1渔隶、點積

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點積的標(biāo)準(zhǔn)觀點

如果我們有兩個維數(shù)相同的向量缩举，他們的點積就是對應(yīng)位置的數(shù)相乘，然后再相加：

從投影的角度看画拾，要求兩個向量v和w的點積，可以將向量w朝著過原點的向量v所在的直線進(jìn)行投影菜职，然后將w投影后的長度乘上向量v的長度（注意兩個向量的的夾角）青抛。

當(dāng)兩個向量的夾角小于90度時，點積后結(jié)果為正酬核，如果兩個向量垂直蜜另，點積結(jié)果為0，如果兩個向量夾角大于90度嫡意，點積結(jié)果為負(fù)举瑰。

一個有趣的發(fā)現(xiàn)是，你把w投影到v上面蔬螟，或者把v投影到w上面此迅，結(jié)果是相同的。

但是你不覺得上面兩個過程是完全不同的嘛旧巾？接下來就直觀解釋一下耸序。

假設(shè)我們有兩個長度完全相同的向量v和w，利用其對稱性菠齿，無論將v投影到w上還是將w投影到v上佑吝，結(jié)果都是一樣的：

如果我們把其中一個向量變?yōu)?倍，這種對稱性被破壞了绳匀。假設(shè)我們把w投影到v上芋忿，此時投影的長度沒變炸客，但v的長度變?yōu)閮杀叮虼耸窃瓉斫Y(jié)果的兩倍戈钢。同樣如果把v投影到w上痹仙，投影長度變?yōu)?倍，但w長度沒變殉了，所以結(jié)果也是原結(jié)果的兩倍开仰。所以對于兩個向量的點積來說，無論選擇哪個向量進(jìn)行投影薪铜，結(jié)果都是一樣的众弓。

問題又來了，投影的思路和對位相乘再相加的思路隔箍，有什么聯(lián)系呢谓娃？聯(lián)想之前所學(xué)的線性變換過程，假設(shè)u是二維空間變換到一維空間后的基向量：

在第三講中我們已經(jīng)知道蜒滩，一個2*2的矩陣滨达，[[a,c],[b,d]]其實代表了一種線性變換，它把原來的[1,0]變換到[a,b]的位置俯艰，把原先空間中的[0,1]變換到[c,d]的位置捡遍。那么想要知道什么樣的線性變換可以將二維空間中的基向量i和j變換到一維空間中的基向量u，只需要知道i和j變換后的位置即可竹握。i和j變換后的位置渔呵，相當(dāng)于對u所在的直線進(jìn)行投影生逸，利用對稱性小槐，可以得到相應(yīng)的結(jié)果皂股，如下圖：

所以二維空間中的任意一個向量，通過上面的線性變換可以得到的一維向量昧甘。這個過程相當(dāng)于對二維向量進(jìn)行了投影。而根據(jù)矩陣乘法的計算方法战得，便可以將投影的計算方法和對位相乘再相加的方法聯(lián)系起來充边。

上面的思路總結(jié)起來，就是無論何時你看到一個二維到一維的線性變換常侦，那么應(yīng)用這個線性變換和與這個向量點乘在計算上等價：

上面是數(shù)學(xué)中“對偶性”的一個有趣實例浇冰。

8、叉積

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首先來看叉積的標(biāo)準(zhǔn)介紹聋亡。叉積是通過兩個三維向量生成一個新的向量肘习，新的向量滿足下面三個條件：
1）垂直于這兩個向量所張成的平面
2）其長度等于這兩個向量所形成的四邊形的面積
3）其方向滿足右手定則

右手定則如下：

接下來看看叉積的具體計算，求行列式得到的是叉積后向量的長度坡倔，叉積得到的向量的坐標(biāo)是下圖中的三個“某些數(shù)”漂佩。

接下來脖含，深入理解叉積的含義，我們通過線性變換的眼光來看叉積投蝉。我們首先定義一個三維到一維的線性變換：

先回顧一下行列式的定義养葵，三維空間中，3 * 3矩陣的行列式是三個向量所形成的平行六面體的有向體積（絕對值是體積瘩缆，但需要根據(jù)方向判定其正負(fù)號）关拒，但這并非真正的叉積，但很接近：

假設(shè)我們把第一個向量變?yōu)樽兞坑褂椋斎胍粋€向量(x,y,z)着绊，通過矩陣的行列式得到一個數(shù)，這個數(shù)就代表我們輸入的向量與v和w所組成的平行六面體的有向體積：

為什么要這么定義呢熟尉？首先要指出的是畔柔，上面的函數(shù)是線性的。所以我們就可以將上面的行列式過程表示成一個變換過程：

同時臣樱，當(dāng)線性變換是從多維到一維時靶擦，線性變換過程又可以表示為點積的形式：

即p的結(jié)果是：

所以，問題其實變換為了雇毫，找到一個向量p玄捕，使得p和某個向量(x,y,z)求點積的結(jié)果，等于對應(yīng)的三維方陣行列式的值（即(x,y,z)和向量u棚放、v所組成的平行六面體的有向體積）枚粘。

左邊是一個點積，相當(dāng)于把(x,y,z)向p上投影飘蚯，然后投影長度和p的長度相乘：

而右邊平行六面體的體積馍迄，可以拆解為底面積 * 高。底面積可以認(rèn)為是v和w所組成的平行四邊形的面積局骤，高的話是(x,y,z)在垂直于v和w所張成的平面的方向上的分量的長度攀圈。

那么：

點積 = (x,y,z)在p上投影的長度 * p的長度
體積 = v和w所組成的平行四邊形的面積 * (x,y,z)在垂直于v和w所張成的平面的方向上的分量的長度

根據(jù)二者相等，可以認(rèn)為p的長度是v和w所組成的平行四邊形的面積峦甩、p的方向垂直于v和w所張成的平面赘来。這樣我們的p就找到了，而p就是我們要找的叉積的結(jié)果凯傲，是不是很奇妙犬辰！

詳細(xì)的過程還是推薦大家看一下視頻，講的真的非常好冰单！