“比如有一個齒輪有40個齒喳资，另一個齒輪有20個齒，兩個齒輪嚙合在一起后惭每，當(dāng)40齒的齒輪轉(zhuǎn)了1圈骨饿，20齒的齒輪剛好轉(zhuǎn)了2圈√ㄐ龋”
“嗯宏赘，同意±璩蓿”
“我們把地球公轉(zhuǎn)一圈的一年作為參考察署，那么水星公轉(zhuǎn)一圈是87.97天，也就是0.2409年峻汉，也就是說水星和地球的兩個齒輪比應(yīng)該是0.2409贴汪。如果 找到兩個齒輪的齒數(shù)比值剛好是0.2409，那么就可以模擬地球和水星的位置變化了休吠“夤。”
“可是兩個齒輪的齒數(shù)只能是整數(shù)×鼋福”
“對阳懂，所以要用整數(shù)之比來近似小數(shù)，你知道怎么做了吧柜思？” 老師問道岩调。
“哈！這不就是連分?jǐn)?shù)大顯身手的時候嗎赡盘？号枕！”
“對！水星的周期和地球的周期比值是0.2409陨享， 約等于1/4葱淳，但這樣不太精確钝腺。我們還是做連分?jǐn)?shù)展開，得到它的漸進分?jǐn)?shù)是：
“例如我們選擇13/54的齒輪比蛙紫，既不需要太多的齒輪數(shù)拍屑，精度也比較好】痈担” 老師說道僵驰。
“那火星呢？” 學(xué)生問道唁毒。
“如果是火星蒜茴，我們就要選擇大于1的齒輪比了，因為火星的公轉(zhuǎn)周期幾乎是地球的2倍浆西，確切地說是1.8809倍粉私。記得嗎？以前我們還用連分?jǐn)?shù)展開計算過火星大沖近零∨岛耍”
“嗯，我記得久信。沒想到連分?jǐn)?shù)還可以用來做太陽系模型窖杀。很早以前就有人這么做了嗎？”
“是的裙士，早在惠更斯的時代入客，就已經(jīng)有了。你還記得惠更斯吧腿椎？”
“記得桌硫，他是十七世紀(jì)荷蘭的物理學(xué)家、天文學(xué)家啃炸、數(shù)學(xué)家铆隘，提出了著名的鐘擺擺動周期的公式∧嫌茫” 學(xué)生說道咖驮。
“沒錯，可惠更斯的成就遠(yuǎn)不止于此训枢。他還創(chuàng)立的光的波動說，提出了惠更斯原理忘巧。他和胡克共同測定了溫度表的冰點和沸點恒界，他還用自制的望遠(yuǎn)鏡發(fā)現(xiàn)了土星的衛(wèi)星和土星上的光環(huán)⊙庾欤”
“這么說十酣，他那時就系統(tǒng)研究過太陽系的行星和他們的周期涩拙？” 學(xué)生問道。
“對耸采⌒四啵惠更斯想做一個以太陽為中心的太陽系的機械模型來演示各個行星的運動，那時日心說已經(jīng)被接受虾宇， 所以他把太陽放在中心不動搓彻，其它行星用齒輪驅(qū)動旋轉(zhuǎn)，就和我手頭這個差不多嘱朽。比如土星旭贬，那時測量到的土星公轉(zhuǎn)周期是29.43年，他需要制作兩個齒輪搪泳，齒輪數(shù)分別是P和Q稀轨，讓P/Q近似等于29.43。如何確定P和Q這兩個整數(shù)的數(shù)值呢岸军？既然P/Q這個數(shù)值比較大奋刽，為了讓P不至于太大以至于很難去制作齒輪，所以要盡量找比較小的P和Q的數(shù)值艰赞。把29.43做連分?jǐn)?shù)展開后可以得到：[29; 2, 3, 14]佣谐，也就是：
它的漸進分?jǐn)?shù)是：
“可以看出如果用206和7，剛好得到一個很精確的數(shù)值來近似模擬土星和地球公轉(zhuǎn)周期猖毫√ǖ” 老師說道。
學(xué)生看了一眼巨大的木星說：“那木星這個大家伙呢吁断？它的周期是多少趁蕊？我來擺弄一下∽幸郏” 學(xué)生轉(zhuǎn)動模型掷伙，發(fā)現(xiàn)木星轉(zhuǎn)一圈，地球大約轉(zhuǎn)了12圈又兵。
“對任柜，木星的周期是將近12年，確切地說是11.86年沛厨，在古代人們曾以為木星的周期剛好是12年宙地，所以又把木星稱為歲星∧嫫ぃ”
“為什么叫歲星呢宅粥？”
“12年在中國是一個非常特殊的數(shù)字，它正好是一個地支的循環(huán)电谣，你出生時木星位于軌道上的某一點秽梅，當(dāng)木星再次回到這一點時抹蚀，就是你的本命年了∑罂眩”
“有意思环壤，那也就是說地球轉(zhuǎn)了將近12圈，木星才轉(zhuǎn)一圈钞诡≈Ｏ郑” 學(xué)生說道。
“對臭增，你看這和我們機械鐘表的分針和時針很相似懂酱，是不是？分針轉(zhuǎn)得比時針快12倍誊抛。如果把分針的末端比作地球列牺，而時針的末端比作木星，那么分針轉(zhuǎn)12圈拗窃，時針剛好轉(zhuǎn)過一圈瞎领！”
“那這個太陽系模型能演示日食和月食嗎？” 學(xué)生問到随夸。
“不能九默，這個模型太簡單了”龆荆”
“我記得驼修，日食和月食只可能發(fā)生在朔日（初一）和望日（十五），是嗎诈铛？”
“是的幢竹，只有初一和十五耳峦、十六地球、月球和太陽剛好在一個平面上焕毫。所以這一次日食（月食）和下一次日食（月食）的間隔一定是整數(shù)倍個朔望月蹲坷。這是形成日食月食的其中一個關(guān)鍵條件，但還不是充分條件邑飒，只有當(dāng)三者處于同一條直線上才能發(fā)生日食或月食循签。”
“那其它的關(guān)鍵條件是什么呢疙咸？”
“與黃道面和白道面的夾角有關(guān)县匠，這兩個平面并不重合，而是有一個夾角【厶疲”
“我忘記什么是黃道面和白道面了，你能解釋一下嗎腔召？”
“好的杆查。太陽在天空走過的軌跡，叫黃道臀蛛，它的截面叫黃道面亲桦。類似地，月球在天空走過的軌跡叫白道浊仆，形成的截面叫白道面客峭。還記得我們用半個西瓜解釋冬至夏至的那個例子嗎？切西瓜后形成了一個截面抡柿，截面的邊緣是一道弧線舔琅，就是太陽劃過天空的痕跡，叫黃道洲劣”蛤荆” ( 《時間之問》第4周B 怎么用半個西瓜解釋冬至夏至、春分秋分囱稽？ )
“為什么黃道面和白道面之間有個夾角郊尝？如果沒有這個夾角會怎么樣呢？”
“這個夾角取決于太陽系最初形成時的旋轉(zhuǎn)角動量战惊、以及月球形成時的角動量流昏，這個角度在月球形成后一直在變化，目前是5.3度吞获。如果黃道面和白道面重合况凉，地球的公轉(zhuǎn)軌道和月球的繞地軌道始終在一個平面上，那么每個朔望月的十五衫哥，地球都會把太陽光擋住而發(fā)生月食茎刚，而每個月初一月球都會擋住太陽光而發(fā)生日食。而實際上日食和月食并沒有那么頻繁撤逢，就是因為這個夾角的存在膛锭，光線沒有被地球或月亮擋住∥萌伲”
“我想想”毯炮，學(xué)生看了看這個太陽系儀枣购，點了點頭說，“這看似不大的5.3度的夾角，卻導(dǎo)致了很大的不同赊时。”
“對，由于有這個夾角，黃道面和白道面有且只有兩個交點（一個叫上行節(jié)點关顷，另一個叫下行節(jié)點），月亮每兩次經(jīng)過其中一個交點所需的時間就是一個交點月（27.21222天）武福∫樗”
“交點月？聽起來很熟悉莹规！是不是祖沖之測量過赔蒲、并且還和戴法興辯論的交點月？”
“對访惜，正是嘹履。祖沖之測量的結(jié)果和現(xiàn)代測量的誤差只有1秒≌龋” （ 《時間之問》第6周B 祖沖之：翩翩才俊還是山羊胡老頭砾嫉？ ）
“交點月對于日食、月食的發(fā)生有什么意義窒篱？”
“只有在黃道面和白道面的交點焕刮，月亮才有可能擋住地球或者反過來地球擋住月亮。也就是說墙杯，如果這一次日食配并、月食發(fā)生在某個時刻，那么一定是等到下一次月亮運行到交點高镐，才有可能再次發(fā)生日食月食溉旋。”
“這個發(fā)生蝕的另一個必要條件嫉髓？”
“對观腊，所以兩次蝕之間的間隔一定是交點月的整數(shù)倍∷阈校”
“但是我們剛才說到梧油，兩次蝕之間的間隔又必須是整數(shù)倍個朔望月，是嗎州邢？”
“是的儡陨。只有在交點附近，并且剛好是十五，才有可能發(fā)生月食骗村；只有在交點附近并且剛好是初一嫌褪，才有可能發(fā)生日食∨吖桑”
“那到底該怎么計算兩次蝕之間的間隔呢渔扎？”
“要計算日食月食的周期，必須同時考慮朔望月的長度和交點月的長度信轿，缺一不可〔蟹裕”
“可是交點月和朔望月的長度并不相等财忽，而且也不是整數(shù)倍關(guān)系∑辏”
“沒錯即彪，所以要想讓兩個條件同時滿足，那只有找到兩者的最小公倍數(shù)活尊，也就是說要看一看多少個整數(shù)朔望月剛好等于多少個整數(shù)交點月隶校，就像我們找地球和水星之間的齒輪比一樣，地球的13年對應(yīng)于水星的54年蛹锰∩罡欤”
“我有點明白了，經(jīng)過這樣一個大周期之后铜犬，會怎么樣呢舞终？”
“你猜猜看⊙⒒” 老師說道敛劝。
“好的，我想想纷宇。既然這么一個大周期既是朔望月的整數(shù)倍夸盟，又是交點月的整數(shù)倍，那么這么一個大周期后像捶，日上陕、地、月的相對位置又重新開始了作岖，那么日食月食就又重復(fù)發(fā)生了唆垃。”
“很好痘儡，你說的對辕万，確實存在這樣一個周期，叫做沙羅周期（Saros Cycle）”。
“怎么計算沙羅周期呢渐尿？” 學(xué)生問道醉途。
“只要找到朔望月和交點月兩者的最小公倍數(shù)∽┤祝”
“但這兩個周期的比值不是整數(shù)隘擎，而是小數(shù)，所以最小公倍數(shù)無法直接計算得到吧凉夯？” 學(xué)生問道货葬。
“是的，這時就要用到我們上次討論的數(shù)學(xué)知識了劲够！”
“連分?jǐn)?shù)震桶？！” 學(xué)生脫口而出征绎。
“Bingo蹲姐！我們可以先把兩個周期的比值展開為連分?jǐn)?shù)，找到足夠接近的漸進分?jǐn)?shù)即可人柿〔穸眨”
“這事已經(jīng)輕車熟路了≠灬”
老師拿出手機江咳，“我們把交點月和朔望月周期相除27.21222/29.530588=0.92149266，做連分?jǐn)?shù)展開”哥放。老師找到計算連分?jǐn)?shù)的網(wǎng)站扎阶，把0.92149266輸入進去，然后就得到了連分?jǐn)?shù)的展開后的近似分?jǐn)?shù)婶芭。
“223/242=0.9214876. 非常接近實際的比值”东臀，學(xué)生說道。
“嗯犀农，也就是說223個朔望月大約等于242個交點月惰赋。每經(jīng)過223個朔望月，地球月球和太陽的相對位置又重復(fù)一次呵哨，日月食也重復(fù)一次赁濒。而223個朔望月就是6585.32157 天，也就是18年零11.32天孟害，而242個交點月是6585.35724 天拒炎，兩者非常接近，相差不到一小時挨务。沙羅周期又稱為18年周期击你∮褡椋”
“可是沙羅周期并不是完整的天數(shù)，有一個討厭的0.32-0.35天丁侄」喏ǎ”
“對，你觀察得很仔細(xì)鸿摇。實際上地球上的同一地點看到日食月食再次發(fā)生要等到3個沙羅周期才能看到石景。因為有1/3天的零頭，所以每過一個沙羅周期拙吉，日食月食并不在地球上的同一地點出現(xiàn)潮孽，而是要在地球上相差1/3天（8個小時左右）的地方，也就是相隔8個時區(qū)的地方出現(xiàn)筷黔。為了每次在地球上同一地方看到日食月食恩商，就要把這1/3變成整數(shù)，也就是把沙羅周期再乘以3必逆，就變成了54年多34天之后日食和月食會在同一地點出現(xiàn)，這個由3個沙羅周期組成的更大的周期叫做Exeligmos周期揽乱∶迹”
“嗯，考慮得這么周詳凰棉。這個沙羅周期是古希臘人發(fā)現(xiàn)的嗎损拢？” 學(xué)生說道。
“不是撒犀，比古希臘人還要早福压，是古巴比倫人發(fā)現(xiàn)的』蛭瑁”
“為什么叫沙羅周期呢荆姆？”
“沙羅的意思是重復(fù)∮车剩”
“真是難以想象胆筒，那么久遠(yuǎn)的年代人們就認(rèn)識到了這個規(guī)律。有了太陽系模型诈豌，我們就知道五大行星過去在天空中的位置仆救，甚至能預(yù)測未來它們在天空中的位置〗糜妫” 學(xué)生問道彤蔽。
“對。這非常重要庙洼，因為從地球角度看出去顿痪，行星的運行非常沒有規(guī)律镊辕，時快時慢，甚至還會逆行员魏，所以行星planet的意思其實是vagabon?d（漫游者）丑蛤。預(yù)測出行星的軌道意義重大。有一幅著名的油畫（A Philosopher Lecturing on the Orrery）撕阎，珍藏在倫敦的德比博物館里受裹，畫的就是在18世紀(jì)，人們在太陽系儀旁邊學(xué)習(xí)天文知識的情景虏束∶奕模”
“哦，那更早以前镇匀，比惠更斯還早的時候照藻，甚至文藝復(fù)興以前也有人做過類似的模型嗎？”
“有汗侵，甚至在2000多年前的古希臘時期就有幸缕！”
“是嗎？晰韵！” 學(xué)生驚訝地問道发乔。
“而且它比惠更斯做得還精密巧妙！”
“有這么神奇雪猪，這是怎么回事呢栏尚？”
“哦，今天的時間不多了只恨，我們留到下次再聊吧译仗！”
“好的，老師再見官觅！”
