前面的文章里枕赵，“正向思考輔助器——方程”猜欺，隨后與“方程使用說明書”一起，開拓了解析平面幾何拷窜、解析立體幾何領(lǐng)域开皿，將幾何圖形與方程函數(shù)融會(huì)貫通起來涧黄。接下來，我們來看看新的思考輔助器——微分和積分赋荆。

這時(shí)候笋妥，歷史來到17世紀(jì)，哥倫布發(fā)現(xiàn)新大陸窄潭，哥白尼創(chuàng)立日心說春宣，伽利略出版《力學(xué)對(duì)話》，開普勒發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律……航海的需要嫉你，礦山的開發(fā)月帝，火松制造提出了一系列的力學(xué)和數(shù)學(xué)的問題，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素幽污。歸結(jié)起來嚷辅，大約有四種主要類型的問題：

第一類問題是求曲線的切線的問題。這個(gè)問題的重要性來源于好幾個(gè)方面：純幾何問題距误、光學(xué)中研究光線通過透鏡的通道問題簸搞、運(yùn)動(dòng)物體在它的軌跡上任意一點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)方向問題等。困難在于：曲線的“切線”的定義本身就是一個(gè)沒有解決的問題准潭。古希臘人把圓錐曲線的切線定義為“與曲線只接觸于一點(diǎn)而且位于曲線的一邊的直線”趁俊。這個(gè)定義對(duì)于十七世紀(jì)所用的較復(fù)雜的曲線已經(jīng)不適應(yīng)了。

第二類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題惋鹅。十七世紀(jì)初期则酝，伽利略斷定，在真空中以45°角發(fā)射炮彈時(shí)闰集，射程最大沽讹。研究行星運(yùn)動(dòng)也涉及最大最小值問題。困難在于：原有的初等計(jì)算方法已不適于解決研究中出現(xiàn)的問題武鲁。但新的方法尚無眉目爽雄。

第三類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問題沐鼠。已知物體移動(dòng)的距離表為時(shí)間的函數(shù)的公式挚瘟，求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度；反過來饲梭，已知物體的加速度表為時(shí)間的函數(shù)的公式乘盖，求速度和距離。困難在于：十七世紀(jì)所涉及的速度和加速度每時(shí)每刻都在變化憔涉。例如订框，計(jì)算瞬時(shí)速度，就不能象計(jì)算平均速度那樣兜叨，用運(yùn)動(dòng)的時(shí)間去除移動(dòng)的距離穿扳，因?yàn)樵诮o定的瞬刻衩侥，移動(dòng)的距離和所用的時(shí)間都是 0，而 0 / 0 是無意義的矛物。但根據(jù)物理學(xué)茫死，每個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體在它運(yùn)動(dòng)的每一時(shí)刻必有速度，是不容懷疑的履羞。

第四類問題是求曲線長(zhǎng)峦萎、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積忆首、物體的重心骨杂、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。困難在于：古希臘人用窮竭法求出了一些面積和體積雄卷，盡管他們只是對(duì)于比較簡(jiǎn)單的面積和體積應(yīng)用了這個(gè)方法，但也必須添加許多技巧蛤售，因?yàn)檫@個(gè)方法缺乏一般性丁鹉，而且經(jīng)常得不到數(shù)值的解答。窮竭法先是被逐步修改悴能，后來由微積分的創(chuàng)立而被根本修改了揣钦。歐多克斯的窮竭法是一種有限且相當(dāng)復(fù)雜的幾何方法。它的思想雖然古老漠酿，但很重要冯凹，阿基米德用得相當(dāng)熟練。

微積分的產(chǎn)生一般分為三個(gè)階段：極限概念炒嘲；求積的無限小方法宇姚；積分與微分的互逆關(guān)系 。最后一步是由牛頓夫凸、萊布尼茲完成的浑劳。

公正的歷史評(píng)價(jià)，是不能把創(chuàng)建微積分歸功于一兩個(gè)人的偶然的或不可思議的靈感的夭拌。十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家魔熏、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上節(jié)四類問題作了大量的研究工作鸽扁，如法國(guó)的費(fèi)馬蒜绽、笛卡爾、羅伯瓦桶现、笛沙格躲雅；英國(guó)的巴羅、瓦里士巩那；德國(guó)的開普勒吏夯；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論此蜈。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。

事實(shí)上噪生，牛頓的老師巴羅裆赵，就曾經(jīng)幾乎充分認(rèn)識(shí)到微分與積分之間的互逆關(guān)系。牛頓和萊布尼茨創(chuàng)建的系統(tǒng)的微積分就是基于這一基本思想跺嗽。在牛頓與萊布尼茨作出他們的沖刺之前战授，微積分的大量知識(shí)已經(jīng)積累起來了。甚至在巴羅的一本書里就能看到求切線的方法桨嫁、兩個(gè)函數(shù)的積和商的微分定理植兰、x 的冪的微分、求曲線的長(zhǎng)度璃吧、定積分中的變量代換楣导、隱函數(shù)的微分定理等等。但最重要的2個(gè)人物還是下面兩位：

牛頓

17世紀(jì)生產(chǎn)力的發(fā)展推動(dòng)了自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展畜挨，不但已有的數(shù)學(xué)成果得到進(jìn)一步鞏固筒繁、充實(shí)和擴(kuò)大，而且由于實(shí)踐的需要巴元，開始研究運(yùn)動(dòng)著的物體和變化的量毡咏，這樣就獲得了變量的概念，研究變化著的量的一般性和它們之間的依賴關(guān)系逮刨。到了17世紀(jì)下半葉呕缭，在前人創(chuàng)造性研究的基礎(chǔ)上，英國(guó)大數(shù)學(xué)家修己、物理學(xué)家艾薩克·牛頓（1642~1727）是從物理學(xué)的角度研究微積分的恢总，他為了解決運(yùn)動(dòng)問題，創(chuàng)立了一種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)理論睬愤，即牛頓稱之為“流數(shù)術(shù)”的理論离熏，這實(shí)際上就是微積分理論。牛頓的有關(guān)“流數(shù)術(shù)”的主要著作是《求曲邊形面積》戴涝、《運(yùn)用無窮多項(xiàng)方程的計(jì)算法》和《流數(shù)術(shù)和無窮極數(shù)》滋戳。這些概念是物理概念的數(shù)學(xué)反映。牛頓認(rèn)為任何運(yùn)動(dòng)存在于空間啥刻，依賴于時(shí)間奸鸯，因而他把時(shí)間作為自變量，把和時(shí)間有關(guān)的固變量作為流量可帽，不僅這樣娄涩，他還把幾何圖形――線、角、體蓄拣，都看作力學(xué)位移的結(jié)果扬虚。因而，一切變量都是流量球恤。

牛頓指出辜昵，“流數(shù)術(shù)”基本上包括三類問題。

（1）已知流量之間的關(guān)系咽斧，求它們的流數(shù)的關(guān)系堪置，這相當(dāng)于微分學(xué)。

（2）已知表示流數(shù)之間的關(guān)系的方程张惹，求相應(yīng)的流量間的關(guān)系舀锨。這相當(dāng)于積分學(xué)，牛頓意義下的積分法不僅包括求原函數(shù)宛逗，還包括解微分方程坎匿。

（3）“流數(shù)術(shù)”應(yīng)用范圍包括計(jì)算曲線的極大值、極小值雷激，求曲線的切線和曲率碑诉，求曲線長(zhǎng)度及計(jì)算曲邊形面積等。

牛頓已完全清楚上述（1）與（2）兩類問題中運(yùn)算是互逆的運(yùn)算侥锦，于是建立起微分學(xué)和積分學(xué)之間的聯(lián)系。

牛頓在1665年5月20日的一份手稿中提到“流數(shù)術(shù)”德挣，因而有人把這一天作為誕生微積分的標(biāo)志恭垦。

萊布尼茨

德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨（G.W. Leibniz 1646~1716）是17、18世紀(jì)之交德國(guó)最重要的數(shù)學(xué)家格嗅、物理學(xué)家和哲學(xué)家番挺，一個(gè)舉世罕見的科學(xué)天才。他博覽群書屯掖，涉獵百科玄柏，對(duì)豐富人類的科學(xué)知識(shí)寶庫做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。

他是從幾何方面獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了微積分贴铜，在牛頓和萊布尼茨之前至少有數(shù)十位數(shù)學(xué)家研究過粪摘，他們?yōu)槲⒎e分的誕生作了開創(chuàng)性貢獻(xiàn)。但是他們這些工作是零碎的绍坝，不連貫的徘意，缺乏統(tǒng)一性。萊布尼茨創(chuàng)立微積分的途徑與方法與牛頓是不同的轩褐。萊布尼茨是經(jīng)過研究曲線的切線和曲線包圍的面積椎咧，運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念、得出運(yùn)算法則的把介。牛頓在微積分的應(yīng)用上更多地結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué)勤讽，造詣?shì)^萊布尼茨高一等蟋座，但萊布尼茨的表達(dá)形式采用數(shù)學(xué)符號(hào)卻又遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓一籌，既簡(jiǎn)潔又準(zhǔn)確地揭示出微積分的實(shí)質(zhì)脚牍，強(qiáng)有力地促進(jìn)了高等數(shù)學(xué)的發(fā)展向臀。

萊布尼茨創(chuàng)造的微積分符號(hào)，正像印度――阿拉伯?dāng)?shù)碼促進(jìn)了算術(shù)與代數(shù)發(fā)展一樣莫矗，促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展飒硅。萊布尼茨是數(shù)學(xué)史上最杰出的符號(hào)創(chuàng)造者之一。

牛頓當(dāng)時(shí)采用的微分和積分符號(hào)現(xiàn)在不用了作谚，而萊布尼茨所采用的符號(hào)現(xiàn)今仍在使用三娩。萊布尼茨比別人更早更明確地認(rèn)識(shí)到，好的符號(hào)能大大節(jié)省思維勞動(dòng)妹懒，運(yùn)用符號(hào)的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一雀监。

應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項(xiàng)重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時(shí)間一樣眨唬，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的会前。他們?cè)跓o窮和無窮小量這個(gè)問題上，其說不一匾竿，十分含糊瓦宜。牛頓的無窮小量，有時(shí)候是零岭妖，有時(shí)候不是零而是有限的小量临庇；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎(chǔ)方面的缺陷昵慌，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生假夺。直到19世紀(jì)初，法國(guó)科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首斋攀，對(duì)微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究已卷，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化淳蔼，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)侧蘸。才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開來。

牛頓和萊布尼茨分別從物理和數(shù)學(xué)角度發(fā)明了微積分——將量的變化率和該量的圖形連系起來的數(shù)學(xué)鹉梨。最后闺魏，讓我們從17世紀(jì)科學(xué)家們遇到的四大類難題，來看看微分和積分為什么充當(dāng)了“跨維思考輔助器”的角色俯画。

第一類問題是求曲線的切線的問題析桥。這個(gè)問題的重要性來源于好幾個(gè)方面：純幾何問題、光學(xué)中研究光線通過透鏡的通道問題、運(yùn)動(dòng)物體在它的軌跡上任意一點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)方向問題等泡仗。

我們爬山的時(shí)候埋虹，山越陡越難爬；騎車的時(shí)候娩怎，路面的坡度越大越難騎搔课。一個(gè)面的坡度越大，傾斜得越厲害截亦，我們就越難上去爬泥，那么，我們?cè)撊绾魏饬窟@個(gè)傾斜程度呢崩瓤？

在平面里畫條一條直線袍啡，我們可以直觀地看出這條直線的傾斜程度，而且還不難發(fā)現(xiàn)：不管在直線的什么地方却桶，它的傾斜程度都是一樣的境输。所以，我們就可以用一個(gè)量來描述這整條直線的傾斜程度颖系，這個(gè)概念就被形象地命名為斜率嗅剖。那么，一條直線的斜率要怎么計(jì)算呢嘁扼？這個(gè)想法也很直觀：建一個(gè)坐標(biāo)系信粮，看看直線在x軸改變了Δx時(shí)候，它在y軸的改變量Δy是多少趁啸。如果Δx是固定的强缘，那么顯然Δy越大，這條直線就斜得越厲害莲绰，斜率也就越大。

所以姑丑，我們就可以在直線上隨意找兩個(gè)點(diǎn)蛤签，用它們縱坐標(biāo)之差Δy和橫坐標(biāo)之差Δx的比值（Δy/Δx）來定義這條直線斜率。學(xué)過三角函數(shù)的同學(xué)也會(huì)知道栅哀，這個(gè)斜率剛好就是這條直線和x軸夾角θ的正切值tanθ震肮，即：tanθ=Δy/Δx。這就是說留拾，直線和x軸的夾角θ越大戳晌，它的斜率就越大，就傾斜的越厲害痴柔，這跟經(jīng)驗(yàn)都是一致的沦偎。

直線好說，關(guān)鍵是曲線怎么辦？曲線跟直線不同豪嚎，它完全可以在這里平緩一點(diǎn)搔驼，在那里陡峭一點(diǎn)，它在不同地方的傾斜程度是不一樣的侈询。所以舌涨，我們就不能說一條曲線的傾斜程度（“斜率”），而只能說曲線在某個(gè)具體點(diǎn)的傾斜程度扔字。于是囊嘉，我們就需要引入一個(gè)新的概念：切線。

切線革为，直觀地看扭粱，就是剛好在這點(diǎn)“碰到”曲線的直線。因?yàn)榍芯€是直線篷角，所以切線有斜率焊刹，于是我們就可以用切線的斜率代表曲線在這點(diǎn)的傾斜程度。傳統(tǒng)上我們可以這樣定義切線：先隨便畫一個(gè)直線恳蹲，讓這條直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)虐块，這樣的直線叫割線。然后嘉蕾，我們讓B點(diǎn)沿著曲線慢慢向A點(diǎn)靠近贺奠，直觀上，等到B點(diǎn)和A點(diǎn)重合之后错忱，割線AB就變成了曲線在A點(diǎn)的切線儡率。

這樣做很符合人們的直覺，但是它在邏輯上會(huì)有一點(diǎn)問題：當(dāng)B點(diǎn)向A點(diǎn)移時(shí)以清，它是什么時(shí)候從割線變成切線的儿普？重合的時(shí)候么？如果B點(diǎn)和A點(diǎn)重合掷倔，那就最后只剩下一個(gè)點(diǎn)了眉孩，我們知道“兩點(diǎn)確定一條直線”，一個(gè)點(diǎn)怎么能確定一條直線呢勒葱？但是浪汪，如果B點(diǎn)和A點(diǎn)不重合的話，那么這就仍然是一條割線而不是切線啊凛虽。于是死遭，這樣就出現(xiàn)了一個(gè)“一看非常簡(jiǎn)單直觀，但是怎么說都說不圓”的情況凯旋，似乎兩個(gè)點(diǎn)不行呀潭，一個(gè)點(diǎn)也不行钉迷，怎么辦？解決這個(gè)問題有一個(gè)很樸素的思路：要確定這條切線蜗侈，讓A篷牌、B兩點(diǎn)重合是不行的，但是讓它們分得太開也不行踏幻。最好就是讓這兩點(diǎn)靠近靠近無限靠近枷颊，但是就是不讓它們重合。沒重合的話就依然是兩個(gè)點(diǎn)该面，兩個(gè)點(diǎn)可以確定一條直線夭苗；無限靠近的話又可以把它跟一般的割線區(qū)分開來，這樣不就兩全其美了么隔缀？也就是說题造，A、B兩點(diǎn)必須無限靠近但又不能重合猾瘸，這樣它們的距離就無限接近0但又不等于0界赔。

利用無窮小定義了一點(diǎn)上的切線，我們就可以理所當(dāng)然地用過這點(diǎn)切線的斜率來表示曲線在這點(diǎn)的傾斜度了牵触。直線的斜率等于在直線上兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差Δy和橫坐標(biāo)之差Δx的比值淮悼，即Δy/Δx。而切線是當(dāng)曲線上A揽思、B兩點(diǎn)相隔無窮小時(shí)確定的直線袜腥，那么切線的斜率依然可以寫成Δy/Δx，只不過這時(shí)Δx和Δy都無限趨近于0钉汗。萊布尼茨就給這兩個(gè)趨近于0卻又不等于0的Δx和Δy重新取了一個(gè)名字：dx和dy羹令，并把它們稱為“微分”。也就是說损痰，對(duì)萊布尼茨而言福侈，dx這個(gè)微分就是當(dāng)Δx趨向于0時(shí)的無窮小量，dy也一樣卢未。雖然dx和dy都是無窮小肪凛，但是它們的比值dy/dx確是一個(gè)有限的數(shù)（所以這時(shí)候你就不能把無窮小dx當(dāng)成0了，否則還怎么當(dāng)除數(shù)尝丐？）显拜，這就是該點(diǎn)切線的斜率衡奥，這樣一切似乎就都解釋得通了爹袁。

我們?cè)谇€的一點(diǎn)上定義了切線，那么在平滑曲線的其它點(diǎn)上也能定義切線矮固。因?yàn)槊織l切線都有一個(gè)斜率失息，所以譬淳，曲線上的任何一點(diǎn)都有一個(gè)斜率值跟它對(duì)應(yīng)。兩個(gè)量之間存在一種對(duì)應(yīng)關(guān)系盹兢，這是什么邻梆？這就是函數(shù)啊。函數(shù)y=f(x)不就是告訴我們：給定一個(gè)x绎秒，就有一個(gè)y跟它對(duì)應(yīng)么浦妄？現(xiàn)在我們是給定一個(gè)點(diǎn)（假設(shè)橫坐標(biāo)為x），就有一個(gè)斜率dy/dx跟它對(duì)應(yīng)见芹。顯然剂娄，這也是個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)就叫導(dǎo)函數(shù)玄呛，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)阅懦。在中學(xué)的時(shí)候，我們通常在函數(shù)f(x)的右上角加上一撇表示這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)徘铝，那么現(xiàn)在這兩種情況就都表示導(dǎo)數(shù)：

到這一步都很簡(jiǎn)單耳胎，接下來就有問題了：這上面和下面的dx到底能不能約掉？我們知道惕它，除數(shù)是不能為0的怕午，如果你想分子分母同時(shí)除以一個(gè)數(shù)，就必須保證這個(gè)數(shù)不是0〉「祝現(xiàn)在我們是想除以dx诗轻，這個(gè)dx就是我們前面定義的無窮小量，它無限接近于0卻又不等于0揭北。所以扳炬，似乎我們姑且把它當(dāng)作一個(gè)非零的量直接給約掉，那么導(dǎo)數(shù)上下同時(shí)除以dx就成了這樣：

這個(gè)式子看起來簡(jiǎn)潔了一些搔体，但是后面還是拖了一個(gè)小尾巴dx恨樟。2x是一個(gè)有限的數(shù)，一個(gè)有限的數(shù)加上一個(gè)無窮小量疚俱，結(jié)果是多少劝术？似乎還是應(yīng)該等于這個(gè)具體的數(shù)。比如呆奕，100加上一個(gè)無窮小养晋，結(jié)果應(yīng)該還是100，因?yàn)槿绻扔?00.00…0001那就不對(duì)了梁钾，無窮小肯定比你所有能給出的數(shù)還小啊绳泉，那么也肯定必須比0.00…001還小。所以姆泻，我們似乎又有充足的理由把2x后面的這個(gè)dx也給去掉零酪，就像丟掉一個(gè)等于0的數(shù)一樣冒嫡，這樣最終的導(dǎo)數(shù)就可以簡(jiǎn)單地寫成這樣：

大家看這個(gè)導(dǎo)數(shù)，當(dāng)x越來越大（x>0）的時(shí)候四苇，f(x)’的值也是越來越大的孝凌。而導(dǎo)數(shù)是用來表示函數(shù)的傾斜程度的，也就是說月腋，當(dāng)x越來越大的時(shí)候蟀架，曲線就越來越陡，這跟圖像完全一致榆骚。所以辜窑，我們通過約掉一個(gè)（非零的）dx，再丟掉一個(gè)（等于零的）dx得到的導(dǎo)數(shù)f(x)’=2x竟然是正確的寨躁。但是這邏輯上就很奇怪了：一個(gè)無限趨近于0的無窮小量dx到底是不是0穆碎？如果是0，那么為什么可以讓分子分母同時(shí)除以它來約分职恳；如果不是0所禀，那又為什么可以把它隨意舍棄？總不能同時(shí)等于零又不等于零吧放钦？數(shù)學(xué)不是變戲法色徘，怎么能這么隨意呢？于是操禀，這個(gè)無窮小量就招來了一堆批判褂策。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)大兵壓境！

歷史一次次地告誡我們：直覺不可靠颓屑，我們能依靠的只有嚴(yán)密的邏輯和確鑿的實(shí)驗(yàn)斤寂。在這樣的大環(huán)境下，我們迎來了一位重要人物：柯西揪惦。

柯西深刻地認(rèn)識(shí)到：只要涉及數(shù)學(xué)概念遍搞，任何關(guān)于連續(xù)運(yùn)動(dòng)的一些先驗(yàn)的直觀觀念，都是可以避免器腋，甚至是必須避免的溪猿。科學(xué)放棄了形而上學(xué)方面的努力纫塌，采用“可觀測(cè)”概念之后就迎來了大發(fā)展诊县，那數(shù)學(xué)為什么不也這樣呢？無窮小量是一個(gè)無限趨近于0但是又不能等于0的概念措左，也就是說它有一個(gè)極限位置0依痊，你可以想多接近就多接近，但就是無法到達(dá)媳荒。我們知道實(shí)數(shù)跟數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的抗悍。當(dāng)我們說一個(gè)量在無限趨近于0的時(shí)候，很多人腦海里浮現(xiàn)的畫面就是一個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上不停地移動(dòng)钳枕，從一個(gè)點(diǎn)移動(dòng)到下一個(gè)點(diǎn)缴渊，一直靠近0這個(gè)點(diǎn)。但是這個(gè)圖景是不對(duì)的鱼炒，為什么衔沼？因?yàn)閷?shí)數(shù)是稠密的。稠密就是說任意兩個(gè)點(diǎn)（實(shí)數(shù)）之間永遠(yuǎn)都有無數(shù)個(gè)點(diǎn)（實(shí)數(shù)）（你自己想想是不是昔瞧，1和2之間有多少個(gè)數(shù)指蚁？）。A點(diǎn)和B點(diǎn)之間永遠(yuǎn)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)自晰，也就是說A點(diǎn)根本就沒有所謂的“下一個(gè)點(diǎn)”凝化。你認(rèn)為我一定要走完了A點(diǎn)到B點(diǎn)之間所有的點(diǎn)才能到達(dá)B點(diǎn)，那就不可避免地會(huì)陷入到芝諾悖論里去酬荞，因?yàn)槟銐焊筒豢赡茏咄耆魏蝺蓚€(gè)點(diǎn)之間的所有點(diǎn)（因?yàn)槭菬o窮多個(gè)）搓劫。

因此，面對(duì)這種連續(xù)的概念的時(shí)候混巧，我們就不應(yīng)該使用這種“動(dòng)態(tài)的”定義枪向。你想通過“讓一個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上動(dòng)態(tài)地運(yùn)動(dòng)來定義極限”是行不通的，這就是萊布尼茨的無窮小量栽跟頭的真正原因咧党。數(shù)學(xué)家們經(jīng)過一百多年的探索秘蛔、失敗和總結(jié)，最后終于意識(shí)到了這點(diǎn)傍衡，這些思想在柯西這里完全成熟深员。于是，柯西完全放棄了那種動(dòng)態(tài)的定義方式蛙埂，轉(zhuǎn)而采取了一種完全靜態(tài)辨液，完全可以描述測(cè)量的方式重新定義了極限，進(jìn)而為微積分奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)箱残。這里我把柯西對(duì)極限的新定義原封不動(dòng)的貼出來：當(dāng)一個(gè)變量相繼的值無限地趨近某個(gè)固定值的時(shí)候滔迈，如果它同這個(gè)固定值之間的差可以隨意地小，那么這個(gè)固定值就被稱為它的極限被辑。有人看了這個(gè)定義之后就在犯嘀咕：這跟萊布尼茨說的不是一樣的么燎悍？你還不是在用“無限趨近”啊，“隨意的小”啊這種跟“無窮小”差不多的概念來定義極限么盼理？你說以前的定義是動(dòng)態(tài)的谈山，柯西給整成了靜態(tài)的，可是我看來看去宏怔，柯西這個(gè)定義好像也在動(dòng)啊奏路。什么無限趨近畴椰，隨意的小，不是在動(dòng)么鸽粉？有這些疑問是正常的斜脂，畢竟是讓數(shù)學(xué)家們卡了一百多年的問題，不可能那么太“顯而易見”触机。我們?cè)僮屑?xì)看看柯西的定義帚戳，它跟以前的差別到底在哪？你看啊儡首，柯西雖然也有用“無限趨近”片任，但是他只是用這個(gè)來描述這個(gè)現(xiàn)象，并不是用它來做判決的蔬胯。他的核心判決是后面一句：如果它同這個(gè)固定值之間的差可以隨意的小对供，那么它就是極限》毡簦可以隨意的小和你主動(dòng)去無限逼近是完全不一樣的犁钟。可以隨意小的意思是：你讓我多小我就可以多小泼橘。你讓我小于0.1涝动，我就能小于0.1；你讓我小于0.01炬灭，我就能小于0.01醋粟；你讓我小于0.00…001，我就可以小于0.00…001重归。只要你能說出一個(gè)確定的值民晒，不管你說的值有多小攘宙，我都可以讓它跟這個(gè)固定值的差比你更小。柯西說如果這樣的話咨堤，那么這個(gè)固定值就是它的極限立倍。大家發(fā)現(xiàn)沒有镰绎，柯西學(xué)聰明朝卒，學(xué)雞賊了，他把這個(gè)判斷過程給顛倒了過來香椎。以前是你要證明自己的極限是0漱竖，你就不停地變小，不停地朝0這個(gè)地方跑過去畜伐。但是馍惹，你和0之間永遠(yuǎn)隔著無數(shù)個(gè)點(diǎn)，所以你永遠(yuǎn)也跑不完，你也就不知道你要跑到什么時(shí)候去万矾，這樣就暈了〉恐ǎ現(xiàn)在我學(xué)聰明了，這個(gè)難以界定的東西良狈，這個(gè)燙手的山芋我不管了后添，我丟給你，我讓你先說们颜。只要你說出一個(gè)數(shù)，你要我變得多小我就變得多小猎醇。你如果想讓我變成無窮小窥突，那你就得先把無窮小是多少給我說出來，你說不出來的話那就不能怪我了硫嘶。

完美甩鍋阻问！這就是柯西的核心思想。

柯西就通過這種方式把那些不可測(cè)的概念擋在了數(shù)學(xué)之外沦疾，因?yàn)槟隳芫唧w說出來的數(shù)称近，那肯定就都是“可觀測(cè)”的啊。大家再看看這個(gè)定義哮塞，再想想之前萊布尼茨的想法刨秆，是不是這么回事？于是忆畅，柯西就這樣完美的甩開了那個(gè)招人煩的無窮小量衡未。在柯西這里，無窮小量不過就是一個(gè)簡(jiǎn)單的極限為0的量而已家凯，一個(gè)“只要你可以說出一個(gè)數(shù)缓醋，我肯定就可以讓我和0之間的差比你給的數(shù)更小”的量。這樣我們就能把它說得清清楚楚绊诲，它也不再有任何神秘了送粱。

然后，魏爾斯特拉斯用完全數(shù)學(xué)的語言改進(jìn)了柯西的這段純文字的定義掂之，得到了最終的抗俄，也是我們現(xiàn)在教材里使用的ε-δ極限定義。根據(jù)柯西的思想世舰，魏爾斯特拉斯說：你要判斷某個(gè)函數(shù)f(x)在某個(gè)地方a的極限是不是某個(gè)值L橄镜，關(guān)鍵就要看如果我任意說一個(gè)數(shù)ε（比如0.00…001或者任意其它的，注意是任意取值冯乘，這里用ε代替）洽胶，你能不能找到一個(gè)x的取值范圍（用δ來衡量），讓這個(gè)范圍里的函數(shù)值f(x)與那個(gè)值L之間的差（用套個(gè)絕對(duì)值的|f(x)-L|表示）小于ε。如果你總能找到這樣的δ姊氓，那我就說函數(shù)f(x)在a點(diǎn)的極限為L(zhǎng)丐怯。用精練的數(shù)學(xué)語言表述上面的話就是：當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的ε，存在一個(gè)δ>0翔横，使得只要0<|x-a|<δ读跷，就有|f(x)-L|<ε，那么我們就說f(x)在a點(diǎn)的極限為L(zhǎng)禾唁。記做：

定義里的Lim就是極限的英文單詞Limit的縮寫效览，這個(gè)箭頭x->a也非常形象地表達(dá)了極限這個(gè)概念。這個(gè)定義就真正做到了完全“靜態(tài)”荡短，不再有任何運(yùn)動(dòng)的痕跡（連柯西說的“無限趨近”丐枉、“隨意的小”都沒有了），也不再有任何說不清的地方掘托。從定義你也能清楚地看出來：它根本不關(guān)心你是如何逼近L的瘦锹，飛過去、跳過去闪盔、爬過去的它都不管弯院，只要最后的差比ε小就行，我就承認(rèn)你是我的極限泪掀。這里要特別注意的是ε是任意的听绳，看個(gè)例子，我們考慮最簡(jiǎn)單的f(x)=1/x异赫。當(dāng)x的取值（x＞0）越來越大的時(shí)候辫红，這個(gè)函數(shù)的值就會(huì)越來越小：f(1)=1祝辣，f(10)=0.1贴妻，f(100)=0.01，f(1000)=0.001蝙斜，……看得出來名惩，當(dāng)x的取值越來越大的時(shí)候，f(x)的值會(huì)越來越趨近于0孕荠。所以娩鹉，函數(shù)f(x)在無窮遠(yuǎn)處的極限值應(yīng)該是0，也就是說：這個(gè)結(jié)論是很明顯的稚伍，接下來我們就來看看如何用ε-δ定義來說這個(gè)事弯予。按照定義，我們要取一個(gè)任意小的ε个曙，假設(shè)這里我們?nèi)ˇ?0.1锈嫩，那么我們就要去找一個(gè)δ，看能不能找到一個(gè)范圍讓|f(x)-0|<0.1，顯然只需要x>10就行了呼寸；取ε=0.01艳汽，就只需要x>100就行了；任意給一個(gè)ε对雪，我們顯然都能找到一個(gè)數(shù)河狐，當(dāng)x大于這個(gè)數(shù)的時(shí)候滿足|f(x)-0|<ε，這樣就OK了瑟捣。于是馋艺，我們就構(gòu)建了一個(gè)邏輯嚴(yán)密，不再有任何“說不清”概念的極限理論迈套。有了這個(gè)堅(jiān)實(shí)的地基捐祠，我們就可以放心地在上面蓋房子了。那個(gè)漂泊了一百多年交汤，那個(gè)被幽靈般的無窮小量纏繞了一百多年的微積分雏赦，即將迎來新生劫笙。

第二類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題芙扎。十七世紀(jì)初期，伽利略斷定填大，在真空中以45°角發(fā)射炮彈時(shí)戒洼，射程最大。研究行星運(yùn)動(dòng)也涉及最大最小值問題允华。

導(dǎo)數(shù)反映的是一個(gè)量變化快慢的程度圈浇，這其實(shí)就是一種廣義的“速度”，變化率靴寂。速度這個(gè)概念在科學(xué)里有多重要就不用我說了吧磷蜀，當(dāng)我們說一輛車的速度很快的時(shí)候，我們其實(shí)就是在說這輛車的位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)很大百炬，也就是瞬間時(shí)間的瞬時(shí)距離很大褐隆。此外，有了導(dǎo)數(shù)剖踊，我們就能輕而易舉地求一條曲線的極值（極大值或極小值）庶弃，為什么？因?yàn)橹灰獙?dǎo)數(shù)不為0德澈，曲線在這里就是在上升（大于0）或者下降（小于0）的歇攻，只有導(dǎo)數(shù)等于0的地方，才有可能是一個(gè)極值點(diǎn)梆造。

第三類問題是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的缴守，也就是求即時(shí)速度的問題。已知物體移動(dòng)的距離表為時(shí)間的函數(shù)的公式，求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度斧散；反過來供常，已知物體的加速度表為時(shí)間的函數(shù)的公式，求速度和距離鸡捐。

假如你從家去學(xué)校要走10分鐘栈暇，我們把這10分鐘平均分成10份，每份1分鐘箍镜。那么源祈，你在第1分鐘里走的距離就是第1分鐘的平均速度乘以時(shí)間間隔（也就是1分鐘），第2分鐘里走的距離就是第2分鐘的平均速度乘以時(shí)間間隔（還是1分鐘）色迂。以此類推香缺，我們分別把這10個(gè)1分鐘里走的距離加起來，結(jié)果就是家到學(xué)校的總距離歇僧，這個(gè)好理解吧图张。

這其實(shí)就是積分的過程。求家到學(xué)校的總距離诈悍，是把家到學(xué)校的時(shí)間平均分成很多份祸轮，然后把每個(gè)小份的距離都加起來。把一個(gè)大東西（家到學(xué)校的總距離）平均切成很多份侥钳，然后每一小份都用一個(gè)新的東西（每一分鐘的距離）去近似适袜，最后再把所有的小份東西加起來去逼近原來的大東西。

我們把家到學(xué)校的10分鐘分得越細(xì)（例子里只分了10份舷夺，我們可以分100份苦酱，1000份甚至更多），得到的總距離就越精確给猾。另外疫萤，我們把時(shí)間段分得越細(xì)，每個(gè)小時(shí)間段里的平均速度就越接近瞬時(shí)速度敢伸，如果無窮細(xì)分扯饶，那么無窮小時(shí)間段里的平均速度就可以認(rèn)為就是瞬時(shí)速度了。也就是說详拙，如果知道整個(gè)過程中的瞬時(shí)速度（或者說是無窮小時(shí)間段內(nèi)的速度）帝际，我們就能精確地求出無窮小時(shí)間段內(nèi)的距離，然后把所有距離加起來得到精確的總距離饶辙，這就是積分蹲诀。也就是說，通過積分過程弃揽，我們能從瞬時(shí)速度求出總距離脯爪。

另一方面则北，要證明微分（導(dǎo)數(shù)）是這個(gè)過程的逆運(yùn)算，我們就得證明從總距離可以求出瞬時(shí)速度痕慢。也就是說尚揣，如果已知任意時(shí)刻你從家到學(xué)校的距離，你通過微分能把瞬時(shí)速度求出來掖举。這不是顯而易見的事么快骗？距離對(duì)時(shí)間微分（導(dǎo)數(shù)），這就是速度啊塔次。也就是說：距離除以時(shí)間方篮，結(jié)果就是速度。你用平均距離除以平均時(shí)間得到平均速度励负，用瞬時(shí)距離（某一時(shí)刻的距離）除以瞬時(shí)時(shí)間（無窮小時(shí)間片段）自然就得到了瞬時(shí)速度藕溅。通過積分，我們能從瞬時(shí)速度求出總距離來继榆；通過微分巾表，我們能從總距離求出瞬時(shí)速度，這就說明積分和微分是一對(duì)互逆運(yùn)算略吨。也就是說集币，我們對(duì)速度v做一次積分能得到位移s；反過來晋南，對(duì)位移s求一次導(dǎo)數(shù)（微分）就能得到速度v惠猿。

積分是函數(shù)圍成面積的過程羔砾，瞬時(shí)速度v通過瞬時(shí)時(shí)間積分就得到了位移s负间，在v-t圖像里速度v圍成的面積就是位移s；微分是求導(dǎo)的過程姜凄，對(duì)位移s-t函數(shù)求導(dǎo)數(shù)政溃，就是瞬時(shí)時(shí)間下的瞬時(shí)距離，也就是速度v-t函數(shù)态秧。

這部分邏輯并不難理解董虱，大家只要好好琢磨一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)“積分和微分是互逆運(yùn)算”這個(gè)事情是非常自然的申鱼。它在日常生活中到處都有體現(xiàn)愤诱，只不過我們平常沒有太注意，而牛頓和萊布尼茨注意到了捐友。

第四類問題是求曲線長(zhǎng)淫半、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積匣砖、物體的重心科吭、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力昏滴。

知道了“積分和微分是互逆運(yùn)算”能給我們帶來什么呢？答案是：多一種選擇对人。因?yàn)榧热环e分和微分是互逆運(yùn)算谣殊，那么有些操作如果微分不擅長(zhǎng)，我就可以把它丟給積分牺弄。

以求曲線圍成的面積為例姻几。求拋物線y=x2與x軸在0到1之間圍成面積：如果用n個(gè)矩形去逼近，每個(gè)矩形的底就是1/n势告，n個(gè)矩形的面積之和就是這樣：

當(dāng)n趨向于無窮大的時(shí)候鲜棠，后面兩項(xiàng)就等于無窮小，然后結(jié)果就只剩下第一項(xiàng)1/3培慌。用這種方法豁陆，面對(duì)不同的曲線就得有不同的求和公式，最后還得保證相關(guān)項(xiàng)可以變成無窮小丟掉吵护。所以盒音，這種方法的復(fù)雜度和局限性都非常大，無法推廣馅而。但是祥诽，在偉大的牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“積分和微分是互逆運(yùn)算”之后，這一切就改變了瓮恭。

現(xiàn)在求曲線f(x)=x2和x軸在0到1區(qū)間里圍成面積這個(gè)原本屬于積分的事情雄坪，現(xiàn)在就可以通過反向微分（求原函數(shù)）來實(shí)現(xiàn)。這是一次非常華麗的轉(zhuǎn)變屯蹦，馬上你就會(huì)看到這種新方法會(huì)把問題簡(jiǎn)化到什么程度维哈，而且，正是這種力量讓數(shù)學(xué)發(fā)生了根本性的改變登澜。

類似于積分是函數(shù)圍成面積的過程阔挠，瞬時(shí)速度v通過瞬時(shí)時(shí)間積分就得到了位移s，在v-t圖像里速度v圍成的面積就是位移s脑蠕；微分是求導(dǎo)的過程购撼，對(duì)位移s-t函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，就是瞬時(shí)時(shí)間下的瞬時(shí)距離谴仙，這正是瞬時(shí)速度v迂求，得出了速度v-t函數(shù)。

這里積分是求曲線f(x)=x2和x軸在0到1區(qū)間里圍成面積晃跺，瞬時(shí)f(x)通過瞬時(shí)x積分就得到面積揩局；微分是求導(dǎo)的過程，對(duì)“面積-x”函數(shù)求導(dǎo)哼审，就是瞬時(shí)x下瞬時(shí)面積谐腰，這正是f(x)孕豹，得出了f(x)=x2。

好十气，既然要用反向微分的方法求面積励背，那我們就去找f(x)=x2的原函數(shù)，也就是“面積-x”函數(shù)砸西，看看到底是哪個(gè)函數(shù)求導(dǎo)之后變成了f(x)=x2叶眉。我們用F(x)來表示這個(gè)原函數(shù)，那么F(x)就是它（C為常數(shù)）：

因?yàn)榍髮?dǎo)是一個(gè)非常重要芹枷、基礎(chǔ)的東西衅疙，所以求一些常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和原函數(shù)都被一勞永逸的制成了表格，大家需要的時(shí)候直接去查鸳慈，記住幾個(gè)常用的就行饱溢。有了f(x)=x2的原函數(shù)F(x)以后，怎么去求f(x)和x軸在0到1區(qū)間里圍成的面積呢走芋？前面已經(jīng)分析了绩郎，原函數(shù)具有積分的效果，而積分就是曲線圍成的面積翁逞，所以原函數(shù)也可以表示曲線圍成的面積肋杖。因此，我們要求f(x)與x軸在0到1區(qū)間內(nèi)圍成的面積挖函，直接用這個(gè)代表面積的原函數(shù)F(x)在1處的值F(1)減去在0處的值F(0)就完了：對(duì)状植，你沒看錯(cuò)，這樣就完了怨喘。F(1)-F(0)就是曲線在0到1之間圍成的面積津畸，我們這樣得到的結(jié)果是1/3，跟我們?cè)瓉碛镁匦伪平?jì)算的結(jié)果一模一樣哲思，驚不驚喜洼畅，意不意外吩案？但是它明顯比原來的方法簡(jiǎn)單太多太多太多了棚赔，簡(jiǎn)單到一個(gè)中學(xué)生都能輕而易舉地算出來，這才是微積分的真正力量徘郭。

微積分使用了一種通用的方法來處理各種曲線圍成的面積靠益，稍加變化我們就能同樣求出曲線的長(zhǎng)度，或者曲面包含的體積残揉。微積分之所以能夠簡(jiǎn)化求面積的邏輯胧后，是因?yàn)槲⒎e分把這塊邏輯都打包到求原函數(shù)里去了，而后者是一個(gè)可以程序化抱环、一般化的操作壳快。

相信大家一路看到這里纸巷，要理解這個(gè)已經(jīng)不是什么難事了。所謂牛頓和萊布尼茨發(fā)明的微積分眶痰，本質(zhì)上就是他們看到了“積分和微分是一對(duì)互逆運(yùn)算”瘤旨，于是我就可以使用“反向微分（求原函數(shù)）”的方法來處理積分的問題。積分的逆運(yùn)算不是微分么竖伯？那么我把微分再逆一次存哲，又變成積分了。而“對(duì)函數(shù)求導(dǎo)七婴，求原函數(shù)”比用原始定義祟偷，用無窮多個(gè)矩形去逼近曲線面積的方法要簡(jiǎn)單得多得多，并且這種方法還具有一般性打厘。因此修肠，積分和微分原本是兩門獨(dú)立的學(xué)問，現(xiàn)在被牛頓和萊布尼茨統(tǒng)一成了微積分户盯，這種1+1會(huì)產(chǎn)生遠(yuǎn)大于2的力量氛赐。于是，接下來的數(shù)學(xué)和科學(xué)都出現(xiàn)了空前的發(fā)展先舷。