[筆記] 線性代數(shù)

向量空間

集合和組
集合和組的區(qū)別踊跟，這兩者都是一堆元素的組合踩验，但集合是無序、不重復(fù)的商玫，而組是有序箕憾、可重復(fù)且長度確定的。
域

R :全體實數(shù)的集合拳昌，即實數(shù)域袭异，C：全體復(fù)數(shù)的集合，即復(fù)數(shù)域炬藤，F：包括R 和C

向量空間和向量

從 F 域中選擇任意m個元素組成的有序列表御铃，而所有有序列表的集合稱為向量空間 $R^m$ ，這個集合中每一個有序列表沈矿，即向量
$\mathbf{F}^{m}=\left\{\left(x_{1}, \cdots, x_{m}\right): x_{j} \in \mathbf{F}, j=1, \cdots, m\right\}$

例：在全體實數(shù)中選擇兩個數(shù)組成的有序列表如 (1,2)上真，(3,4),(-1,9),這些有序列表的全部集合即實數(shù)域的二維向量空間 $R^2$

向量空間的本質(zhì)是多個向量的集合，那么這個集合的子集即 子空間 或者線性子空間

嚴格的向量空間數(shù)學(xué)定義是指滿足交換律羹膳、結(jié)合律谷羞、加法單位元等等一些列運算規(guī)律的元素集合，但這種方式實在太抽象，不如從空間幾何上理解湃缎，把向量看作為空間中一個個的箭頭或者點犀填，而這些箭頭的集合就是向量空間，雖然看起來這個想象空間非常的擁擠嗓违。

線性組合

V是F域上的向量空間九巡， $v_1,v_2,....v_n$ 是其中的一組向量，那么將這組通過標(biāo)量乘法先后相加蹂季，即得到該向量組的一個線性組合
$a_1v_1+a_2v_2+....a_mv_m \\ v_1,v_2...v_m \in V \\ a_1,a_2...a_m \in F$

張成的空間

向量空間V中的一組向量通過 線性組合獲得的所有向量的集合稱為這一組向量的 張成空間
$span(v_1,...v_m)=\{a_1v_1+a_2v_2+....a_mv_m:a_1...a_m\in F\}$
張成描述的是多次線性組合的過程冕广，而張成后形成的空間，依然是一個向量的集合偿洁。這個空間可以等于向量空間 V撒汉，也可以是 V的子集。

線性相關(guān)

對于空間 V中的一組向量 $\{v_1,...v_m\}$ ,如果使得 $a_1v_1+a_2v_2+....a_mv_m=0$ 的等式只有 $a_1=a_2=....a_m=0$ 的唯一解涕滋，那么稱這一組向量是線性無關(guān)的睬辐，反之如果存在其他解這一組向量是線性相關(guān)的。

通俗的理解宾肺，線性無關(guān)or相關(guān)是描述一組向量的溯饵，在這一組向量中，其中任何一個向量都不能通過其他向量的線性組合獲得到锨用，那么這一組向量是線性無關(guān)的丰刊，反之則是線性相關(guān)的。從空間上理解增拥，向量是空間里面的箭頭啄巧，而線性組合包含的標(biāo)量乘法和相加就是箭頭的拉伸壓縮和疊加，如果一組向量中掌栅，任何一個向量都無法通過其他向量的壓縮和疊加來獲得秩仆，那么自然是線性無關(guān)。

基向量

如果 V中的一組向量是線性無關(guān)的渣玲，且這一組向量的張成空間等于 V，那么這一組向量為基向量

V是向量空間弟晚，例如 $R^3$ 忘衍，代表實數(shù)的三維向量空間∏涑牵基向量是一組向量枚钓，這一組向量張成的空間等于 V，即這一組向量通過線性組合瑟押，可以獲得這個向量空間 V中的任意其他向量搀捷。
$v=a_1v_1+..a_mv_m,a_1...a_m\in F$
為什么基向量一定是線性無關(guān)的？因為如果基向量是線性相關(guān)的，那么在該組向量中必然存在某個向量 $u$ 可以通過該組中的其他向量線性組合得來嫩舟。也就是說氢烘，這個向量 $u$ 對于基向量本身來說，是多余的家厌，因此基向量必然線性無關(guān)播玖。

向量的點積(內(nèi)積)

如果向量 $\vec{v},\vec{u}$ 都是n維向量，那么兩個向量的點積為各維度上數(shù)值的乘積的和:
$\boldsymbol{\vec{v}} \cdot \boldsymbol{\vec{u}}=\boldsymbol{\vec{u}} \cdot \boldsymbol{\vec{v}}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}$
向量的點積是標(biāo)量饭于，當(dāng)點積為0時蜀踏，表示兩向量是正交的。

向量的叉積(外積)

向量 $\vec{v},\vec{u}$ 的叉積是向量掰吕，膜長為 $\vec{v},\vec{u}$ 構(gòu)成的“面積”大小果覆，方向正交與 $\vec{v},\vec{u}$ 張成的空間，滿足右手定則殖熟。

線性映射和矩陣

線性映射也就是線性變換局待，其本質(zhì)是一種函數(shù)，輸入和輸出都是向量空間吗讶，描述的是向量空間V映射到向量空間W的運動過程燎猛。從V 到W的線性映射必須滿足兩個條件：

加性

對于所有的 $u,v \in V$ 線性變換T滿足 $T(u+v)=T(u)+T(v)$

齊性

對于所有的 $u \in V,\lambda \in F$ 線性變換T滿足 $T(\lambda u)=\lambda T(u)$

線性變換的數(shù)學(xué)符號就是矩陣，矩陣即線性變換的信息載體照皆。那么如何理解矩陣的數(shù)學(xué)含義重绷？

<1>線性變換的對象是向量空間，即空間V中的全部任意向量

<2>任何一個向量空間中的所有向量都可以通過基向量的線性組合獲得

<3>經(jīng)過線性變換后膜毁，新的向量空間中的所有向量是新的基向量線性組合結(jié)果

<3>只要記錄原空間 V的基向量線性變換后的新坐標(biāo)昭卓，就可以通過線性組合推導(dǎo)出任意向量經(jīng)過線性變換后的新坐標(biāo)

所以，矩陣記錄的是瘟滨，經(jīng)過線性變換后候醒，原來的基向量在新向量空間中的位置信息

例如對于R²的空間V 有一對基向量 $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ，對于任意一個該空間的向量 $p(x,y)$ 可以表示成 $\vec{p}=x\vec{i}+y\vec{j}$ 杂瘸。經(jīng)過線性變換后倒淫， $\vec{p}$ -> $\vec{q}$ ，基向量 $\vec{i}$ , $\vec{j}$ --> $\vec{i^{\prime}}$ , $\vec{j^{\prime}}$ 败玉。假設(shè)變換后新的基向量坐標(biāo)為 $\left[\begin{array}{l}a\\b\end{array}\right]$ , $\left[\begin{array}{l}c\\d\end{array}\right]$ 那么 $\vec{q}$ 可以表示為:
$\vec{q}=x\left[\begin{array}{l}a\\b\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{l}c\\d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}ax+cy\\bx+dy\end{array}\right]$
將變換后的基向量作為列向量組合在一起敌土，就變成了矩陣 matrix,記作 $M(T)$
$matrix=\left[\begin{array}{l}a &c\\b & d\end{array}\right]$

從空間幾何角度去看待矩陣，要比從多元一次方程組來看待矩陣要直白形象得多运翼。

逆矩陣

矩陣T表示從向量空間 V到向量空間W的映射關(guān)系返干，那么矩陣S表示從W到T的映射關(guān)系，則T為W的逆矩陣血淌，W為T的逆矩陣矩欠。一個矩陣與它的逆矩陣相乘所得為單位矩陣 I，單位矩陣表示恒等映射，即一模一樣的空間映射癌淮。
$T T^{-1}=T^{-1}T=I$

矩陣的轉(zhuǎn)置

矩陣A 的轉(zhuǎn)置 $A^t$ 是通過互換行列的角色得到的矩陣：
$(A^t)_{k,j}=A_{j,k}$

矩陣的秩

對于矩陣 $A^{m*n}$ ,其行秩為 $m$ ,列秩為 $n$ 躺坟。矩陣A的秩等于矩陣A的列秩

行列式

在線性映射過程中，原向量空間的基向量 $\vec{i},\vec{j}$ 被映射到了 $\vec{i`},\vec{j`}$ ,行列式表示映射完成后该默，新的基向量構(gòu)成的"面積"瞳氓，這里的面積是廣義的，如果是 $F^2$ 的映射栓袖，那么是平行四邊形的面積匣摘，如果是 $F^3$ 的映射，那么指的是平行四面體裹刮。行列式是描述線性映射后對空間的影響的一個指標(biāo)音榜。例如，如果 $det{A}=0$ 那么原向量空間被映射到更低的維度上捧弃，甚至直接被拍扁在0維赠叼。對于較簡單的二維矩陣行列式計算如下:
$det(\left[\begin{array}{l}a &c\\b & d\end{array}\right])=ad-bc$

零空間

對于線性映射T，T的零空間(記作 $null T$ )是指向量空間 V中那些被T 映射到0上的向量的集合违霞。
$null T=\{v \in V:Tv=0\}$
即輸入的向量集V嘴办，經(jīng)過線性映射T 后形成了新的向量集W，這個過程中买鸽，原屬于V中的一部分向量經(jīng)過映射后涧郊，“不幸”的被拍死在零點（原點）上，這群不幸的向量的集合就是線性映射的零空間 nullT眼五，零空間是 V的子空間妆艘。

特征向量、特征值

對于算子T看幼，將空間V映射到W的過程中批旺，一部分向量 $\vec{v}$ 被映射到 $\lambda \vec{v}$ 上，則 $\lambda$ 為特征值诵姜， $\vec{v}$ 是基于 $\lambda$ 的特征值汽煮。一個n*n的矩陣有n個特征值，特征值之和為矩陣的跡
$T\vec{v}=\lambda \vec{v} \\ \vec{v}\in{V}$

特征向量的特性在于棚唆，經(jīng)過同一個矩陣進行映射暇赤，無論多少次，特征向量的方向始終不變瑟俭，而模長變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Clambda" alt="\lambda" mathimg="1">的k次冪倍翎卓。這一特點在求解矩陣的n次冪時非常重要:
$A^k\vec{v}=\lambda^k\vec{v},\lambda 為特征值契邀，v為特征向量$

參考資料:

《線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)》第三版
線性代數(shù)的本質(zhì) - 系列合集

最后編輯于：2021.04.08 00:53:22

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