三、隨機(jī)變量

原文：prob140/textbook/notebooks/ch03

譯者：飛龍

協(xié)議：CC BY-NC-SA 4.0

自豪地采用谷歌翻譯

許多數(shù)據(jù)科學(xué)涉及數(shù)值變量辩撑，它的觀察值取決于幾率宛渐。其他值提供的變量的預(yù)測(cè)值竞漾，隨機(jī)樣本中觀察到的不同類別個(gè)體的數(shù)量眯搭，以及自舉樣本的中值，僅僅是幾個(gè)例子业岁。 你在 Data8 中看到了更多例子鳞仙。

在概率論中，隨機(jī)變量是在結(jié)果空間上定義的數(shù)值函數(shù)笔时。 也就是說棍好，函數(shù)的定義域是Ω，它的值域是實(shí)數(shù)行允耿。 隨機(jī)變量通常用靠后的字母表示借笙，如X和Y。

結(jié)果空間上的函數(shù)

隨機(jī)抽樣可以看做重復(fù)的隨機(jī)試驗(yàn)较锡，因此許多結(jié)果空間由序列組成业稼。代表硬幣投擲兩次的結(jié)果空間是：

\Omega = { \text{HH, HT, TH, TT} }

如果你投擲 10 次，結(jié)果空間將包含 10 個(gè)元素的 210 個(gè)序列蚂蕴，其中每個(gè)元素是H或T低散。手動(dòng)列出結(jié)果比較痛苦，但計(jì)算機(jī)善于為我們避免這種痛苦骡楼。

乘積空間

兩個(gè)集合A和B的乘積是所有偶對(duì)(a, b)的集合熔号，其中a ∈ A和b ∈ B。 這個(gè)概念正是我們需要的君编，用于描述代表多個(gè)試驗(yàn)的空間跨嘉。

例如，表示一枚硬幣投擲結(jié)果的空間是

Ω1 = {H吃嘿，T}

Ω1

Ω1

Python 模塊itertools包含構(gòu)造乘積空間的函數(shù)product降瞳。 讓我們導(dǎo)入它嘱支。

from itertools import product

要了解product是如何工作的，我們將從投擲硬幣的結(jié)果開始挣饥。我們正在使用make_array創(chuàng)建一個(gè)數(shù)組除师，但你可以使用任何其他方式創(chuàng)建數(shù)組或列表。

one_toss = make_array('H', 'T')

為了使用product扔枫，我們必須指定基本空間和重復(fù)次數(shù)汛聚，然后將結(jié)果轉(zhuǎn)換為列表。

two_tosses = list(product(one_toss, repeat=2))
two_tosses

# [('H', 'H'), ('H', 'T'), ('T', 'H'), ('T', 'T')]

對(duì)于三次投擲短荐，只需改變重復(fù)次數(shù)：

three_tosses = list(product(one_toss, repeat=3))
three_tosses
'''
[('H', 'H', 'H'),
 ('H', 'H', 'T'),
 ('H', 'T', 'H'),
 ('H', 'T', 'T'),
 ('T', 'H', 'H'),
 ('T', 'H', 'T'),
 ('T', 'T', 'H'),
 ('T', 'T', 'T')]
'''

概率空間是結(jié)果空間倚舀，帶有所有結(jié)果的概率叹哭。 如果假設(shè)三次投擲的八次結(jié)果是等可能的，則概率均為 1/8：

three_toss_probs = (1/8)*np.ones(8)

相應(yīng)的概率空間：

three_toss_space = Table().with_columns(
    'omega', three_tosses,
    'P(omega)', three_toss_probs
)
three_toss_space

乘積空間增長得非澈勖玻快风罩。 如果你投擲 5 次，將會(huì)有近 8000 種可能的結(jié)果：

6**5
# 7776

但是我們有product舵稠，所以我們?nèi)匀豢梢粤谐鏊谐朔e超升！ 這是一個(gè)表示 5 次骰子投擲的概率空間。

die = np.arange(1, 7, 1)

five_rolls = list(product(die, repeat=5))  # All possible results of 5 rolls

five_roll_probs = (1/6**5)**np.ones(6**5)  # Each result has chance 1/6**5

five_roll_space = Table().with_columns(
   'omega', five_rolls,
    'P(omega)', five_roll_probs
)

five_roll_space

... (7766 rows omitted)

結(jié)果空間上的函數(shù)

假設(shè)你投擲一個(gè)骰子五次柱查，并將你看到的點(diǎn)數(shù)加起來廓俭。如果這看起來不清楚云石，請(qǐng)耐心等待一會(huì)兒唉工，你很快就會(huì)明白為什么它很有趣。

點(diǎn)數(shù)的總和是五個(gè)點(diǎn)數(shù)的結(jié)果空間Ω上的數(shù)值函數(shù)汹忠。 總和是一個(gè)隨機(jī)變量淋硝。我們稱它為S。然后宽菜，在形式上谣膳，

S: \Omega \rightarrow { 5, 6, \ldots, 30 }

S的范圍是 5 到 30 的整數(shù)，因?yàn)槊總€(gè)骰子至少有一個(gè)點(diǎn)铅乡，最多六個(gè)點(diǎn)继谚。 我們也可以使用相同的符號(hào)：

\Omega \stackrel{S}{\rightarrow} { 5, 6, \ldots, 30 }

從計(jì)算的角度來看，Ω的元素位于five_roll_space的omega列中阵幸。讓我們應(yīng)用這個(gè)函數(shù)并創(chuàng)建一個(gè)更大的表格花履。

five_rolls_sum = Table().with_columns(
    'omega', five_rolls,
    'S(omega)', five_roll_space.apply(sum, 'omega'),
    'P(omega)', five_roll_probs
)
five_rolls_sum

... (7766 rows omitted)

我們現(xiàn)在有五次投擲的所有可能的結(jié)果，以及它的總點(diǎn)數(shù)挚赊。你可以看到表格的第一行顯示了盡可能少的點(diǎn)數(shù)诡壁，對(duì)應(yīng)于所有投擲都顯示 1 點(diǎn)。 第 7776 行顯示了最大的：

five_rolls_sum.take(7775)

S的所有其他值都在這兩個(gè)極端之間荠割。

隨機(jī)變量的函數(shù)

隨機(jī)變量是Ω上的數(shù)值函數(shù)妹卿。 因此，通過復(fù)合蔑鹦，隨機(jī)變量的數(shù)值函數(shù)也是隨機(jī)變量夺克。

S^2

是一個(gè)隨機(jī)變量嚎朽，計(jì)算如下：

S^2(\omega) = \big{(} S(\omega)\big{)}^2

S^2(\text{[6 6 6 6 6]}) = 30^2 = 900

铺纽。

由S確定的事件

從表five_rolls_sum中，很難判斷有多少行顯示 6 或 10 或其他任何值火鼻。 為了更好地理解S的屬性室囊，我們必須組織five_rolls_sum中的信息雕崩。

對(duì)于S中的任何子集A，定義事件{S∈A}為：

{S \in A } = {\omega: S(\omega) \in A }

在特殊情況下嘗試這個(gè)定義融撞。令A = {5,30}盼铁。 然后{S∈A}，當(dāng)且僅當(dāng)所有點(diǎn)數(shù)都是 1 點(diǎn)或 6 點(diǎn)尝偎。 所以：

{S \in A} = {\text{[1 1 1 1 1], [6 6 6 6 6]}}

詢問總和是否為某個(gè)特定值的幾率是很自然的饶火，例如 10。讀取表格并不容易致扯，但我們可以訪問相應(yīng)的行：

five_rolls_sum.where('S(omega)', are.equal_to(10))

... (116 rows omitted)

S(ω)=10的ω有 126 個(gè)值肤寝。由于所有的ω都相同，因此S的值為 10 的幾率是 126/7776抖僵。

非正式情況下鲤看，我們通常會(huì)用符號(hào)表示，寫成{S = 10}而不是{S∈{10}}耍群。

分布

我們的空間是骰子的五次投擲的結(jié)果义桂，而我們的隨機(jī)變量S是五次投擲的點(diǎn)數(shù)總數(shù)。

five_rolls_sum

... (7766 rows omitted)

在最后一節(jié)中蹈垢，我們找到了P(S = 10)慷吊。我們可以使用相同的過程，為每個(gè)可能的s值查找P(S = s)曹抬。group方法允許我們?cè)谕粫r(shí)間為所有s這樣做溉瓶。

為此，我們首先丟掉omega列谤民。 然后堰酿，我們將按S(omega)的不同值對(duì)表格進(jìn)行分組，并使用sum來將每組中的所有概率相加赖临。

dist_S = five_rolls_sum.drop('omega').group('S(omega)', sum)
dist_S

... (16 rows omitted)

該表格顯示了所有可能的S值及其所有概率胞锰。它被稱為S的概率分布表。

表中的內(nèi)容 - 隨機(jī)變量的所有可能值及其所有概率 - 稱為S的概率分布兢榨，或者簡(jiǎn)稱為S的分布嗅榕。該分布顯示了 100% 的總概率如何分布在S的所有可能值上。

讓我們來檢查一下吵聪，以確保結(jié)果空間中的所有ω都已經(jīng)在概率一列中得到了解釋凌那。

dist_S.column(1).sum()

# 0.99999999999999911

它在計(jì)算環(huán)境中是 1。這是任何概率分布的一個(gè)特征：

分布的概率是非負(fù)的吟逝，總和為 1帽蝶。

展示分布

在 Data8 中，你使用datascience庫來處理數(shù)據(jù)分布块攒。prob140庫建立在它上面励稳，為處理概率分布和事件提供了一些便利的工具佃乘。

首先，我們將構(gòu)造一個(gè)概率分布對(duì)象驹尼，雖然它看起來非常像上面的表格趣避，但它的第二列中預(yù)計(jì)會(huì)有概率分布，并且如果它發(fā)現(xiàn)了其他任何東西新翎，就會(huì)報(bào)錯(cuò)程帕。

為了使代碼易于閱讀，讓我們以數(shù)組的形式分別提取可能的值和概率：

s = dist_S.column(0)
p_s = dist_S.column(1)

要將這些轉(zhuǎn)換為概率分布對(duì)象地啰，請(qǐng)從空表開始愁拭，然后使用表的values和probability方法。values的參數(shù)是可能值的列表或數(shù)組亏吝，而probability的參數(shù)是相應(yīng)概率的列表或數(shù)組岭埠。

dist_S = Table().values(s).probability(p_s)
dist_S

... (16 rows omitted)

除了列標(biāo)簽更具可讀性之外，這看起來與我們之前的表完全相同顺呕。但是這是好處：在直方圖中展示分布枫攀，只需使用prob140的Plot方法括饶，如下株茶。

Plot(dist_S)

image

Plot的注解

• 回想一下，datascience庫中的hist顯示原始數(shù)據(jù)的直方圖图焰，包含在表格的列中启盛。prob140庫中的Plot顯示概率直方圖，基于概率分布作為輸入技羔。

• Plot僅適用于概率分布對(duì)象僵闯，使用values和probability方法創(chuàng)建的。 它不適用于Table類的普通成員藤滥。

• Plot適用于具有整數(shù)值的隨機(jī)變量鳖粟。 你將在接下來的幾章中遇到的許多隨機(jī)變量是整數(shù)值。 為了展示其他隨機(jī)變量的分布拙绊，分箱決策更加復(fù)雜向图。

S的分布的注解

在這里，五次投擲的點(diǎn)數(shù)總和的分布曲線出現(xiàn)了鐘形标沪。 注意這個(gè)直方圖和你在 Data 8 中看到的鐘形分布之間的差異榄攀。

這個(gè)顯示確切的分布。它是根據(jù)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果進(jìn)行計(jì)算的金句。這不是一個(gè)近似值也不是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)直方圖檩赢。

Data8 中的中心極限定理的表述表明，大型隨機(jī)樣本總和的分布大致是正態(tài)的违寞。但是在這里你看到的只是五次投擲的總和呈現(xiàn)鐘形分布贞瞒。如果你從均勻的分布開始（這是單次投擲的分布）偶房，那么在總和的概率分布變成正態(tài)之前，你不需要大型樣本军浆。

展示事件的概率

從 Data8 中可知蝴悉，鐘形曲線拐點(diǎn)之間的區(qū)間約占曲線面積的 68%。 雖然上面的直方圖并不完全是一個(gè)鐘形曲線 - 它是一個(gè)只有 26 個(gè)條形的離散直方圖 - 但它非常接近瘾敢。 拐點(diǎn)似乎大約是 14 和 21拍冠。

Plot的event參數(shù)可讓你可視化事件的概率，如下所示簇抵。

Plot(dist_S, event = np.arange(14, 22, 1))

image

金色區(qū)域是P(14 <= S <= 21)庆杜。

prob_event方法操作概率分布對(duì)象，來返回事件的概率碟摆。為了找到P(14 <= S <= 21)晃财，請(qǐng)按如下所示使用它。

dist_S.prob_event(np.arange(14, 22, 1))

# 0.6959876543209863

幾率是 69.6%典蜕，離 68% 并不遠(yuǎn)断盛。

數(shù)學(xué)和代碼的對(duì)應(yīng)

P(14 <= S <= 21)可以通過將事件劃分為 14 到 21 范圍內(nèi)的事件{S = s}的并集，然后使用加法規(guī)則來找到愉舔。

P(14 \le S \le 21) = \sum_{s = 14}^{21} P(S = s)

請(qǐng)小心使用小寫字母s作為通用可能值钢猛，與大寫字母S作為隨機(jī)變量相對(duì)應(yīng)；不這樣做會(huì)使公式含義非承停混亂命迈。

這意味著：

首先為 14 到 21 范圍內(nèi)的每個(gè)s值抽取事件{S = s}：

event_table = dist_S.where(0, are.between(14, 22))
event_table

然后將所有這些事件的概率相加。

event_table.column('Probability').sum()

# 0.6959876543209863

prob_event方法一步完成所有這些火的。 在這里再次進(jìn)行比較壶愤。

dist_S.prob_event(np.arange(14, 22, 1))

# 0.6959876543209863

你可以通過各種方式，使用相同的基本方法來查找由S確定的任何事件的概率馏鹤。這里有兩個(gè)例子征椒。

P(S^2 = 400) = P(S = 20) = 8.37%

P(S > 20) = \sum_{s=20}^{30} P(S = s)

一個(gè)查找數(shù)值的簡(jiǎn)便方法：

dist_S.prob_event(np.arange(20, 31, 1))
# 0.30516975308642047

P(\big{\vert} S - 10 \big{|} \le 6) ~ = ~ P(4 \le S \le 16) ~ = ~ \sum_{s=4}^{16} P(S=s)

dist_S.prob_event(np.arange(4, 17, 1))
# 0.39969135802469169

相等性

我們知道兩個(gè)數(shù)字相等意味著什么。 然而湃累，隨機(jī)變量的相等可能不止一種勃救。

相同

如果相同結(jié)果空間上定義的兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y的值，對(duì)于空間中的每個(gè)結(jié)果都是相同的脱茉，那么它們是相同的剪芥。符號(hào)X = Y意味著

X(\omega) = Y(\omega) \text{ for all } \omega \in \Omega

N_H

N_T

N_H

3 - N_T

N_H

3 - N_T

N_H = 3 - N_T

国章。

同分布

N_H

N_T

N_H(\text{TTT}) = 0 ~~~ \text{but} ~~~ N_T(\text{TTT}) = 3

然而，有一種感覺是四啰，正面數(shù)量與背面數(shù)量“以相同的方式出現(xiàn)”宁玫。兩個(gè)隨機(jī)變量具有相同的概率分布。

結(jié)果空間是three_tosses：

coin = make_array('H', 'T')
three_tosses = list(product(coin, repeat=3))
three_tosses
'''
[('H', 'H', 'H'),
 ('H', 'H', 'T'),
 ('H', 'T', 'H'),
 ('H', 'T', 'T'),
 ('T', 'H', 'H'),
 ('T', 'H', 'T'),
 ('T', 'T', 'H'),
 ('T', 'T', 'T')]
'''

N_H

N_T

dist = Table().values(np.arange(4)).probability(make_array(1, 3, 3, 1)/8)
dist

N_H

N_T

X \stackrelcbvb5vb{=} Y

鱼鸠。

相等性之間的關(guān)系

相同比同分布更強(qiáng)猛拴。如果兩個(gè)隨機(jī)變量在結(jié)果層面上相同，那么它們必須具有相同的分布蚀狰，因?yàn)樗鼈冊(cè)诮Y(jié)果空間上是相同的函數(shù)愉昆。

也就是說，對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y麻蹋，

X = Y \implies X \stackrelnfnhzdv{=} Y

但三次投擲的正面和反面的例子表明，反面不一定是正確的。

示例：來自小牌組的兩張牌

一個(gè)牌組包含 10 張牌芳室，分別標(biāo)記為1,2,2,3,3,3,4,4,4,4专肪。兩張牌是不放回隨機(jī)發(fā)放的。讓

X_1

X_2

X_1

X_2

X_1 = 3

X_2 = 1

X_1

X_2

X_1

P(X_1 = i ) = \frac{i}{10} , ~~ i = 1, 2, 3, 4

def prob1(i):
    return i/10

然后禁悠，你可以像之前一樣念祭，使用value創(chuàng)建一個(gè)概率分布對(duì)象，但現(xiàn)在使用probability_function碍侦，它將函數(shù)的名稱作為其參數(shù)：

possible_i = np.arange(1, 5, 1)
dist_X1 = Table().values(possible_i).probability_function(prob1)
dist_X1

相信下面的函數(shù)prob2會(huì)為每個(gè)i返回P(X_2 = i)粱坤。事件已根據(jù)

X_1

dist_X2 = Table().values(possible_i).probability_function(prob2)
dist_X2

X_1 \stackrelvnh2873{=} X_2

。