《Machine Learning in Action》—— 剖析支持向量機(jī)，單手狂撕線性SVM

前面在寫(xiě)NumPy文章的結(jié)尾處也有提到钱豁，本來(lái)是打算按照《機(jī)器學(xué)習(xí)實(shí)戰(zhàn) / Machine Learning in Action》這本書(shū)來(lái)手撕其中代碼的，但由于實(shí)際原因疯汁，可能需要先手撕SVM了牲尺，這個(gè)算法感覺(jué)還是挺讓人頭疼，其中內(nèi)部太復(fù)雜了幌蚊，涉及到的數(shù)學(xué)公式太多了谤碳，也涉及到了許多陌聲的名詞，如：非線性約束條件下的最優(yōu)化溢豆、KKT條件蜒简、拉格朗日對(duì)偶、最大間隔漩仙、最優(yōu)下界搓茬、核函數(shù)等等犹赖，天書(shū)或許、可能卷仑、大概就是這樣的吧峻村。

記得與SVM初次邂逅是在17年，那個(gè)時(shí)候的自己年少輕狂锡凝，視圖想著站在巨人的肩膀上粘昨，把所有自己感興趣的內(nèi)容都搞懂，深入骨髓的那種窜锯。但后來(lái)殘酷的現(xiàn)實(shí)讓我明白一個(gè)道理：你知道的越多张肾，你不知道的也越多。而且那個(gè)時(shí)候自己也沒(méi)有能力锚扎、資源和機(jī)會(huì)去深入SVM內(nèi)部吞瞪，完全無(wú)法理解SVM的內(nèi)部原理。所以工秩，當(dāng)時(shí)自己對(duì)SVM的收獲只有一個(gè)：SVM主要是用來(lái)做分類任務(wù)的尸饺，僅此而已。

第二次接觸SVM是在準(zhǔn)備考研復(fù)試吧助币，當(dāng)時(shí)復(fù)試并沒(méi)有給出具體內(nèi)容和范圍浪听，而且自己也還是個(gè)初出茅廬的小子，對(duì)這種所謂的復(fù)試有種莫名的恐懼感眉菱。也只有從上屆學(xué)長(zhǎng)學(xué)姐的口中迹栓，得知復(fù)試的時(shí)候老師會(huì)考究學(xué)生是否有科研的潛力，所以最好把機(jī)器學(xué)習(xí)熟知一下俭缓。那個(gè)時(shí)候也是處于新冠疫情的緊張時(shí)期嘛克伊，就瘋狂補(bǔ)習(xí)機(jī)器學(xué)習(xí)的內(nèi)容，其中就包括支持向量機(jī)——SVM华坦，主要的學(xué)習(xí)渠道是吳恩達(dá)老師的機(jī)器學(xué)習(xí)課程愿吹，感覺(jué)講的的確不錯(cuò)，非常適合我這種菜鳥(niǎo)級(jí)選手學(xué)習(xí)惜姐。當(dāng)時(shí)也算是對(duì)SVM有了一定的認(rèn)識(shí)吧犁跪，也大致了解了SVM的工作原理，當(dāng)然了歹袁，也只是對(duì)SVM有了個(gè)的淺顯的認(rèn)識(shí)坷衍，沒(méi)有手撕SVM的過(guò)程，也沒(méi)有完全把它整明白条舔。盡管如此枫耳，復(fù)試的過(guò)程依然被面試導(dǎo)師錘的體無(wú)完膚，除了問(wèn)了機(jī)器學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容之外孟抗，編譯原理等一些專業(yè)知識(shí)對(duì)于我這個(gè)貿(mào)易專業(yè)的學(xué)生來(lái)講可太痛苦了迁杨，之前也沒(méi)有接觸過(guò)钻心，全程阿巴阿巴。想到這仑最，眼角又又扔役。。警医。

第三次面對(duì)SVM也就是現(xiàn)在了亿胸，想著無(wú)論如何也要打通我的任督二脈，一定要搞清楚SVM的來(lái)龍去脈预皇，也要像面試?yán)蠋煷肺夷菢映扌裇VM往死里錘。于是有了下文學(xué)習(xí)SVM之后的總結(jié)吟温，一方面算是重新梳理一遍SVM序仙，另一方面也希望來(lái)訪的讀者能夠有所收獲。

對(duì)于剛剛接觸SVM的讀者鲁豪，Taoye主要有以下幾條建議潘悼，也是我學(xué)習(xí)SVM過(guò)程中的一個(gè)小總結(jié)吧：

• SVM內(nèi)部的數(shù)學(xué)公式很多，但請(qǐng)不要未戰(zhàn)先怯爬橡，犯下兵家大忌治唤。無(wú)論是閱讀該篇文章也好，學(xué)習(xí)其他相關(guān)SVM資源也罷糙申，還請(qǐng)諸君耐心宾添、認(rèn)真且完整的看完。
• SVM的原理過(guò)程會(huì)涉及到很多的符號(hào)或記號(hào)柜裸，一定要梳理清楚他們所代表的含義缕陕。另外，推導(dǎo)過(guò)程中會(huì)存在很多的向量或矩陣疙挺，一定要明白其中shape扛邑，這一點(diǎn)可能在不同的資料中會(huì)有不一樣的處理方式。
• 在閱讀的同時(shí)铐然，一定要拿出稿紙手動(dòng)推演SVM的過(guò)程蔬崩，盡可能明白整個(gè)過(guò)程的來(lái)龍去脈，有不明白的地方可以留言或查找其他相關(guān)資料來(lái)輔助自己的理解锦爵。
• 閱讀一遍或許有不少知識(shí)不理解，但多閱讀幾遍相信一定會(huì)有不少收獲

本文參考了不少書(shū)籍資料以及許多大佬的技術(shù)文章奥裸，行文風(fēng)格盡可能做到通俗易懂险掀，但其中涉及到的數(shù)學(xué)公式在所難免，還請(qǐng)諸讀者靜下心來(lái)慢慢品嘗湾宙。由于個(gè)人水平有限樟氢，才疏學(xué)淺冈绊，對(duì)于SVM也只是略知皮毛，可能文中有不少表述稍有欠妥埠啃、有不少錯(cuò)誤或不當(dāng)之處死宣，還請(qǐng)諸君批評(píng)指正。

我是Taoye碴开，愛(ài)專研毅该，愛(ài)分享，熱衷于各種技術(shù)潦牛，學(xué)習(xí)之余喜歡下象棋眶掌、聽(tīng)音樂(lè)、聊動(dòng)漫巴碗，希望借此一畝三分地記錄自己的成長(zhǎng)過(guò)程以及生活點(diǎn)滴朴爬，也希望能結(jié)實(shí)更多志同道合的圈內(nèi)朋友，更多內(nèi)容歡迎來(lái)訪微信公主號(hào)：玩世不恭的Coder

符號(hào)說(shuō)明

符號(hào)	說(shuō)明
	表示單個(gè)樣本橡淆，其中包含多個(gè)屬性召噩，顯示為一個(gè)行向量
	表示單個(gè)樣本中的某個(gè)屬性特征
	表示單個(gè)樣本所對(duì)應(yīng)的標(biāo)簽（具體分類），為整數(shù)逸爵，非1即-1
	表示的是權(quán)值行向量具滴，其中，也是所需要訓(xùn)練的參數(shù)
	表示的是決策面中的痊银，也是所需要訓(xùn)練的參數(shù)
	表示函數(shù)間隔抵蚊，具體解釋見(jiàn)下文
	表示幾何間隔，具體解釋見(jiàn)下文
	表示拉格朗日乘子
	在這篇文章中表示線性核函數(shù)

關(guān)于上述的符號(hào)說(shuō)明溯革，僅僅只是本篇文章的一部分贞绳，其他符號(hào)可通過(guò)正文了解。上述符號(hào)可能部分暫時(shí)不懂致稀，但沒(méi)關(guān)系冈闭，讀者可在閱讀的過(guò)程中，隨時(shí)返回來(lái)查看抖单，即可理解每個(gè)符號(hào)所代表的意義萎攒。

一、SVM是什么

關(guān)于SVM是什么矛绘，之前在Byte Size Biology上看到有篇文章很好的解釋了SVM耍休，在知乎上也有一位名叫“簡(jiǎn)之”的用戶通過(guò)故事的形式來(lái)將其進(jìn)行轉(zhuǎn)述，通俗易懂货矮，很好的向首次接觸SVM的讀者介紹了SVM能干嘛羊精。

• Support Vector Machines explained well（可能需要翻墻）：http://bytesizebio.net/2014/02/05/support-vector-machines-explained-well/
• 支持向量機(jī)（SVM）是什么意思吟逝？：https://www.zhihu.com/question/21094489/answer/86273196

image

油管上也有更為直觀認(rèn)識(shí)SVM的短視頻（翻墻）：https://www.youtube.com/watch?v=3liCbRZPrZA

總結(jié)一哈：

對(duì)于一個(gè)二分類問(wèn)題宰翅，樣本數(shù)據(jù)是線性可分的，我們則需要通過(guò)一根直線（也就是上述例子當(dāng)中枝條）將兩個(gè)不同種類的樣本進(jìn)行分離。按道理來(lái)講新翎，我們已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了需求惠赫，但是终蒂，這根枝條的具體擺放位置可能有無(wú)數(shù)多個(gè)席里，而我們的最終目的是將枝條擺放到一個(gè)最好的位置，從而當(dāng)我們引入了一些新樣本的時(shí)候阵具，依然能最好很好將兩類的數(shù)據(jù)分離開(kāi)來(lái)碍遍，也就是說(shuō)我們需要將模型的“泛化性能”最大化。之前也看到過(guò)一個(gè)例子（來(lái)源忘了）怔昨，這里分享下雀久，大概就是講：我們?cè)谕ㄟ^(guò)懸崖吊橋的時(shí)候，會(huì)不自覺(jué)的盡可能往中間走趁舀，因?yàn)檫@樣的話赖捌，當(dāng)左右起風(fēng)的時(shí)候，雖然我們的位置會(huì)左右稍微移動(dòng)矮烹，但還不至于跌落懸崖越庇。而越靠近邊緣，風(fēng)險(xiǎn)就越大奉狈，就是這么個(gè)道理卤唉。而尋找最大“泛化性能”的過(guò)程，就是將枝條擺放在距離小球最遠(yuǎn)的位置仁期，而小球相對(duì)于枝條的位置就是“間隔”桑驱，而我們要做的就是將這間隔最大化。

上述僅僅是對(duì)于線性可分?jǐn)?shù)據(jù)分類的一種處理方式跛蛋，但有的時(shí)候熬的，理想是美好的，現(xiàn)實(shí)卻是殘酷的赊级。在實(shí)際樣本數(shù)據(jù)中押框，大多都是線性不可分的，也就是說(shuō)我們無(wú)法找到合適位置的枝條將不同分類的數(shù)據(jù)分離開(kāi)來(lái)理逊，更別提“間隔最大化”了橡伞。這個(gè)時(shí)候，我們就需要將桌上的小球排起晋被，然后用一個(gè)平面（紙）將不同分類小球分離開(kāi)來(lái)兑徘。也就是說(shuō)，我們將低維度映射到了高緯度羡洛，這樣對(duì)于小球的分類就更加容易了挂脑。

再之后，無(wú)聊的大人們，把這些球叫做 「data」最域，把棍子 叫做 「classifier」, 最大間隙trick 叫做「optimization」， 拍桌子叫做「kernelling」, 那張紙叫做「hyperplane」锈麸。

二镀脂、線性可分SVM與間隔最大化

我們先來(lái)看具體看看線性可分的二分類問(wèn)題。

假如說(shuō)忘伞，我們這里有一堆樣本薄翅，也就是我們常說(shuō)的訓(xùn)練集，且表示的是樣本的屬性特征向量氓奈，其內(nèi)部有多個(gè)不同屬性翘魄，這里我們不妨指定每個(gè)樣本含有兩個(gè)屬性特征，也就是說(shuō)（之所以用列向量表示舀奶，主要是方便后面超平面的構(gòu)建）暑竟。而表示的是每個(gè)樣本中所有屬性特征所對(duì)應(yīng)的標(biāo)簽，由于這里的問(wèn)題屬性二分類育勺，所以的值只存在兩種但荤。為此，我們可以通過(guò)Matplotlib在平面直角坐標(biāo)系中繪制其圖像涧至，初步觀察其分布規(guī)律腹躁，具體代碼如下：

import numpy as np
import pylab as pl
from sklearn import svm

%matplotlib inline
print(np.__version__)

"""
    Author: Taoye
    微信公眾號(hào)：玩世不恭的Coder
"""
if __name__ == "__main__":
    # np.random.seed(100)        # 可自行設(shè)置隨機(jī)種子每次隨機(jī)產(chǎn)生相同的數(shù)據(jù)
    X_data = np.concatenate((np.add(np.random.randn(20, 2), [3, 3]),       
                             np.subtract(np.random.randn(20, 2), [3, 3])),
                             axis = 0)      # random隨機(jī)生成數(shù)據(jù)，+ -3達(dá)到不同類別數(shù)據(jù)分隔的目的 

    Y_label = np.concatenate((np.zeros([20]), np.ones([20])), axis = 0)

    svc = svm.SVC(kernel = "linear")
    svc.fit(X_data, Y_label)
    
    w = svc.coef_[0]      
    ww = -w[0] / w[1]                # 獲取權(quán)重w
    xx = np.linspace(-6, 6)
    yy = ww * xx - (svc.intercept_[0]) / w[1]   # intercept_獲取結(jié)截距
    
    b_down = svc.support_vectors_[0]         # 得到對(duì)應(yīng)的支持向量
    yy_down = ww * xx + (b_down[1] - ww * b_down[0])
    b_up = svc.support_vectors_[-1]
    yy_up = ww * xx + (b_up[1] - ww * b_up[0])

    pl.plot(xx, yy, "k-"); pl.plot(xx, yy_down, "k--"); pl.plot(xx, yy_up, "k--")
    pl.scatter(X_data[:, 0], X_data[:, 1], c = Y_label, cmap = pl.cm.Paired)

    pl.show()

執(zhí)行代碼南蓬，可以繪制如下所示圖片纺非，注意：以上代碼每次運(yùn)行都會(huì)隨機(jī)產(chǎn)生不同的二分類數(shù)據(jù)集，如想每次隨機(jī)產(chǎn)生相同的數(shù)據(jù)集赘方，可自行配置np.random.seed隨機(jī)種子烧颖；另外，還有一點(diǎn)需要需要說(shuō)明的是蒜焊，上述代碼使用到了NumPy倒信，關(guān)于NumPy的使用，可自行參考之前寫(xiě)的一篇文章：print( "Hello泳梆，NumPy鳖悠！" )

image

如上圖所示，我們可以發(fā)現(xiàn)优妙，棕色代表一類數(shù)據(jù)集乘综，此時(shí)標(biāo)簽，藍(lán)色代表另一類數(shù)據(jù)集套硼，標(biāo)簽卡辰，而要想將上圖兩類數(shù)據(jù)集分離開(kāi)來(lái)，顯然不止一條直線，與上圖兩條虛線平行且居其之間的任意一條直線都能達(dá)到此目的九妈。在這無(wú)數(shù)條直線中反砌，要數(shù)上圖中的三條最為特殊，中間實(shí)線居于兩條虛線中間萌朱，我們一般稱其為“決策面”或“超平面”宴树，而其所表示的方程，我們一般稱作“決策方程”或“超平面方程”晶疼，在這里可以表示為酒贬。（下面會(huì)推導(dǎo)）

從上圖我們還可以觀察得到，在所有樣本數(shù)據(jù)集中翠霍，虛線上的樣本距離決策面最近锭吨，我們把這種比較特殊的樣本數(shù)據(jù)一般稱之為“支持向量”，而支持向量到?jīng)Q策面之間的距離稱為“間隔”寒匙。我們不難發(fā)現(xiàn)零如，決策面的位置主要取決于支持向量，而與支持向量除外的數(shù)據(jù)樣本沒(méi)有關(guān)系锄弱。（因?yàn)橹С窒蛄康拇_定就已經(jīng)確定了最大間隔）

關(guān)于上述提到的一些關(guān)于SVM的名詞概念埠况，在正式推演之前，還是有必要理解清楚的棵癣。

前面我們也有提到辕翰，關(guān)于能將兩類不同數(shù)據(jù)集相互分隔開(kāi)來(lái)的直線有無(wú)數(shù)種，而我們要想在這無(wú)數(shù)種直線找到一條最合適的狈谊，也就是達(dá)到一個(gè)間隔最大化的目的喜命，這就是一個(gè)“最優(yōu)化”問(wèn)題。而最優(yōu)化問(wèn)題河劝，我們需要了解兩個(gè)因素壁榕，分別是目標(biāo)函數(shù)和優(yōu)化對(duì)象。既然我們是想要達(dá)到間隔最大化的目標(biāo)赎瞎，那么目標(biāo)函數(shù)自然就是間隔牌里，而優(yōu)化對(duì)象就是我們的決策面方程。所以务甥，我們首先需要用數(shù)學(xué)來(lái)明確間隔和決策面方程：

我們知道牡辽，在平面直角坐標(biāo)系中，一條直線可以用其一般式方程來(lái)來(lái)表示：

而根據(jù)上述圖像敞临，我們可以知道态辛，橫縱坐標(biāo)代表的意義是一個(gè)樣本的不同屬性特征，而標(biāo)簽則是通過(guò)顏色（棕色和藍(lán)色）來(lái)進(jìn)行表示挺尿。所以上述的直線的一般式方程中的表示的就是一個(gè)樣本的兩種屬性特征炊邦，為了方便理解，我們不妨將其修改為馁害，并將替換為怒详，對(duì)此，我們可以將上述方程向量化踪区，得到：

令昆烁，則上述指向方程最終可以表示為:

式（1-2）表示的就是我們優(yōu)化問(wèn)題的優(yōu)化對(duì)象，也就是決策面方程缎岗。我們知道在平面直角坐標(biāo)系中静尼，一條直線可以通過(guò)其斜率和截距來(lái)確定，而在決策面方程里传泊，我們不難得到：確定了決策面的方向（斜率） 鼠渺，而確定了決策面的截距。既然我們已經(jīng)得到了優(yōu)化問(wèn)題的優(yōu)化對(duì)象——決策面方程眷细，那么接下來(lái)就需要得到目標(biāo)函數(shù)——間隔的表達(dá)式了拦盹。

在此，我們需要引入函數(shù)間隔和幾何間隔的概念了溪椎。

一般來(lái)講普舆，我們可以通過(guò)樣本點(diǎn)到?jīng)Q策面的距離來(lái)表示分類預(yù)測(cè)的正確程度，距離決策面越遠(yuǎn)校读，一般分類就越正確（可根據(jù)圖像自行理解）沼侣，而在超平面確定的情況下，我們可以通過(guò)的值來(lái)描述樣本距超平面的遠(yuǎn)近（注意：這里是描述遠(yuǎn)近歉秫。而不是確切的距離）蛾洛。我們知道，樣本有不同的分類雁芙，所以有的時(shí)候的符號(hào)具有不確定性轧膘，所以我們可以通過(guò)和的符號(hào)來(lái)判斷分類結(jié)果的正確性。也就是說(shuō)可以通過(guò)值的大小和符號(hào)來(lái)判斷一個(gè)樣本分類的正確性和正確程度兔甘，這個(gè)就是我們的函數(shù)間隔（這個(gè)概念務(wù)必要理解清楚）扶供，我們不妨用來(lái)表示：

而我們知道，上述的裂明，表示的是有個(gè)樣本椿浓，而在個(gè)樣本中太援，固然存在一個(gè)樣本使得該值達(dá)到最小，該樣本也就是我們前面所說(shuō)的支持向量扳碍，我們把支持向量到超平面的函數(shù)間隔定義為提岔，則：

我們只有函數(shù)間隔還不夠，函數(shù)間隔描述的僅僅是樣本分類的正確性和正確程度笋敞，而不是確切的間隔碱蒙。當(dāng)我們成比例的更改和的時(shí)候，決策面并沒(méi)有發(fā)生任何改變夯巷，而函數(shù)間隔卻發(fā)生了改變赛惩，所以我們需要對(duì)進(jìn)行約束，從而當(dāng)無(wú)論和怎么成比例變動(dòng)的時(shí)候趁餐，我們的“間隔”都不會(huì)發(fā)生改變喷兼，也就是進(jìn)行將規(guī)范化，由函數(shù)間隔規(guī)范后的間隔我們稱之為幾何間隔后雷，我們不妨用來(lái)表示季惯，則某個(gè)樣本到超平面的幾何間隔為：

我們可以將式子（1-5）理解成點(diǎn)到直線的距離公式（這個(gè)在中學(xué)時(shí)期就學(xué)過(guò)的）。對(duì)于這個(gè)二分類問(wèn)題臀突，我們不妨將二分類的標(biāo)簽定為 勉抓，則可以表示為（之所以乘以，主要是把絕對(duì)值符號(hào)去掉候学，這樣就能描述所有樣本了藕筋，而省去了分類討論的麻煩）：

而我們知道，上述的梳码，表示的是有個(gè)樣本念逞，而在個(gè)樣本中，固然存在一個(gè)樣本使得該值達(dá)到最小边翁，該樣本也就是我們前面所說(shuō)的支持向量翎承，我們把支持向量到超平面的幾何間隔定義為，則：

通過(guò)上述對(duì)函數(shù)間隔和幾何間隔的分析符匾，我們可以得到他們之間的關(guān)系：

自此，我們已經(jīng)分析得到了該優(yōu)化問(wèn)題的優(yōu)化對(duì)象——決策面方程和目標(biāo)函數(shù)——間隔（幾何間隔）啊胶。在之前甸各，我們提到了支持向量的概念，那么支持向量具有什么特性呢焰坪？細(xì)想一下不難發(fā)現(xiàn)趣倾，支持向量到?jīng)Q策平面的間隔是最近的，即滿足如下式子：

對(duì)此儒恋，我們就可以通過(guò)數(shù)學(xué)來(lái)表達(dá)該優(yōu)化問(wèn)題：

前面，我們提到了诫尽，函數(shù)間隔描述的僅僅是樣本分類的正確性和正確程度禀酱，而不是確切的間隔。當(dāng)我們成比例的更改和的時(shí)候牧嫉，函數(shù)間隔雖然發(fā)生了改變剂跟，但并不會(huì)影響我們的幾何間隔——目標(biāo)函數(shù)船逮，也就是說(shuō)漠畜，此時(shí)產(chǎn)生了一個(gè)等價(jià)的最優(yōu)化問(wèn)題。為了方便描述問(wèn)題蹭沛，我們不妨取辽剧。另外送淆，我們注意到目標(biāo)函數(shù)可以等價(jià)于，（注意抖仅，僅僅是等價(jià)。而之所以等價(jià)為二分之一砖第、平方的形式撤卢，主要是方便后期的求導(dǎo)操作），對(duì)此梧兼，我們可以將數(shù)學(xué)表達(dá)的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下形式：

關(guān)于如上提到的決策平面和間隔等概念，我們可以通過(guò)下圖來(lái)直觀感受下（理解清楚）：

圖片來(lái)源：西瓜書(shū)

至此羽杰，我們已經(jīng)得到了該優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)表達(dá)渡紫，我們不妨通過(guò)一個(gè)小例子來(lái)檢測(cè)下：

例子來(lái)源：李航-《統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法》第七章內(nèi)容

例子1：已知一個(gè)如圖所示的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，其正例點(diǎn)是考赛，負(fù)例點(diǎn)為惕澎，試求最大間隔分離的決策面？

image

根據(jù)前面的優(yōu)化問(wèn)題表達(dá)颜骤，我們可以得到如下表示：

求解可以得到目標(biāo)函數(shù)的最小時(shí)唧喉，，于是最大間隔分離的決策面為：

其中忍抽，與為支持向量八孝。

三、拉格朗日乘數(shù)法和對(duì)偶問(wèn)題

首先鸠项，我們有必要先了解下什么是拉格朗日乘數(shù)法干跛。

關(guān)于對(duì)偶問(wèn)題，《統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法》一書(shū)中是如此描述的：

為了求解線性可分的支持向量機(jī)的最優(yōu)化問(wèn)題祟绊，將它作為原始最優(yōu)化問(wèn)題楼入，應(yīng)用拉格朗日對(duì)偶性哥捕，通過(guò)求解對(duì)偶問(wèn)題（dual problem）得到原始問(wèn)題（primary problem）的最優(yōu)解，這就是線性可分支持向量機(jī)的對(duì)偶算法（dual algorithm）浅辙。這樣做的優(yōu)點(diǎn)扭弧，一是對(duì)偶問(wèn)題往往更容易求解；二是自然引入核函數(shù)记舆，進(jìn)而推廣到非線性分類問(wèn)題鸽捻。

按照前面對(duì)優(yōu)化問(wèn)題的求解思路，構(gòu)造拉格朗日方程的目的是將約束條件放到目標(biāo)函數(shù)中泽腮，從而將有約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題御蒲。我們?nèi)匀槐羞@一思路去解決不等式約束條件下的優(yōu)化問(wèn)題，那么如何針對(duì)不等式約束條件下的優(yōu)化問(wèn)題構(gòu)建拉格朗日函數(shù)呢诊赊？

因?yàn)槲覀円蠼獾氖亲钚』瘑?wèn)題厚满，所以一個(gè)直觀的想法是如果我能夠構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，使得該函數(shù)在可行解區(qū)域內(nèi)與原目標(biāo)函數(shù)完全一致碧磅，而在可行解區(qū)域外的數(shù)值非常大碘箍，甚至是無(wú)窮大，那么這個(gè)沒(méi)有約束條件的新目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題就與原來(lái)有約束條件的原始目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化是等價(jià)的問(wèn)題鲸郊。

對(duì)此丰榴，我們重新回顧下原優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)表達(dá)：

關(guān)于拉個(gè)朗日乘數(shù)法的解題思路，其實(shí)早在大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》這門(mén)課程中就已經(jīng)提到過(guò)秆撮，我們不妨通過(guò)一個(gè)小例子來(lái)了解下其解題的一般形式：

例子來(lái)源：李億民-《微積分方法》第二章內(nèi)容

例子2：求函數(shù)在上的最值四濒。

做拉格朗日函數(shù)：

上面的拉格朗日函數(shù)，我們分別對(duì)求偏導(dǎo)职辨，得到：

求解得到或盗蟆，所以

上例就是利用拉格朗日求解最優(yōu)問(wèn)題的一般思路舒裤，先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)喳资，然后分別對(duì)參數(shù)求偏導(dǎo)，最終求解得到最優(yōu)解腾供。而我們要想得到最大間隔骨饿，同樣可以根據(jù)該思路進(jìn)行，只不過(guò)式子更加復(fù)雜台腥，而我們還需要利用拉格朗日的對(duì)偶性來(lái)簡(jiǎn)化優(yōu)化問(wèn)題宏赘。

在此之前，我們先來(lái)回顧下該優(yōu)化問(wèn)題下的數(shù)學(xué)表達(dá)：

按照我們例2的思路察署，我們首先構(gòu)造出該優(yōu)化問(wèn)題的拉格朗日函數(shù)，注意：（2-1）式的限制條件是對(duì)于樣本 的峻汉，而這里的贴汪，所以想這樣的約束條件有N個(gè)脐往，而每個(gè)約束條件都對(duì)應(yīng)一個(gè)拉格朗日乘子（例2的），我們不妨將該拉格朗日乘子定義為业簿。據(jù)此，我們構(gòu)建出的該優(yōu)化問(wèn)題的拉格朗日函數(shù)如下：

其中阳懂，為拉格朗日乘子向量梅尤。

令，原始目標(biāo)函數(shù)即可轉(zhuǎn)化為：

根據(jù)上述目標(biāo)函數(shù)岩调，我們可以發(fā)現(xiàn)是先求最大值巷燥，再求最小值，而內(nèi)層最小值是關(guān)于号枕，而外層最大值是關(guān)于缰揪，而我們的又是不等式約束，這樣對(duì)于求解來(lái)講過(guò)于麻煩葱淳。由拉格朗日的對(duì)偶性钝腺，原始問(wèn)題的對(duì)偶問(wèn)題就是極大極小值，其對(duì)偶問(wèn)題如下：

且原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題滿足如關(guān)系：赞厕，而我們要找的是艳狐。讀到這里，我們應(yīng)該會(huì)存在兩個(gè)疑問(wèn)：

• 疑問(wèn)1：為什么前面我們令坑傅，而不是其他的表達(dá)形式呢僵驰？

主要是因?yàn)榕缯@樣替換之后唁毒，我們能使得該函數(shù)在可行解區(qū)域內(nèi)與原目標(biāo)函數(shù)完全一致，而在可行解區(qū)域外的數(shù)值非常大星爪，甚至是無(wú)窮大浆西，那么這個(gè)沒(méi)有約束條件的新目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題就與原來(lái)有約束條件的原始目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化是等價(jià)的問(wèn)題。（這句話要重點(diǎn)理解）

令：

之后顽腾，在可行解區(qū)域之內(nèi)和可行解區(qū)域之外近零，我們通過(guò)分析得到：在可行解區(qū)域之內(nèi)，

此時(shí)抄肖，我們要求的是 久信，而減去一個(gè)大于等于0的最大值是多少？不就是等于么漓摩，而同樣也是我們可行解區(qū)域之內(nèi)的目標(biāo)函數(shù)裙士。也就是說(shuō)在可行解區(qū)域之內(nèi)，就等價(jià)于管毙。同理腿椎，我們可以分析得到桌硫，在的可行解區(qū)域之外，此時(shí)可區(qū)域無(wú)窮大啃炸。所以沒(méi)有約束的新目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題就與原來(lái)有約束條件的原始目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化是等價(jià)的問(wèn)題铆隘，即：

• 疑問(wèn)2：為什么將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)偶問(wèn)題之后，在什么樣的條件下南用，才會(huì)滿足膀钠？

轉(zhuǎn)化為對(duì)偶問(wèn)題之后，要使得等式成立训枢，則需要滿足如下條件托修，也就是該問(wèn)題成立時(shí)候的KKT條件：

前兩個(gè)條件我們不難得到，前面我們也有過(guò)對(duì)其進(jìn)行分析恒界，那么第三個(gè)條件為什么需要滿足呢睦刃？

在介紹支持向量和決策平面的時(shí)候，我們有提到十酣，最終的決策平面只會(huì)與支持向量相關(guān)涩拙，而與其他大多數(shù)樣本數(shù)據(jù)（非支持向量）無(wú)關(guān)。我們不妨來(lái)對(duì)它們分別介紹耸采，當(dāng)樣本點(diǎn)為支持向量的時(shí)候兴泥，此時(shí)，即當(dāng)所取的樣本點(diǎn)為非支持向量的時(shí)候虾宇，要使得搓彻，則此時(shí)的。所以從整體樣本域來(lái)講嘱朽，只有滿足的時(shí)候旭贬，才能到達(dá)目標(biāo)決策平面與支持向量有關(guān)，而與其他大多數(shù)非支持向量無(wú)關(guān)搪泳。

綜上稀轨，只有滿足KKT條件的時(shí)候，才能到達(dá)岸军，即在滿足KKT條件的時(shí)候奋刽，才能將原始目標(biāo)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為對(duì)偶問(wèn)題艰赞，此時(shí)兩者是等價(jià)的佣谐，且此時(shí)的目標(biāo)函數(shù)為內(nèi)層關(guān)于的最小值，而外層是關(guān)于的最大值方妖，這樣一來(lái)狭魂，大大方便了我們對(duì)目標(biāo)函數(shù)的求解。所以優(yōu)化問(wèn)題，我們轉(zhuǎn)化如下：

而要解決這個(gè)優(yōu)化問(wèn)題趁蕊，我們可以分為兩步來(lái)進(jìn)行求解：

1. 先求內(nèi)層關(guān)于的最小值坞生，此時(shí)我們應(yīng)該將視為常數(shù)
2. 再求外層關(guān)于的最大值，由于經(jīng)過(guò)了第一步關(guān)于的最小值掷伙，這兩個(gè)參數(shù)已經(jīng)被消掉了是己，所以第二步只會(huì)存在關(guān)于的求解

經(jīng)過(guò)上述對(duì)目標(biāo)函數(shù)的問(wèn)題分析，我們下面根據(jù)上述的兩個(gè)步驟來(lái)手握手式的進(jìn)行求解任柜。

四卒废、模型的求解

關(guān)于拉格朗日的內(nèi)層求解

首先，我們需要對(duì)內(nèi)層的最小值問(wèn)題進(jìn)行求解宙地，即求：

注意摔认，此時(shí)僅僅只是關(guān)于，而是由外層最大值問(wèn)題進(jìn)行求解的宅粥，在這里當(dāng)做常數(shù)處理即可参袱。根據(jù)例2，我們需要求出關(guān)于的偏導(dǎo)秽梅，我們?cè)谶@假設(shè)每個(gè)樣本含有個(gè)屬性抹蚀，則企垦，應(yīng)各位“老婆們”的要求环壤，具體求偏導(dǎo)的詳細(xì)過(guò)程如下：

image

為了讓讀者徹底明白上述過(guò)程，所以步驟有點(diǎn)多钞诡，這里就不采用Latex語(yǔ)法來(lái)編輯上述公式的推導(dǎo)過(guò)程了郑现，當(dāng)然了，Taoye會(huì)盡可能地將過(guò)程寫(xiě)的足夠詳細(xì)荧降。上述關(guān)于拉格朗日函數(shù)求偏導(dǎo)的過(guò)程接箫，自認(rèn)為已經(jīng)寫(xiě)的很詳細(xì)了，最主要的是要區(qū)分的shape問(wèn)題列牺，以及各自代表的意義是什么整陌。對(duì)于上述過(guò)程有不清楚的拗窃，隨時(shí)歡迎聯(lián)系Taoye或在下方留言，也歡迎更多讀者來(lái)訪微信公眾號(hào)：玩世不恭的Coder泌辫。

對(duì)此随夸，我們已經(jīng)通過(guò)上面過(guò)程得到關(guān)于偏導(dǎo)所要滿足的式子：

之后，我們將式子（4-2）重新帶回到（4-1）中的最小值問(wèn)題中震放，即可消掉參數(shù)宾毒，也就是說(shuō)得到的式子僅僅只是關(guān)于，具體代回過(guò)程如下圖所示：

image

上圖就是將對(duì)求導(dǎo)之后所得到的式子待會(huì)的完整過(guò)程殿遂，務(wù)必要好好理解清楚诈铛。

關(guān)于這個(gè)代回的過(guò)程乙各，有兩點(diǎn)還是有必要說(shuō)一下的，這也是前幾天實(shí)驗(yàn)室的同學(xué)存在疑問(wèn)的地方幢竹。（參照上述圖片來(lái)解疑）

• 疑問(wèn)1：這里前一項(xiàng)難道不是和后一項(xiàng)同樣為0么耳峦？因?yàn)椴皇钦f(shuō)了啊焕毫？蹲坷？？

其實(shí)這個(gè)地方的后一項(xiàng)是為0邑飒，而前一項(xiàng)并不一定為0循签。因?yàn)楹笠豁?xiàng)中的其實(shí)就相當(dāng)于一個(gè)固定的常數(shù)，也就是中的每一項(xiàng)所乘的數(shù)都是疙咸，這樣的話县匠，固定的常數(shù)乘以0，結(jié)果當(dāng)然依然等于0咯撒轮。

而我們?cè)倏纯辞耙豁?xiàng)聚唐，可以發(fā)現(xiàn)前一項(xiàng)中除了之外，還有的存在腔召，而我們的是會(huì)隨著樣本的變化而改變的杆查，所以每次乘的數(shù)可能并不一定相同。舉個(gè)例子理解一下吧：臀蛛，這個(gè)我們都應(yīng)該知道亲桦。當(dāng)我們?cè)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=2%E3%80%813%E3%80%815" alt="2、3浊仆、5" mathimg="1">的前面同時(shí)乘以一個(gè)相同的數(shù)客峭，這個(gè)等式是依然成立的，然而當(dāng)我在前面分別乘以一個(gè)并不相同的數(shù)，那么這個(gè)等式就不成立了洲劣，比如 依然成立备蚓，而 就不成立了。

就是這個(gè)道理囱稽，務(wù)必要好好理解清楚郊尝。

• 疑問(wèn)2：為什么這一步可以推導(dǎo)至下面那一步呢？战惊？流昏？

其實(shí)這個(gè)問(wèn)題很好理解魏滚，因?yàn)檫@兩個(gè)成績(jī)形式的式子是相互獨(dú)立的奇适，也就是說(shuō)雖然都有柳爽，但是這兩個(gè)并不一定是同時(shí)取同一個(gè)值的绽快。這就像一種笛卡爾積的形式，所以將前一個(gè)式子中的換成
依然成立刁绒，所以能推導(dǎo)至下面那一步襟锐。。膛锭。

通過(guò)上述過(guò)程粮坞，我們已經(jīng)得到了代回之后的式子，如下：

并且我們觀察可以發(fā)現(xiàn)初狰，式子此時(shí)僅僅只存在莫杈，而已經(jīng)成功被消掉了。注意：上式中的表示的樣本奢入，也就說(shuō)這些樣本的各個(gè)屬性特征以及標(biāo)簽都是已知的筝闹，所以上式只有是未知的。

至此腥光，我們已經(jīng)解決了對(duì)偶問(wèn)題的內(nèi)層最小值問(wèn)題关顷，接下來(lái)我們就要求解外層的最大值問(wèn)題了，將最小值的式子代回原對(duì)偶問(wèn)題武福，我們更新下對(duì)偶問(wèn)題议双，得到如下：

如上，已經(jīng)將原對(duì)偶轉(zhuǎn)換為了上式的樣子捉片，下面我們據(jù)此再來(lái)看之前的例1

例子來(lái)源：李航-《統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法》第七章內(nèi)容

例子3：已知一個(gè)如圖所示的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集平痰，其正例點(diǎn)是，負(fù)例點(diǎn)為伍纫，試求最大間隔分離的決策面宗雇？

image

根據(jù)所給數(shù)據(jù)，其對(duì)偶問(wèn)題是：

我們將代入到目標(biāo)函數(shù)并記為：

對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)并令其為0莹规，易知在點(diǎn)取極值赔蒲，但該點(diǎn)不滿足約束條件，所以最小值應(yīng)在邊界上達(dá)到良漱。

當(dāng)時(shí)舞虱，最小值為；當(dāng)時(shí)债热，最小值砾嫉。所以幼苛，當(dāng)時(shí)窒篱，此時(shí)達(dá)到最小。

這樣的話，就說(shuō)明所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就是支持向量了墙杯，根據(jù)配并，我們可以求得此時(shí)，再由高镐，可以得到

綜上溉旋，我們可以得到?jīng)Q策面最終為：

其中，與為支持向量嫉髓。

歷經(jīng)九九八十一難观腊，終于來(lái)到了這最后一步了，只要我們能求得上式的最小值算行，那么模型的求解也就該到一段落了梧油。

那么，問(wèn)題來(lái)了州邢，關(guān)于上式儡陨，我們應(yīng)當(dāng)如何求解呢？量淌？骗村？

下面就應(yīng)該是我們的重頭戲閃亮登場(chǎng)了——SMO算法，各位看官掌聲歡迎一下呀枢，有請(qǐng)SMO大佬登臺(tái)表演胚股。。裙秋。

基于SMO算法的外層求解

關(guān)于SMO算法信轿，李航老師的《統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法》一書(shū)中是這么描述的，

關(guān)于外層問(wèn)題的求解残吩，我們有許多方法可供使用财忽。當(dāng)我們的數(shù)據(jù)樣本比較少的時(shí)候，可以將支持向量機(jī)的學(xué)習(xí)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為凸二次規(guī)劃問(wèn)題泣侮，這樣的凸二次規(guī)劃問(wèn)題具有全局最優(yōu)解即彪，并且有許多最優(yōu)化算法可以用于這一問(wèn)題的求解。但是當(dāng)訓(xùn)練樣本容量很大時(shí)活尊，這些算法往往變得非常低效隶校，以致無(wú)法使用。所以蛹锰，如何高效地實(shí)現(xiàn)支持向量機(jī)學(xué)習(xí)就成為一個(gè)重要的問(wèn)題深胳。目前人們已提出許多快速實(shí)現(xiàn)算法。而在這些算法中铜犬，要數(shù)Platt的序列最小最優(yōu)化（sequential minimal optimization SMO）算法最為人所知舞终。

SMO算法是一種啟發(fā)式算法轻庆，其基本思想是：如果所有變量的解都滿足此最優(yōu)化問(wèn)題的KKT條件，那么這個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題的解就得到了敛劝。因?yàn)镵KT條件是該最優(yōu)化問(wèn)題的充分必要條件余爆。否則，選擇兩個(gè)變量夸盟，固定其他變量蛾方，針對(duì)這兩個(gè)變量構(gòu)建一個(gè)二次規(guī)劃問(wèn)題。這個(gè)二次規(guī)劃問(wèn)題關(guān)于這兩個(gè)變量的解就應(yīng)該更接近原始二次規(guī)劃問(wèn)題的解上陕，因?yàn)檫@會(huì)使得原始二次規(guī)劃問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)值變得更小桩砰。更重要的是，這時(shí)子問(wèn)題可以通過(guò)解析方法求解释簿，這樣就可以大大提高整個(gè)算法的計(jì)算速度五芝。子問(wèn)題有兩個(gè)變量，一個(gè)是違反KKT條件最嚴(yán)重的那一個(gè)辕万，另一個(gè)由約束條件自動(dòng)確定枢步。如此，SMO算法將原問(wèn)題不斷分解為子問(wèn)題并對(duì)子問(wèn)題求解渐尿，進(jìn)而達(dá)到求解原問(wèn)題的目的醉途。

上述內(nèi)容來(lái)自李航——《統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法》第二版。

不知道大伙讀完上述關(guān)于內(nèi)容是什么感受砖茸，這里簡(jiǎn)單總結(jié)一下李航老師所表達(dá)的意思吧隘擎。

在Taoye的印象里，小學(xué)時(shí)期上語(yǔ)文課的時(shí)候?qū)W習(xí)過(guò)一篇文章叫做《走一步凉夯，再走一步》货葬。（具體幾年級(jí)就記不清楚了）

嘿！您還別說(shuō)劲够，剛剛?cè)ニ阉髁讼逻@篇課文震桶，還真就叫這個(gè)名兒。第一次讀李航老師《統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法》中關(guān)于SMO的內(nèi)容之后征绎，就讓我想起這篇文章蹲姐。我還專門(mén)重新讀了一下這篇文章，主要講的內(nèi)容是這樣的：

文章中主人公名叫小亨特人柿，他不是天生體弱怯懦嘛柴墩，在一次和小伙伴攀登懸崖的時(shí)候，由于內(nèi)心的恐懼凫岖、害怕江咳，在攀登途中上不去，也下不來(lái)哥放。然后呢歼指，他的小伙伴杰里就把小亨特的父親找來(lái)了爹土，父親對(duì)小亨特說(shuō)：“不要想有多遠(yuǎn)，有多困難东臀，你需要想的是邁一小步着饥。這個(gè)你能做到犀农《韪常看著手電光指的地方『巧冢看到那塊石頭沒(méi)有赁濒？”，最終通過(guò)父親的鼓勵(lì)孟害，小亨特成功脫險(xiǎn)拒炎。文末作者還總結(jié)道：在我生命中有很多時(shí)刻，每當(dāng)我遇到一個(gè)遙不可及挨务、令人害怕的情境击你，并感到驚慌失措時(shí)，我都能夠應(yīng)付——因?yàn)槲一叵肫鹆撕芫靡郧白约荷线^(guò)的那一課谎柄。我提醒自己不要看下面遙遠(yuǎn)的巖石丁侄，而是注意相對(duì)輕松、容易的第一小步朝巫，邁出一小步鸿摇、再一小步，就這樣體會(huì)每一步帶來(lái)的成就感劈猿，直到完成了自己想要完成的拙吉，達(dá)到了自己的目標(biāo)，然后再回頭看時(shí)揪荣，不禁對(duì)自己走過(guò)的這段漫漫長(zhǎng)路感到驚訝和自豪筷黔。

把《走一步，再走一步》這篇文章搬出來(lái)仗颈，真的不是在湊字?jǐn)?shù)從而給大家閱讀帶來(lái)壓力必逆，只是覺(jué)得SMO算法描述的就是這么個(gè)理兒。算了揽乱，不多說(shuō)了名眉，說(shuō)多了還真的會(huì)有湊字?jǐn)?shù)的嫌疑。(ノへ￣凰棉、)

下面我們開(kāi)始進(jìn)入到SMO吧损拢。。撒犀。

在這之前福压，我們把外層的最小值問(wèn)題再搬出來(lái)：

在這里掏秩，我們是假設(shè)對(duì)于所有的樣本數(shù)據(jù)都是100%線性可分的。

對(duì)于該優(yōu)化問(wèn)題的SMO算法荆姆，我們可以這樣理解：因?yàn)樵谖覀兊臄?shù)據(jù)集中蒙幻，屬于每個(gè)樣本的屬性特征，為樣本所對(duì)應(yīng)的標(biāo)簽胆筒，而這些都是已知的邮破，上述優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)只存在為未知變量，且未知變量有個(gè)仆救。而根據(jù)SMO算法的思想抒和，我們每次只將其中兩個(gè)看做變量，而其他僅僅只是常數(shù)彤蔽。在卻確定其中一個(gè)變量的時(shí)候摧莽，另一個(gè)變量就可以通過(guò)約束得到。我們不妨將該兩個(gè)變量定為顿痪，則SMO不斷執(zhí)行如下兩個(gè)步驟直至收斂：

• 選取一對(duì)需要更新的變量
• 固定以外的參數(shù)镊辕，根據(jù)求解式（4-5）獲得更新后
• 更新好之后，重新選取兩個(gè)進(jìn)行不斷更新迭代（重復(fù)1蚁袭、2步驟）

講到這里征懈，SMO算法是不是和《走一步，再走一步》中主人公類似呢撕阎？將一個(gè)大的受裹、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成多個(gè)小問(wèn)題，然后不斷的迭代更新虏束。

為什么我們每次都同時(shí)優(yōu)化兩個(gè)參數(shù)棉饶，而不是一個(gè)呢？因?yàn)槊看胃聝蓚€(gè)參數(shù)镇匀，才能確保約束條件成立照藻。而當(dāng)我們僅僅只是修改一個(gè)時(shí)，那么就將違背這個(gè)約束條件了汗侵。

據(jù)SMO的思想幸缕，我們不妨把目標(biāo)函數(shù)中的單獨(dú)拎出來(lái)，如下：

image

注意：因?yàn)槲覀兊?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=W(%5Calpha_1%2C%5Calpha_2)" alt="W(\alpha_1,\alpha_2)" mathimg="1">僅僅只是對(duì)作為參數(shù)发乔，而只是作為一個(gè)參數(shù)而存在。還有一點(diǎn)需要注意的是雪猪，因?yàn)槲覀兪嵌诸悊?wèn)題栏尚，且樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)簽為非1即-1，所以只恨，這個(gè)在化簡(jiǎn)過(guò)程中需要用到译仗。此時(shí)我們得到關(guān)于的目標(biāo)函數(shù)為：

我們知道對(duì)于這個(gè)式子是有一個(gè)約束條件的抬虽，我們可以根據(jù)這個(gè)用來(lái)表示（注意：），如下：

通過(guò)上式纵菌，用來(lái)表示阐污，我們不妨將帶到中，得到一個(gè)只關(guān)于的式子：

此時(shí)的僅僅只是關(guān)于的函數(shù)咱圆，我們將對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)笛辟，并令導(dǎo)數(shù)為0：

image

image

image

上述就是SMO中限制其中兩個(gè)變量的推到過(guò)程的推到過(guò)程（公式太多，過(guò)程有點(diǎn)復(fù)雜闷堡，確實(shí)不方便使用Latex語(yǔ)法隘膘，不過(guò)過(guò)程都已經(jīng)寫(xiě)的很詳細(xì)了疑故，還是需要靜下心來(lái)慢慢手動(dòng)推導(dǎo)的）下面總結(jié)一下上述SMO算法的過(guò)程吧：

前面我們不是得到了僅僅關(guān)于為變量的么杠览，也就是說(shuō)此時(shí)的未知數(shù)只有一個(gè)，我們要求的最值應(yīng)該怎么求呢纵势？當(dāng)然是對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)咯踱阿，然后對(duì)導(dǎo)數(shù)為0，即可解出取最值時(shí)候的钦铁，整理之后得到如下式子：

此時(shí)软舌，我們可以發(fā)現(xiàn)除了數(shù)據(jù)樣本相關(guān)信息和之外，還有的存在牛曹，而我們前面也又說(shuō)到佛点，SMO算法本身是一個(gè)不斷迭代更新的過(guò)程，我們需要的是可以通過(guò)的更新之前的來(lái)修改黎比，從而得到一個(gè)新的超营，我們不妨令新的為、舊的為阅虫。而我們知道舊的之間需要滿足一個(gè)限制條件：

所以演闭，我們重新將代回到式，用來(lái)代替米碰，(要時(shí)刻注意：)得到：

之后我們通過(guò)前面拉格朗日得到的關(guān)系式，用來(lái)代替（4-10）后面的兩個(gè)級(jí)數(shù)吕座，整理最終得到：

PS：關(guān)于是什么吴趴，請(qǐng)見(jiàn)上圖中的內(nèi)容。

通過(guò)如上式子篷帅，我們就能求得更新之后的拴泌，而SMO算法的核心在于兩兩不斷的更新迭代，所以最終我們會(huì)得到惊橱，每個(gè)樣本都會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)，而前面我們也有說(shuō)過(guò)税朴，決策面最終只會(huì)與支持向量有關(guān)回季，而與非支持向量的樣本無(wú)關(guān)，所以大多數(shù)的都等于0正林，只有少數(shù)為非0泡一。如此一來(lái)，我們就能求解得到向量：觅廓，隨后鼻忠，我們就能通過(guò)就能求得參數(shù)：

還有一點(diǎn)需要注意的是醉拓，上述過(guò)程都是默認(rèn)所有樣本數(shù)據(jù)都是線性可分的裳朋，也就是說(shuō)沒(méi)有一個(gè)樣本會(huì)被誤分類。但這只是理想狀態(tài)下，而實(shí)際不免會(huì)有個(gè)別數(shù)據(jù)不得不被誤分類屹堰，這時(shí)我們需要定義懲罰參數(shù)和容錯(cuò)率涵叮，而容錯(cuò)率是用來(lái)不斷優(yōu)化的萌踱，主要通過(guò)實(shí)際值與真實(shí)值得到厌漂。而懲罰參數(shù)我們定為，而要想成功更新得到烧栋，則需要確定的范圍写妥。對(duì)此，我們不妨定義如下：

而我們知道：

綜合上式劲弦，可以確定的范圍：

而這個(gè)在不同情況下的的范圍，我們會(huì)在下面實(shí)際編程的時(shí)候需要用到邑跪，主要是用來(lái)更新值次坡。

接下來(lái)，就是更新值了画畅。前面我們已經(jīng)定義了懲罰參數(shù)砸琅，且，此時(shí)通過(guò)更新得到的固然是相等的；但假如我們更新之后的不在這個(gè)區(qū)間之內(nèi)，則此時(shí)得到的是不相等的壶唤，所以我們需要確定在不同情況下更新之后的值：

前面，我們已經(jīng)得到：

因?yàn)槲覀兪谴蛩阃ㄟ^(guò)的值來(lái)得到更新之后的闸盔，所以把單獨(dú)拎出來(lái)琳省，得到：

同時(shí)迎吵，因?yàn)樯鲜鲋械募?jí)數(shù)形式可以使用來(lái)表示，所以整理之后得：

同理针贬，可以得到：

當(dāng)更新之后的都有效的時(shí)候，即在區(qū)間之內(nèi)時(shí)桦他，此時(shí)蔫巩，而在不滿足上述條件的時(shí)候，我們更新之后的取的均值瞬铸，即：

如此一來(lái)批幌，我們就已經(jīng)完成了SMO算法的流程础锐，該有的參數(shù)都已經(jīng)求解出來(lái)了嗓节。

說(shuō)實(shí)話，寫(xiě)到這皆警，Taoye的確有點(diǎn)累了拦宣，腦細(xì)胞也嚴(yán)重不足了，但為了各位“老婆們”的正常閱讀信姓，還是得繼續(xù)寫(xiě)下去才行鸵隧。

下面，我們就通過(guò)編程來(lái)實(shí)現(xiàn)線性SVM算法吧Ｒ馔啤（本次手撕SVM的數(shù)據(jù)集依然采用我們前面所隨機(jī)創(chuàng)建的）

五豆瘫、編程手撕線性SVM

在前面，我們其實(shí)已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了線性SVM的分類菊值，只不過(guò)那個(gè)時(shí)候使用的是sklearn內(nèi)置的接口外驱。但既然是手撕SVM，當(dāng)然是需要自己來(lái)實(shí)現(xiàn)這一功能的腻窒。

在這里需要提前說(shuō)明的是昵宇，上述代碼大量使用到了NumPy操作，關(guān)于NumPy的使用儿子，可自行參考之前寫(xiě)的一篇文章：print( "Hello瓦哎，NumPy！" )

訓(xùn)練SVM模型，沒(méi)數(shù)據(jù)集可不行蒋譬，本次手撕SVM的數(shù)據(jù)集依然采用我們前面所隨機(jī)創(chuàng)建割岛，對(duì)此，我們定義一個(gè)etablish_data方法來(lái)隨機(jī)創(chuàng)建一個(gè)SVM二分類數(shù)據(jù)集：

"""
    Author: Taoye
    微信公眾號(hào): 玩世不恭的Coder
    Explain: 用于生成訓(xùn)練數(shù)據(jù)集
    Parameters:
        data_number: 樣本數(shù)據(jù)數(shù)目
    Return:
        x_data: 數(shù)據(jù)樣本的屬性矩陣
        y_label: 樣本屬性所對(duì)應(yīng)的標(biāo)簽
"""
def etablish_data(data_number):
    x_data = np.concatenate((np.add(np.random.randn(data_number, 2), [3, 3]),       
                             np.subtract(np.random.randn(data_number, 2), [3, 3])),
                             axis = 0)      # random隨機(jī)生成數(shù)據(jù)犯助，+ -3達(dá)到不同類別數(shù)據(jù)分隔的目的 
    temp_data = np.zeros([data_number])
    temp_data.fill(-1)
    y_label = np.concatenate((temp_data, np.ones([data_number])), axis = 0)
    return x_data, y_label

前面蜂桶，我們?cè)谥v解SMO算法的時(shí)候提到，每次都會(huì)選取隨機(jī)兩個(gè)來(lái)進(jìn)行更新也切，這里我們不妨將第一個(gè)通過(guò)遍歷的形式逐個(gè)選取扑媚，而另一個(gè)則通過(guò)np.random模塊來(lái)隨機(jī)選取，這里需要主要的是雷恃，第二個(gè)選取的不能與第一個(gè)相同疆股。為此，我們定義一個(gè)方法random_select_alpha_j來(lái)隨機(jī)選取第二個(gè)（第一個(gè)已經(jīng)通過(guò)遍歷得到）:

"""
    Author: Taoye
    微信公眾號(hào): 玩世不恭的Coder
    Explain: 隨機(jī)選取alpha_j
    Parameters:
        alpha_i_index: 第一個(gè)alpha的索引
        alpha_number: alpha總數(shù)目
    Return:
        alpha_j_index: 第二個(gè)alpha的索引
"""
def random_select_alpha_j(alpha_i_index, alpha_number):
    alpha_j_index = alpha_i_index
    while alpha_j_index == alpha_i_index:
        alpha_j_index = np.random.randint(0, alpha_number)
    return alpha_j_index

我們知道倒槐，每一個(gè)更新之后的都需要滿足旬痹。為此，我們定義一個(gè)方法modify_alpha來(lái)確定在區(qū)間之內(nèi)：

"""
    Author: Taoye
    微信公眾號(hào): 玩世不恭的Coder
    Explain: 使得alpha_j在[L, R]區(qū)間之內(nèi)
    Parameters:
        alpha_j: 原始alpha_j
        L: 左邊界值
        R: 右邊界值
    Return:
        L,R,alpha_j: 修改之后的alpha_j
"""
def modify_alpha(alpha_j, L, R):
    if alpha_j < L: return L
    if alpha_j > R: return R
    return alpha_j

我們模型訓(xùn)練是一個(gè)迭代更新的過(guò)程讨越，而更新的前提是誤差比較大两残，所以我們需要定義一個(gè)方法calc_E_i來(lái)計(jì)算誤差，但誤差又怎么計(jì)算呢把跨？這一點(diǎn)其實(shí)我們?cè)谧铋_(kāi)始就已經(jīng)提到過(guò)了人弓，誤差是通過(guò)模型計(jì)算出來(lái)的值與其真實(shí)值最差得到，也就是前面提到的（下面的推導(dǎo)務(wù)必要理解清楚着逐，矩陣變換要十分熟悉）：

根據(jù)上述誤差的推導(dǎo)崔赌，我們現(xiàn)在就可以通過(guò)代碼來(lái)計(jì)算誤差了（上面的推導(dǎo)務(wù)必要理解清楚，矩陣變換要十分熟悉耸别，才能理解下面代碼所表達(dá)的含義）：

"""
    Author: Taoye
    微信公眾號(hào): 玩世不恭的Coder
    Explain: 計(jì)算誤差并返回
"""
def calc_E(alphas, y_lable, x_data, b, i):
    f_x_i = float(np.multiply(alphas, y_lable).T * (x_data * x_data[i, :].T)) + b
    return f_x_i - float(y_label[i])

同樣的健芭，我們把其他一些用于整體代換的單獨(dú)拎出來(lái)，并通過(guò)方法進(jìn)行返回秀姐，除了上述的誤差之外慈迈，還有，相關(guān)推導(dǎo)過(guò)程讀者可自行根據(jù)上述來(lái)進(jìn)行（一定要會(huì)）省有，相關(guān)公式和代碼如下：

"""
    Author: Taoye
    微信公眾號(hào): 玩世不恭的Coder
    Explain: 計(jì)算eta并返回
"""
def calc_eta(x_data, i, j):
    eta = 2.0 * x_data[i, :] * x_data[j, :].T \
            - x_data[i, :] * x_data[i, :].T \
            - x_data[j, :] * x_data[j,:].T
    return eta
    
"""
    Author: Taoye
    微信公眾號(hào): 玩世不恭的Coder
    Explain: 計(jì)算b1, b2并返回
"""
def calc_b(b, x_data, y_label, alphas, alpha_i_old, alpha_j_old, E_i, E_j, i, j):
    b1 = b - E_i \
         - y_label[i] * (alphas[i] - alpha_i_old) * x_data[i, :] * x_data[i, :].T \
         - y_label[j] * (alphas[j] - alpha_j_old) * x_data[i, :] * x_data[j, :].T
    b2 = b - E_j \
         - y_label[i] * (alphas[i] - alpha_i_old) * x_data[i, :] * x_data[j, :].T \
         - y_label[j] * (alphas[j] - alpha_j_old) * x_data[j, :] * x_data[j, :].T
    return b1, b2

OK痒留，準(zhǔn)備工作已經(jīng)完成了，接下來(lái)是時(shí)候放出我們的核心SMO算法的代碼了锥咸，大家可根據(jù)前面的SMO思想來(lái)理解狭瞎，下面代碼也會(huì)放出詳細(xì)的注釋來(lái)幫助大家理解：

"""
    Author: Taoye
    微信公眾號(hào): 玩世不恭的Coder
    Explain: SMO核心算法，求得b和laphas向量
    Parameters:
        x_data: 樣本屬性特征矩陣
        y_label: 屬性特征對(duì)應(yīng)的標(biāo)簽
        C：懲罰參數(shù)
        toler：容錯(cuò)率
        max_iter：迭代次數(shù)
    Return:
        b: 決策面的參數(shù)b
        alphas：獲取決策面參數(shù)w所需要的alphas
"""
def linear_smo(x_data, y_label, C, toler, max_iter):
    x_data = np.mat(x_data); y_label = np.mat(y_label).T     # 將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為矩陣類型
    m, n = x_data.shape                                      # 得到數(shù)據(jù)樣本的shape信息
    b, alphas, iter_num = 0, np.mat(np.zeros((m, 1))), 0     # 初始化參數(shù)b和alphas和迭代次數(shù)
    while (iter_num < max_iter):                            # 最多迭代max_iter次
        alpha_optimization_num = 0   # 定義優(yōu)化次數(shù)
        for i in range(m):          # 遍歷每個(gè)樣本搏予，一次選取一個(gè)樣本計(jì)算誤差
            E_i = calc_E(alphas, y_label, x_data, b, i)      # 樣本i的誤差計(jì)算
            if ((y_label[i] * E_i < -toler) and (alphas[i] < C)) or ((y_label[i] * E_i > toler) and (alphas[i] > 0)):
                j = random_select_alpha_j(i, m)              # 隨機(jī)選取一個(gè)不與i重復(fù)j
                E_j = calc_E(alphas, y_label, x_data, b, j)  # 計(jì)算樣本j的誤差
                alpha_i_old = alphas[i].copy(); alpha_j_old = alphas[j].copy();
                if (y_label[i] != y_label[j]):               # 重新規(guī)范alphas的左右區(qū)間
                    L, R = max(0, alphas[j] - alphas[i]), min(C, C + alphas[j] - alphas[i])
                else:
                    L, R = max(0, alphas[j] + alphas[i] - C), min(C, alphas[j] + alphas[i])
                if L == R: print("L==R"); continue          # L==R時(shí)選取下一個(gè)樣本
                eta = calc_eta(x_data, i, j)                  # 計(jì)算eta值
                if eta >= 0: print("eta>=0"); continue
                alphas[j] -= y_label[j] * (E_i - E_j) / eta
                alphas[j] = modify_alpha(alphas[j], L, R)     # 修改alpha[j]
                if (abs(alphas[j] - alpha_j_old) < 0.00001): print("alpha_j更改太小"); continue
                alphas[i] += y_label[j] * y_label[i] * (alpha_j_old - alphas[j])    # 修改alphas[i]
                b1, b2= calc_b(b, x_data, y_label, alphas, alpha_i_old, alpha_j_old, E_i, E_j, i, j)    # 計(jì)算b值
                if (0 < alphas[i]) and (C > alphas[i]): b = b1
                elif (0 < alphas[j]) and (C > alphas[j]): b = b2
                else: b = (b1 + b2)/2.0
                alpha_optimization_num += 1
                print("迭代次數(shù):%d熊锭，樣本:%d，alphas向量的優(yōu)化次數(shù):%d" % (iter_num, i+1, alpha_optimization_num))
        if (alpha_optimization_num == 0): iter_num += 1
        else: iter_num = 0
        print("迭代次數(shù):%d" % iter_num)
    return b, alphas

上述SMO核心方法，我們可以通過(guò)定義輸入樣本的屬性特征碗殷、標(biāo)簽以及迭代次數(shù)等來(lái)得到和精绎。隨后，我們可以通過(guò)與之間的關(guān)系來(lái)的計(jì)算出锌妻，關(guān)系和相關(guān)代碼如下所示：

"""
    Author: Taoye
    微信公眾號(hào): 玩世不恭的Coder
    Explain: 根據(jù)公式計(jì)算出w權(quán)值向量
    Parameters:
        x_data: 樣本屬性特征矩陣
        y_label: 屬性特征對(duì)應(yīng)的標(biāo)簽
        alphas：linear_smo方法所返回的alphas向量
    Return:
        w: 決策面的參數(shù)w
"""
def calc_w(x_data, y_label, alphas):
    x_data, y_label, alphas = np.array(x_data), np.array(y_label), np.array(alphas)
    return np.dot((np.tile(y_label.reshape(1, -1).T, (1, 2)) * x_data).T, alphas).tolist()

好的代乃，有了，也有了仿粹，該有的都有了搁吓，接下來(lái)就是驗(yàn)證模型效果了，這里我們使用Matplotlib來(lái)繪制吭历，定義一個(gè)plot_result方法來(lái)展示模型分類結(jié)果：

import pylab as pl

"""
    Author: Taoye
    微信公眾號(hào): 玩世不恭的Coder
    Explain: 繪制出分類結(jié)果
    Parameters:
        x_data: 樣本屬性特征矩陣
        y_label: 屬性特征對(duì)應(yīng)的標(biāo)簽
        w：決策面的w參數(shù)
        b：決策面的參數(shù)b
"""
def plot_result(x_data, y_label, w, b):
    data_number, _ = x_data.shape; middle = int(data_number / 2)
    plt.scatter(x_data[:, 0], x_data[:, 1], c = y_label, cmap = pl.cm.Paired)
    x1, x2 = np.max(x_data), np.min(x_data)
    w1, w2 = w[0][0], w[1][0]
    y1, y2 = (-b - w1 * x1) / w2, (-b - w1 * x2) / w2
    plt.plot([float(x1), float(x2)], [float(y1), float(y2)])    # 繪制決策面
    for index, alpha in enumerate(alphas):
        if alpha > 0:
            b_temp = - w1 * x_data[index][0] - w2 * x_data[index][1]
            y1_temp, y2_temp = (-b_temp - w1 * x1) / w2, (-b_temp - w1 * x2) / w2
            plt.plot([float(x1), float(x2)], [float(y1_temp), float(y2_temp)], "k--")    # 繪制支持向量
            plt.scatter(x_data[index][0], x_data[index][1], s=150, c='none', alpha=0.7, linewidth=2, edgecolor='red')   # 圈出支持向量
    plt.show()

if __name__ == "__main__":
    x_data, y_label = etablish_data(50)
    b, alphas = linear_smo(x_data, y_label, 0.8, 0.0001, 40)
    w = calc_w(x_data, y_label, alphas)
    plot_result(x_data, y_label, w, b)

繪制分類結(jié)果

完整代碼：

import numpy as np
import pylab as pl
from matplotlib import pyplot as plt

class TearLinearSVM:
    def __init__(self):
        pass

    """
        Author: Taoye
        微信公眾號(hào): 玩世不恭的Coder
        Explain: 用于生成訓(xùn)練數(shù)據(jù)集
        Parameters:
            data_number: 樣本數(shù)據(jù)數(shù)目
        Return:
            x_data: 數(shù)據(jù)樣本的屬性矩陣
            y_label: 樣本屬性所對(duì)應(yīng)的標(biāo)簽
    """
    def etablish_data(self, data_number):
        x_data = np.concatenate((np.add(np.random.randn(data_number, 2), [3, 3]),       
                                 np.subtract(np.random.randn(data_number, 2), [3, 3])),
                                 axis = 0)      # random隨機(jī)生成數(shù)據(jù)堕仔，+ -3達(dá)到不同類別數(shù)據(jù)分隔的目的 
        temp_data = np.zeros([data_number])
        temp_data.fill(-1)
        y_label = np.concatenate((temp_data, np.ones([data_number])), axis = 0)
        return x_data, y_label

    """
        Author: Taoye
        微信公眾號(hào): 玩世不恭的Coder
        Explain: 隨機(jī)選取alpha_j
        Parameters:
            alpha_i_index: 第一個(gè)alpha的索引
            alpha_number: alpha總數(shù)目
        Return:
            alpha_j_index: 第二個(gè)alpha的索引
    """
    def random_select_alpha_j(self, alpha_i_index, alpha_number):
        alpha_j_index = alpha_i_index
        while alpha_j_index == alpha_i_index:
            alpha_j_index = np.random.randint(0, alpha_number)
        return alpha_j_index

    """
        Author: Taoye
        微信公眾號(hào): 玩世不恭的Coder
        Explain: 使得alpha_j在[L, R]區(qū)間之內(nèi)
        Parameters:
            alpha_j: 原始alpha_j
            L: 左邊界值
            R: 右邊界值
        Return:
            L,R,alpha_j: 修改之后的alpha_j
    """
    def modify_alpha(self, alpha_j, L, R):
        if alpha_j < L: return L
        if alpha_j > R: return R
        return alpha_j

    """
        Author: Taoye
        微信公眾號(hào): 玩世不恭的Coder
        Explain: 計(jì)算誤差并返回
    """
    def calc_E(self, alphas, y_lable, x_data, b, i):
        f_x_i = float(np.dot(np.multiply(alphas, y_lable).T, x_data * x_data[i, :].T)) + b
        return f_x_i - float(y_label[i])

    """
        Author: Taoye
        微信公眾號(hào): 玩世不恭的Coder
        Explain: 計(jì)算eta并返回
    """
    def calc_eta(self, x_data, i, j):
        eta = 2.0 * x_data[i, :] * x_data[j, :].T \
                - x_data[i, :] * x_data[i, :].T \
                - x_data[j, :] * x_data[j,:].T
        return eta

    """
        Author: Taoye
        微信公眾號(hào): 玩世不恭的Coder
        Explain: 計(jì)算b1, b2并返回
    """
    def calc_b(self, b, x_data, y_label, alphas, alpha_i_old, alpha_j_old, E_i, E_j, i, j):
        b1 = b - E_i \
             - y_label[i] * (alphas[i] - alpha_i_old) * x_data[i, :] * x_data[i, :].T \
             - y_label[j] * (alphas[j] - alpha_j_old) * x_data[i, :] * x_data[j, :].T
        b2 = b - E_j \
             - y_label[i] * (alphas[i] - alpha_i_old) * x_data[i, :] * x_data[j, :].T \
             - y_label[j] * (alphas[j] - alpha_j_old) * x_data[j, :] * x_data[j, :].T
        return b1, b2

    """
        Author: Taoye
        微信公眾號(hào): 玩世不恭的Coder
        Explain: SMO核心算法，求得b和laphas向量
        Parameters:
            x_data: 樣本屬性特征矩陣
            y_label: 屬性特征對(duì)應(yīng)的標(biāo)簽
            C：懲罰參數(shù)
            toler：容錯(cuò)率
            max_iter：迭代次數(shù)
        Return:
            b: 決策面的參數(shù)b
            alphas：獲取決策面參數(shù)w所需要的alphas
    """
    def linear_smo(self, x_data, y_label, C, toler, max_iter):
        x_data = np.mat(x_data); y_label = np.mat(y_label).T     # 將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為矩陣類型
        m, n = x_data.shape                                      # 得到數(shù)據(jù)樣本的shape信息
        b, alphas, iter_num = 0, np.mat(np.zeros((m, 1))), 0     # 初始化參數(shù)b和alphas和迭代次數(shù)
        while (iter_num < max_iter):                            # 最多迭代max_iter次
            alpha_optimization_num = 0   # 定義優(yōu)化次數(shù)
            for i in range(m):          # 遍歷每個(gè)樣本晌区，一次選取一個(gè)樣本計(jì)算誤差
                E_i = self.calc_E(alphas, y_label, x_data, b, i)      # 樣本i的誤差計(jì)算
                if ((y_label[i] * E_i < -toler) and (alphas[i] < C)) or ((y_label[i] * E_i > toler) and (alphas[i] > 0)):
                    j = self.random_select_alpha_j(i, m)              # 隨機(jī)選取一個(gè)不與i重復(fù)j
                    E_j = self.calc_E(alphas, y_label, x_data, b, j)  # 計(jì)算樣本j的誤差
                    alpha_i_old = alphas[i].copy(); alpha_j_old = alphas[j].copy();
                    if (y_label[i] != y_label[j]):               # 重新規(guī)范alphas的左右區(qū)間
                        L, R = max(0, alphas[j] - alphas[i]), min(C, C + alphas[j] - alphas[i])
                    else:
                        L, R = max(0, alphas[j] + alphas[i] - C), min(C, alphas[j] + alphas[i])
                    if L == R: print("L==R"); continue          # L==R時(shí)選取下一個(gè)樣本
                    eta = self.calc_eta(x_data, i, j)                  # 計(jì)算eta值
                    if eta >= 0: print("eta>=0"); continue
                    alphas[j] -= y_label[j] * (E_i - E_j) / eta
                    alphas[j] = self.modify_alpha(alphas[j], L, R)     # 修改alpha[j]
                    if (abs(alphas[j] - alpha_j_old) < 0.00001): print("alpha_j更改太小"); continue
                    alphas[i] += y_label[j] * y_label[i] * (alpha_j_old - alphas[j])    # 修改alphas[i]
                    b1, b2= self.calc_b(b, x_data, y_label, alphas, alpha_i_old, alpha_j_old, E_i, E_j, i, j)    # 計(jì)算b值
                    if (0 < alphas[i]) and (C > alphas[i]): b = b1
                    elif (0 < alphas[j]) and (C > alphas[j]): b = b2
                    else: b = (b1 + b2)/2.0
                    alpha_optimization_num += 1
                    print("迭代次數(shù):%d摩骨，樣本:%d，alphas向量的優(yōu)化次數(shù):%d" % (iter_num, i+1, alpha_optimization_num))
            if (alpha_optimization_num == 0): iter_num += 1
            else: iter_num = 0
            print("迭代次數(shù):%d" % iter_num)
        return b, alphas

    """
        Author: Taoye
        微信公眾號(hào): 玩世不恭的Coder
        Explain: 根據(jù)公式計(jì)算出w權(quán)值向量
        Parameters:
            x_data: 樣本屬性特征矩陣
            y_label: 屬性特征對(duì)應(yīng)的標(biāo)簽
            alphas：linear_smo方法所返回的alphas向量
        Return:
            w: 決策面的參數(shù)w
    """
    def calc_w(self, x_data, y_label, alphas):
        x_data, y_label, alphas = np.array(x_data), np.array(y_label), np.array(alphas)
        return np.dot((np.tile(y_label.reshape(1, -1).T, (1, 2)) * x_data).T, alphas).tolist()

    """
        Author: Taoye
        微信公眾號(hào): 玩世不恭的Coder
        Explain: 繪制出分類結(jié)果
        Parameters:
            x_data: 樣本屬性特征矩陣
            y_label: 屬性特征對(duì)應(yīng)的標(biāo)簽
            w：決策面的w參數(shù)
            b：決策面的參數(shù)b
    """
    def plot_result(self, x_data, y_label, w, b):
        data_number, _ = x_data.shape; middle = int(data_number / 2)
        plt.scatter(x_data[:, 0], x_data[:, 1], c = y_label, cmap = pl.cm.Paired)
        x1, x2 = np.max(x_data), np.min(x_data)
        w1, w2 = w[0][0], w[1][0]
        y1, y2 = (-b - w1 * x1) / w2, (-b - w1 * x2) / w2
        plt.plot([float(x1), float(x2)], [float(y1), float(y2)])    # 繪制決策面
        
        for index, alpha in enumerate(alphas):
            if alpha > 0:
                b_temp = - w1 * x_data[index][0] - w2 * x_data[index][1]
                y1_temp, y2_temp = (-b_temp - w1 * x1) / w2, (-b_temp - w1 * x2) / w2
                plt.plot([float(x1), float(x2)], [float(y1_temp), float(y2_temp)], "k--")    # 繪制支持向量
                plt.scatter(x_data[index][0], x_data[index][1], s=150, c='none', alpha=0.7, linewidth=2, edgecolor='red')   # 圈出支持向量
        plt.show()

if __name__ == '__main__':
    linear_svm = TearLinearSVM()
    x_data, y_label = linear_svm.etablish_data(50)
    b, alphas = linear_svm.linear_smo(x_data, y_label, 0.8, 0.0001, 40)
    w = linear_svm.calc_w(x_data, y_label, alphas)
    linear_svm.plot_result(x_data, y_label, w, b)

呼呼呼朗若！可算是結(jié)束了恼五，做個(gè)小總結(jié)吧。

SVM是學(xué)習(xí)機(jī)器學(xué)習(xí)必然接觸到的一個(gè)重要算法哭懈，所以一定要對(duì)其內(nèi)在原理了解清楚灾馒，并不是說(shuō)一定要手撕SVM的完整代碼，但最起碼使用框架的時(shí)候要了解內(nèi)部都做了什么“小動(dòng)作”银伟，不要為了用而用你虹。

本文介紹了線性SVM的算法原理，主要分為了五個(gè)部分的內(nèi)容彤避。一、首先通過(guò)參考比較權(quán)威的書(shū)籍以及優(yōu)秀資料對(duì)SVM做了一個(gè)比較“良心”的介紹夯辖，讓讀者對(duì)SVM有一個(gè)比較宏觀的概念琉预，這小子（SVM）究竟是誰(shuí)？竟如此騷氣蒿褂，讓不少研究者拜倒其石榴裙下圆米。二、其次向讀者介紹了線性SVM以及最大間隔啄栓，這部分也是手撕SVM必須要掌握的一些基本概念娄帖，并且最終得到了SVM最初的優(yōu)化問(wèn)題。三昙楚、利用拉格朗日乘數(shù)法構(gòu)建最值問(wèn)題近速，將優(yōu)化問(wèn)題中的約束問(wèn)題集成到了目標(biāo)函數(shù)本身，之后利用拉格朗日的對(duì)偶性，將最初的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了內(nèi)層關(guān)于的最小值奖亚，外層關(guān)于的對(duì)偶問(wèn)題。四析砸、對(duì)偶問(wèn)題的求解昔字，這也是SVM算法的最核心內(nèi)容，先是對(duì)內(nèi)層關(guān)于的函數(shù)求導(dǎo)作郭，然后代回原式，從而消掉參數(shù)弦疮，只留下未知的所坯，隨后利用SMO算法求得迭代更新之后的。五挂捅、手撕線性SVM的代碼實(shí)現(xiàn)芹助，結(jié)果證明，分類的效果還不錯(cuò)闲先，這是個(gè)好家伙Ｗ赐痢！伺糠！

說(shuō)實(shí)話蒙谓，這篇文章有點(diǎn)肝，也是挪用了不少其他任務(wù)的時(shí)間训桶。

這篇文章僅僅只是手撕線性SVM累驮，也就是說(shuō)大多數(shù)據(jù)樣本都可以被正確分類，但在實(shí)際中舵揭，許多的數(shù)據(jù)集都是線性不可分的谤专，這個(gè)時(shí)候可能就要引入核函數(shù)的概念了。關(guān)于非線性SVM午绳，我們留在之后再來(lái)肝置侍。。拦焚。

本文參考了不少書(shū)籍資料以及許多大佬的技術(shù)文章蜡坊，行文風(fēng)格盡可能做到了通俗易懂，但其中涉及到的數(shù)學(xué)公式在所難免赎败，還請(qǐng)諸讀者靜下心來(lái)慢慢品嘗秕衙。由于個(gè)人水平有限，才疏學(xué)淺僵刮，對(duì)于SVM也只是略知皮毛据忘，可能文中有不少表述稍有欠妥鹦牛、有不少錯(cuò)誤或不當(dāng)之處，還請(qǐng)諸君批評(píng)指正若河，有任何問(wèn)題歡迎在下方留言能岩。

我是Taoye，愛(ài)專研萧福，愛(ài)分享拉鹃，熱衷于各種技術(shù)，學(xué)習(xí)之余喜歡下象棋鲫忍、聽(tīng)音樂(lè)膏燕、聊動(dòng)漫，希望借此一畝三分地記錄自己的成長(zhǎng)過(guò)程以及生活點(diǎn)滴悟民，也希望能結(jié)實(shí)更多志同道合的圈內(nèi)朋友坝辫，更多內(nèi)容歡迎來(lái)訪微信公主號(hào)：玩世不恭的Coder

參考資料：

<font style="font-size:13px;opacity:0.7">[1] 《機(jī)器學(xué)習(xí)實(shí)戰(zhàn)》：Peter Harrington 人民郵電出版社</font>
<font style="font-size:13px;opacity:0.7">[2] 《統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法》：李航 第二版 清華大學(xué)出版社</font>
<font style="font-size:13px;opacity:0.7">[3] 《機(jī)器學(xué)習(xí)》：周志華 清華大學(xué)出版社</font>
<font style="font-size:13px;opacity:0.7">[4] 《微積分方法》：李億民 中國(guó)海洋出版社</font>
<font style="font-size:13px;opacity:0.7">[5] Support Vector Machines explained well（翻墻）：http://bytesizebio.net/2014/02/05/support-vector-machines-explained-well/</font>
<font style="font-size:13px;opacity:0.7">[6] 關(guān)于更為直觀認(rèn)識(shí)SVM的video（翻墻）：https://www.youtube.com/watch?v=3liCbRZPrZA</font>
<font style="font-size:13px;opacity:0.7">[7] 支持向量機(jī)（SVM）是什么意思？：https://www.zhihu.com/question/21094489/answer/86273196</font>
<font style="font-size:13px;opacity:0.7">[8] 看了這篇文章你還不懂SVM你就來(lái)打我：https://zhuanlan.zhihu.com/p/49331510</font>
<font style="font-size:13px;opacity:0.7">[9] 拉格朗日乘數(shù)法：https://www.cnblogs.com/maybe2030/p/4946256.html</font>

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