? ? ? 通過(guò)幾天的閱讀部凑，啃完第二章“今日的數(shù)學(xué)”露乏，很生澀。知道了一些數(shù)學(xué)家的名字涂邀，如“布爾巴斯、帕施、希爾伯特等躏尉，許多話語(yǔ)州叠、舉例都似懂非懂驹止，有時(shí)根本就看不明白，結(jié)合第一章”傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)“弗賴登塔爾像是給我們介紹數(shù)學(xué)的發(fā)展史兴想，盡管我并不是很具有思考力幢哨，但我還是盡量把自己能理解的記錄下來(lái)。

? ? ? ? 在數(shù)學(xué)里嫂便，許多世代前天捞镰、今天、明天會(huì)同時(shí)存在毙替，那么今日道底從何說(shuō)起呢岸售？許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為由布爾巴基開(kāi)始，但另一種說(shuō)法是從1870年厂画，以實(shí)數(shù)的近代理論和若當(dāng)?shù)摹吨脫Q論》這部最早的群論著作為標(biāo)注凸丸，像線性代數(shù)、抽象代數(shù)袱院、微積分等這類課程大約是在1935年左右大學(xué)里開(kāi)始開(kāi)設(shè)屎慢，大致在1955年大學(xué)里普及。大學(xué)里數(shù)學(xué)系與物理系一年級(jí)新生忽洛，所需要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)在內(nèi)容上都不是新的腻惠，只是新在表達(dá)方式上。如我們今天讀上個(gè)世紀(jì)初的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)可能就像讀古文讓人難懂欲虚，這種形式化的新傾向也許只是個(gè)開(kāi)始集灌，方式的改變一至在繼續(xù)。在書中弗賴登塔爾指出了幾種形式的方式改變复哆。(變量欣喧、函數(shù)、語(yǔ)法結(jié)構(gòu)的前后不連貫梯找、會(huì)吠的就是狗唆阿、形式化的工作等）。如在變量方面锈锤，有這樣的基本事實(shí)酷鸦，給出的命題就必須對(duì)命題形式中的變量加以約束，還存在量詞和普通性量詞的區(qū)別牙咏，應(yīng)該經(jīng)常明確的說(shuō)明自己指的是哪一種臼隔。數(shù)學(xué)只有在長(zhǎng)時(shí)間的實(shí)踐后才能建立一種模式化的清晰表述方式，思維模式在教學(xué)法方面是很有價(jià)值的⊥現(xiàn)在的樣式不只是要求把邏輯模式外顯摔握，而且要求直接使用，符號(hào)化了丁寄。由此我想到中學(xué)的一些幾何證明題氨淌。要用符號(hào)模式化的表述因?yàn)槭裁床蠢ⅲ忠驗(yàn)槭裁矗允裁础?數(shù)學(xué)語(yǔ)言的完善化是一個(gè)連續(xù)的過(guò)程盛正，在用日常語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)事實(shí)時(shí)删咱，就必須改造它，使之適應(yīng)數(shù)學(xué)的需要豪筝，這種改造的過(guò)程還需要不斷地繼續(xù)探索痰滋。自覺(jué)地掌握語(yǔ)言把它作為準(zhǔn)確表達(dá)的工具，這就是形式化续崖，也是組織現(xiàn)代數(shù)學(xué)的方法之一∏媒郑現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)特點(diǎn)就是數(shù)學(xué)表達(dá)的再創(chuàng)造和形式化的活動(dòng)。例如严望，許多人說(shuō)康托最偉大貢獻(xiàn)是他發(fā)明了“集合”這個(gè)術(shù)語(yǔ)多艇。而“集合”一詞是卻是后來(lái)的創(chuàng)造，當(dāng)初康托是把它當(dāng)做“簇”像吻。而作為最重要的東西介紹給我們普通人的并不是“集合”這個(gè)詞峻黍，而恰恰是集合論的其他特點(diǎn)給了數(shù)學(xué)與深遠(yuǎn)的影響。
????? 用外延的方法說(shuō)明概念拨匆，即借用此概念所包含的東西全體來(lái)說(shuō)明概念姆涩，這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)構(gòu)造概念的一個(gè)樞紐。用外延來(lái)描述概念稱為外延式定義涮雷，用外延式定義描述概念是由康托的集合論開(kāi)始的，1870年前后是集合論的開(kāi)始轻局。也是現(xiàn)代公理化的開(kāi)始洪鸭，這自然也發(fā)生在幾何學(xué)中。帕施是第一個(gè)創(chuàng)造了歐氏幾何的公理系人仑扑，她教數(shù)學(xué)家們?nèi)绾谓ㄔ旃硐道谰簟５芸炀捅幌柌刈吭降闹鳌稁缀位A(chǔ)》所掩蓋，之后镇饮，公理和公理化成為新的概念蜓竹，“公理”就意味著一類命題它既不能證明，也不需要證明储藐，它是任何證明的基礎(chǔ)和前提俱济。希爾伯特通過(guò)他的“幾何基礎(chǔ)”把現(xiàn)在“公理”與“公理化”的使用神圣化。而公理系如何產(chǎn)生钙勃？群概念的歷史提供了極好說(shuō)明蛛碌，1870年前后，群的概念形成了辖源，那時(shí)不但有了一大堆群蔚携，而且對(duì)群的研究也積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)希太。群論作為一種組織手段運(yùn)營(yíng)而生，它是把所有的群都具有的關(guān)鍵性質(zhì)明顯的敘述出來(lái)這種辦法去組織那一堆具體的結(jié)果酝蜒。利用一些公設(shè)來(lái)規(guī)定什么是群誊辉，這和幾何學(xué)中的做法是完全相同的。但是幾何學(xué)當(dāng)中的公理本質(zhì)只是被一種模型所實(shí)現(xiàn)亡脑，而群公理卻被許多模型所滿足堕澄。群的處理方法是構(gòu)造概念的另一種典范方法，群概念是把各種已知的群所有共同的特點(diǎn)勾畫出來(lái)远豺，然后把凡有這些特點(diǎn)的對(duì)象稱為群奈偏，這是公設(shè)性或公理化的概念構(gòu)成法。 在希爾伯特之后躯护，代數(shù)與拓?fù)涫亲钤绫还砘说臄?shù)學(xué)領(lǐng)域惊来，首先產(chǎn)生的名詞是距離空間，其次是拓?fù)淇臻g棺滞。如果說(shuō)抽象代數(shù)能夠合理地由舊的代數(shù)概念產(chǎn)生和延續(xù)裁蚁，那么拓?fù)鋵W(xué)是在一堆凌亂中創(chuàng)新概念的，公理化抽象對(duì)事物的性質(zhì)進(jìn)行分析和分類能給出更高的清晰度和更深入的理解继准。?

????? 在許多世紀(jì)以來(lái)枉证，幾何學(xué)一直被看作數(shù)學(xué)嚴(yán)密性的典范∫票兀“公理化”就是由幾何開(kāi)始征服數(shù)學(xué)的室谚。愛(ài)因斯坦說(shuō)：“當(dāng)數(shù)學(xué)定理涉及現(xiàn)實(shí)時(shí)，它們是不確切的崔泵；當(dāng)它們是確切時(shí)秒赤，它們就不涉及現(xiàn)實(shí)…，公理化的步驟在于把邏輯形式同現(xiàn)實(shí)憎瘸、同實(shí)際的直觀的內(nèi)容嚴(yán)格分開(kāi)…公理是人類精神的自由創(chuàng)造…”入篮。比如，我們?cè)诮虒W(xué)直線幌甘、線段概念時(shí)潮售，讓學(xué)生拉直一根繩子來(lái)理解，從數(shù)學(xué)的角度來(lái)說(shuō)锅风，繩子不是線段酥诽，線段是抽象的，繩子是具體的皱埠，線段與實(shí)際相結(jié)合盆均，它就是確切了，但我們要確切地描述線段漱逸，就不能涉及現(xiàn)實(shí)泪姨。也就是說(shuō)數(shù)學(xué)的公理化游沿，必需與實(shí)際分開(kāi)。希爾伯特的體系從一些公理出發(fā)肮砾，即由一些關(guān)于不定義的概念诀黍，如點(diǎn)、線仗处、介于眯勾、合同的命題出發(fā)，這些概念的含義是由那些公理規(guī)定的婆誓。今天公理化的方法已經(jīng)滲透到了整個(gè)數(shù)學(xué)吃环。但數(shù)學(xué)概念又不能離開(kāi)直觀，在今天洋幻，幾何依舊無(wú)處不在郁轻，幾何直觀已滲透了整個(gè)數(shù)學(xué)∥牧簦康德說(shuō)：缺少概念的直觀是空虛的好唯，缺少直觀的概念是盲目的。我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚也所說(shuō)過(guò)”數(shù)缺形時(shí)少直觀燥翅，形缺數(shù)時(shí)難入微“骑篙。幾何直觀是小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)里所提出的十大核心詞之一，幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題森书。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明靶端、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路凛膏，預(yù)測(cè)結(jié)果杨名。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用译柏。

????? 現(xiàn)代數(shù)學(xué)與古老數(shù)學(xué)不同之處就在于它強(qiáng)調(diào)思辨的因素而不是算法镣煮，弗賴登塔爾塔用一個(gè)著名的白酒與紅酒的問(wèn)題解釋說(shuō)明了算法數(shù)學(xué)與思辨數(shù)學(xué)的區(qū)別姐霍。計(jì)算方法可稱為計(jì)算訣竅鄙麦，也叫做算法。韋達(dá)的代數(shù)镊折，笛卡兒的解析幾何等就是一些算法胯府。我想到了高斯1+2+3+……+100，也應(yīng)該是算法恨胚，應(yīng)用算法可以增強(qiáng)人的自信心骂因，滿足人游戲的天性。而現(xiàn)代數(shù)學(xué)中——集合論赃泡、抽象代數(shù)寒波、分析學(xué)乘盼、拓?fù)涠际撬急娴漠a(chǎn)物，這在其自身中也包含著算法俄烁，這是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)绸栅。算法數(shù)學(xué)思辨數(shù)學(xué)并不對(duì)立，他們是互補(bǔ)的页屠，算法的發(fā)展粹胯，才促使思辨數(shù)學(xué)的發(fā)展。

??? ??? 用數(shù)學(xué)的方法把實(shí)際材料組織起來(lái)辰企，就是數(shù)學(xué)化风纠。數(shù)學(xué)家總是在不斷的改造數(shù)學(xué)，方式的變化就是不斷更新數(shù)學(xué)的方式牢贸，是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要≈窆郏現(xiàn)在，數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域之一就是統(tǒng)計(jì)十减。統(tǒng)計(jì)學(xué)是各種沒(méi)有接受過(guò)正規(guī)數(shù)學(xué)教育的人們所接受的領(lǐng)域栈幸，還有在應(yīng)用學(xué)科當(dāng)中最引人注目的就是運(yùn)籌學(xué)。計(jì)算機(jī)的產(chǎn)生帮辟，使對(duì)數(shù)時(shí)代宣告結(jié)束速址，各種各樣的人在進(jìn)行工作時(shí)把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，使數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域增加了許多由驹，新的應(yīng)用問(wèn)題往往是組合數(shù)學(xué)問(wèn)題芍锚，優(yōu)化數(shù)學(xué)問(wèn)題，邏輯問(wèn)題和組織方面的問(wèn)題等蔓榄。而今天計(jì)算機(jī)已廣泛使用于各個(gè)領(lǐng)域并炮，在老百姓家中普及，大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)甥郑，使數(shù)學(xué)無(wú)處不在逃魄，無(wú)處不用數(shù)學(xué)。