拉格朗日乘子
拉格朗日乘子法是一種尋找多元函數(shù)在一組約束下的極值方法褥傍。
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上圖中
與橢圓體相交平面上直線如果高度上沒有限制那么
就形成一個面茁肠，這個面與橢圓體相交可以表示為
,我們就可以在這個曲線找到最小值。然后我們可以將這等高線投影到二維平面上來簡化問題
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在上圖中，我們可以推斷出其實最小(或最大值)就位于限制條件g(x,y)和方程f(x,y)等號線相切的位置怠肋。而且有共同切線的斜率，那么他們法線方向是成比例的淹朋。這個比例系數(shù)就是拉格朗日乘子
我們現(xiàn)在來簡單推導(dǎo)一下笙各，這里將 y 表示為對于 x 的函數(shù)，那么就有 y(x),然后分別帶入下面兩個方程就得到础芍。
下面我么這個兩個方程都對x 進(jìn)行偏微分杈抢，通過鏈?zhǔn)椒▌t我們就得到下面式子
因為我們知道他們斜率是成比例的，所有就可以得到這樣結(jié)論仑性，這就是拉格朗日乘子法惶楼，其中就是乘子
我們就可以利用這個三個條件來求在有限制條件下方程極值問題
例題
假設(shè),在
的條件限制下有極值。
利用上面知識來求極值
然后他們帶入到 得到
那么結(jié)果就是最小值和最大值分別是 5 和 -5
