要點(diǎn)一：從直方圖到概率密度圖

1才菠、直方圖 histogram

• 直方圖是一種直觀的，對數(shù)據(jù)分布情況的圖形表示烙丛，如下圖加入為某校隨機(jī)抽取50位教師平均年齡

  
  
  histogram
• 如上么伯，直方圖最主要的是矩形bins寬度的設(shè)置，對應(yīng)的高度即代表數(shù)據(jù)在bins范圍內(nèi)的分布情況绝骚。
• 直方圖很好地反映了這組數(shù)據(jù)的分布情況，但換一組同類型數(shù)據(jù)（再抽50位老師）直方圖很大可能存在差異祠够，但大體分布情況相同压汪。

針對分類變量的分布情況觀察一般采用條形圖bar chart(可認(rèn)為等同于柱狀圖 column chart)展現(xiàn)

2、概率密度函數(shù) probability distribution function哪审，PDF６昶恰虑瀑！劃重點(diǎn)

• 根據(jù)直方圖分布湿滓，想象下，我們把bins寬度盡可能變猩喙贰（實(shí)際上難以實(shí)現(xiàn)）叽奥，然后嘗試用一條曲線進(jìn)行擬合。

  
  
  fit example1
• 擬合分布情況曲線最主要的目的就是推而廣之痛侍，從而描述/預(yù)測從總體中任意抽樣樣本分布情況朝氓。
• 簡單來說魔市，概率密度函數(shù)就是這條曲線（y軸為概率變換，對應(yīng)縱坐標(biāo)除以數(shù)據(jù)總數(shù)）赵哲。用來描述一組數(shù)據(jù)范圍中待德，隨機(jī)變量在某個確定的取值點(diǎn)附近的可能性的函數(shù)。

概率密度函數(shù)可理解通過復(fù)雜的方程式里的關(guān)鍵的若干個參數(shù)約定曲線的形狀與位置

• 一般用f(x)表示

  
  
  fit example2
• 通常所說的正態(tài)分布枫夺、二項(xiàng)分布将宪、泊松分布等都是概率密度函數(shù)(也被稱為概率分布函數(shù))，最主要的特征就是曲線下面積為1橡庞，即總概率一定為1

• 拿到一組數(shù)據(jù)后较坛，一般首先繪制數(shù)據(jù)的直方圖與密度圖（根據(jù)數(shù)據(jù)）。然后嘗試尋找最合適的扒最，已知公式的概率密度函數(shù)（形狀固定）丑勤。而第二步往往就要基于足夠的統(tǒng)計學(xué)知識的積累。

  
  
  6 Common Probability Distributions

3吧趣、累計分布函數(shù) cumulative distribution function法竞，CDF

• 一般用F(x)表示

• CDF：結(jié)合直觀圖形來看，就是用來描述在x點(diǎn)左側(cè)事件發(fā)生的總和强挫，所以從左到右爪喘，點(diǎn)的縱坐標(biāo)從0到1。

  
  
  右圖CDF

• 從數(shù)學(xué)角度來看纠拔，PDF是CDF的微分(求導(dǎo)：CDF點(diǎn)的斜率值為PDF對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo))秉剑；
  CDF是PDF的積分(面積：PDF點(diǎn)至左側(cè)的線下面積為CDF對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo))

  
  
  CDF & PDF

以上重點(diǎn)還是介紹概率分布函數(shù)。主要目的是使用一條已知參數(shù)(確定分布)限制的曲線代表數(shù)據(jù)分布情況稠诲，用于后續(xù)深入的預(yù)測等研究侦鹏。在下面結(jié)合最常見的概率分布模型說明確定分布的意義。

要點(diǎn)二：正態(tài)分布 Normal distribution

也稱為高斯分布（Gaussian distribution）

1臀叙、基本特征 basic feature

函數(shù)

• 作為一個函數(shù)密度函數(shù)略水，其函數(shù)方程如下圖

  
  
  f(x)

• 而一般只關(guān)注兩個參數(shù)均值μ、標(biāo)準(zhǔn)差σ劝萤，因此常簡記為下圖形式

  
  
  f(x)

一般概率密度函數(shù)都采用這種簡記方法渊涝，例如泊松分布poisson distribution：X ~ P(λ)

曲線

• 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)描述了圍繞均值波動的一組數(shù)據(jù)分布情況，分布曲線呈鐘形床嫌，因此人們又經(jīng)常稱之為鐘形曲線跨释。

• 正態(tài)分布描述的分布情況確實(shí)是實(shí)際生活中最常見的一種分布，故稱為normal厌处，例如一般情況下的大學(xué)生身高情況鳖谈，全班考試成績等

  
  
  Normal Distribution

參數(shù)

• 均值μ：位置參數(shù)，決定了曲線的基于X軸的位置阔涉；

• 標(biāo)準(zhǔn)差σ：形狀參數(shù)缆娃，想象下標(biāo)準(zhǔn)差越小捷绒，即數(shù)據(jù)變異越少，數(shù)據(jù)越集中在中間的均值贯要，曲線就越瘦高暖侨。

  
  
  Normal Distribution Parameter

許多概率分布都有類似性質(zhì)的參數(shù)，有的只有形狀參數(shù)

分布規(guī)律

經(jīng)前人總結(jié)一組符合正態(tài)分布的數(shù)據(jù)分布曲線線下面積：以均值為中心崇渗，

• ±1σ面積為68.2%它碎；
• ±2σ面積為95.4%
• ±3σ面積為99.7%

分布規(guī)律

當(dāng)從均數(shù)往左右各1.96倍標(biāo)準(zhǔn)差時，左右兩側(cè)的面積之和為0.05%显押，即在一組符合正態(tài)分布的數(shù)據(jù)中(假設(shè)有100個)扳肛，只有5個分布在該區(qū)域。這里先記住它乘碑，之后再學(xué)習(xí)P值時挖息，還會用到這個知識點(diǎn)。

2兽肤、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 Standardized Normal Distribution

特征

• 簡單來說均值為0套腹，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布。

• 其特殊之處在于：探尋正態(tài)分布的規(guī)律更加簡單资铡。
  均值為0电禀，左右對應(yīng)的x橫坐標(biāo)絕對值相等；
  標(biāo)準(zhǔn)差為1笤休，橫坐標(biāo)1,2,3則直接表示1σ尖飞、2σ、3σ店雅，例如可以說標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分部總政基，±2范圍內(nèi)面積為95.4%

  
  
  standardized mormal distribution

Z值轉(zhuǎn)換

• 任何一個正態(tài)分布都可以轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，方法就是計算Z值

  
  
  Z score

• 從公式來說：計算正態(tài)分布的數(shù)據(jù)與均值的差值闹啦，再與標(biāo)準(zhǔn)差的比沮明。它反映了某個值x偏離均數(shù)μ的標(biāo)準(zhǔn)差倍數(shù)。

  
  
  transformation

• 將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布后窍奋，觀察數(shù)據(jù)分布位置更簡單荐健。例如若Z值大于1.96(<-1.96)，則可以判斷分布區(qū)域面積
  大于0.025（兩側(cè)即0.05）琳袄。

  
  
  probability of Z score

經(jīng)常在統(tǒng)計檢驗(yàn)結(jié)果中看到Z值江场，即指代轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的結(jié)果。

3挚歧、中心極限定理central limit theorem扛稽，CLT

定義

假定有一個總體數(shù)據(jù)，如果從該總體中多次抽樣滑负，那么理論上在张，每次抽樣所得的統(tǒng)計量(如均數(shù))與總體參數(shù)應(yīng)該差別不大，大致圍繞在總體參數(shù)中心矮慕，并且呈正態(tài)分布帮匾。

central limit theorem

關(guān)鍵點(diǎn)

• 無論原總體數(shù)據(jù)是什么分布，多次抽樣的樣本統(tǒng)計量都呈正態(tài)分布痴鳄；
  注意是樣本統(tǒng)計量瘟斜，常見的就是均值。所以CLT描述的是統(tǒng)計量的分布痪寻，而不是原始數(shù)據(jù)的分布螺句。
• 抽樣的樣本量越大（一般樣本量大于30），越容易得到一個接近總體參數(shù)的統(tǒng)計量橡类。
  極端例子：把全部總體抽樣蛇尚，那么樣本統(tǒng)計量=總體統(tǒng)計量

4、由正態(tài)分布衍生的常見分布

這里簡單介紹下與正態(tài)分布有關(guān)的顾画，幾種常見分布取劫。在后面的統(tǒng)計方法中會經(jīng)常遇到。

4.1 t分布 t distribution

• 簡單理解：可以視為小樣本的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布研侣。
  對于一個符合正態(tài)分布的總體谱邪，抽樣樣本量大，即符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(Z值轉(zhuǎn)換后)庶诡；抽樣樣本量小時即符合t分布惦银；

抽樣樣本量的大小有時對于統(tǒng)計結(jié)果影響很大，例如在之后假設(shè)檢驗(yàn)的p值也十分受樣本量影響

• 如下圖末誓，t分布相對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來說璧函，更扁平。

• t分布的曲線形狀主要受自由度（樣本量-1）影響基显。自由度越小蘸吓，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布偏離就越大。
  此前人們總結(jié)：當(dāng)自由度=30時撩幽，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布就已經(jīng)十分接近了库继。

  
  
  t distribubtion
• 區(qū)別于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的Z score相對固定的含義，t分布的t值含義隨自由度變化而變化（計算公式不再記錄窜醉，在學(xué)習(xí)t檢驗(yàn)時再學(xué)習(xí)）
  例如n-1=5時宪萄，則右側(cè)2.5%面積對應(yīng)t值為2.57
  n-1=30時，則右側(cè)2.5%面積對應(yīng)t值為2.04榨惰，很接近1.96了
  更多可見前人以總結(jié)好的t分布表拜英，網(wǎng)上很容易搜到，例如

由于一般生物實(shí)驗(yàn)設(shè)計樣本數(shù)不會很多琅催，因此t值計算相對于z值更有意義居凶，也更常見虫给。

4.2 χ2分布（卡方分布）

• 簡單理解：假設(shè)一組數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布，那么轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布后侠碧，Z值的平方的分布情況就是自由度為1χ2分布抹估。

  
  
  χ2分布

• 根據(jù)上述解釋，卡方分的一個特點(diǎn)就是非負(fù)性弄兜。

• 若有n組獨(dú)立的药蜻、均符合正態(tài)分布的數(shù)據(jù)，經(jīng)Z值轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布√娑觯現(xiàn)從10組數(shù)據(jù)中分別抽取1個Z值语泽，令x=這10個Z值平方的和。重復(fù)抽取视卢、計算踱卵，得到一個新的x；一定次數(shù)后腾夯，則得到一組x數(shù)據(jù)颊埃，符合自由度為10的χ2分布。

  
  
  formula

• 如上蝶俱，卡方分布的參數(shù)為自由度班利。自由度越小，χ2越呈偏態(tài)分布榨呆；自由度越大罗标，χ2偏態(tài)減小，趨于正態(tài)分布积蜻。

• 因此不同自由度對應(yīng)0.05面積的χ2值也不同闯割。
  自由度=1，為3.84竿拆；
  自由度=2宙拉，為5.99；詳見臨界值表

4.3 F分布

• F分布簡單來說就是兩個獨(dú)立的卡方分布的比值的分布丙笋。

  
  
  F distribution
• 因此F分布取決于兩個自由度谢澈，即兩個卡方分布的自由度：分子自由度m，分母自由度n御板。簡記為F ~ Fm,n
• 如下圖锥忿，一般F分布為偏態(tài)分布，臨界值表
  
  F distribution

綜上t分布怠肋、卡方分布以及F分布均衍生自正態(tài)分布敬鬓。t分布常用于均數(shù)的t檢驗(yàn)；F分布常用于方差有關(guān)的統(tǒng)計檢驗(yàn)；而卡方分布更多得用于分類資料的獨(dú)立檢驗(yàn)钉答。而正態(tài)分布都是這些統(tǒng)計方法的基礎(chǔ)础芍，因此十分重要。