第一節(jié)：矩陣的數(shù)學(xué)定義
1.矩陣的定義
在線性代數(shù)中邪媳，矩陣就是以行和列形式組成的矩形數(shù)字塊（向量是標(biāo)量的數(shù)組算墨，矩陣是向量的數(shù)組）。
2.矩陣的記法
矩陣我們通常使用大中括號來表示朽缴，也可以使用豎線的方式來表示况毅，通常用大寫字母來表示矩陣艾杏。當(dāng)使用矩陣的分量時客情，我們用下標(biāo)法來表示矩陣的分量迅细，注意的是矩陣的分量是從1開始溺森，而不是0慕爬。
3.方陣
行數(shù)和列數(shù)相同的矩陣稱為方陣窑眯。方陣的概念非常重要，通常在3D中使用的矩陣就是2x2医窿，3x3,4x4方陣磅甩。
方陣的對角線元素就是方陣中分量行號和列號相同的元素，例如3x3矩陣中的m11姥卢，m22卷要，m33這三個分量就是對角線元素，其他的元素則是非對角線元素独榴。
4.對角矩陣
在方陣中僧叉，如果非對角元素都為0，則該方陣稱為對角矩陣棺榔。例如
5.單位矩陣
在對角矩陣中瓶堕，如果對角線元素都為1，則該對角矩陣為單位矩陣掷豺。單位矩陣是一種特殊的對角矩陣捞烟，單位矩陣乘以任意矩陣得到都是原來的矩陣。例如当船，3D單位矩陣如下
6.向量的矩陣含義
向量也可以看做為矩陣题画，行向量可以看做是1xn矩陣，列向量可以看做nx1矩陣德频。
7.矩陣的轉(zhuǎn)置
所謂的矩陣的轉(zhuǎn)置就是將矩陣的行元素變?yōu)榫仃嚨牧性夭韵ⅲ瑢⒕仃嚨牧性刈優(yōu)榫仃嚨男性兀仃嘙的轉(zhuǎn)置記做MT壹置。
行向量的矩陣轉(zhuǎn)置為列向量竞思，列向量的矩陣轉(zhuǎn)置為行向量。
對于任意對角矩陣D钞护，都有DT=D盖喷，同樣對于單位矩陣I，都有IT= I难咕。
對于任意矩陣D课梳，都有（DT）T?=D，即矩陣轉(zhuǎn)置兩次等于其本身余佃。
8.標(biāo)量和矩陣的乘法
標(biāo)量k和矩陣M相乘會得到一個和原矩陣維數(shù)相同的矩陣N暮刃，矩陣N的每個元素等于矩陣M的每個元素與標(biāo)量k相乘，公式如下爆土。
9.矩陣與矩陣的乘法
矩陣的乘法定義為一個r x n矩陣A與一個n x c矩陣B相乘椭懊，則得到一個r x c矩陣AB。
例如一個4 x 2矩陣A與一個2 x 5矩陣B相乘步势，得到的是一個4x5矩陣AB氧猬。
對于新得到的矩陣AB記做C背犯，則矩陣C的每個元素Cij等于矩陣A第i行向量與矩陣B第j列向量的點(diǎn)乘結(jié)果。示例如下
矩陣C的元素c24就等于矩陣A的第二行向量與矩陣B的第4行向量的點(diǎn)乘的結(jié)果狂窑。
10.向量與矩陣的乘法
因?yàn)橄蛄恳矊儆诰仃囅卑澹砸脖仨氁獫M足矩陣與矩陣的乘法規(guī)則桑腮，所以對于行向量而言泉哈，行向量要左乘矩陣，對于列向量而言破讨，列向量要右乘矩陣丛晦。行向量和列向量與一個相同的矩陣相乘的時候會得到不同的結(jié)果，因此我們要注意這是行向量和列向量的區(qū)別之一提陶，在進(jìn)行矩陣運(yùn)算時特別小心烫沙。
示例如下，對于行向量和列向量而言隙笆，得到的結(jié)果是不一樣的锌蓄。
我們覺得使用行向量是比較符合的，以為行向量是左乘矩陣撑柔，符合我們的書寫和理解瘸爽，例如vABC，行向量v乘以3個矩陣得到最后的向量铅忿。但是對于ABCh剪决，列向量h要從右往左乘才符合我們的理解。在DX3中使用的是行向量檀训，但是在OpenGL中使用的是列向量柑潦，因此在運(yùn)算前要注意行向量和列向量的轉(zhuǎn)置才能保證不會出現(xiàn)計算的問題。
第二節(jié)：矩陣的幾何解釋
1.2D向量與矩陣相乘的幾何意義
對于2D向量v乘以矩陣M得到的依然是2D向量峻凫，所以我們可以理解矩陣M是對向量v的一種坐標(biāo)變換渗鬼。
2D向量由原來的[1 1]變換為了[1 3]在幾何中的表示如下，我們可以將矩陣M的每一行都能解釋為轉(zhuǎn)換后的基向量荧琼。所以原來的向量[1 1]可以被分解為[1 0]和[0 1]譬胎，矩陣可以分解為[2 1]和[-1 2]，那么可以看做基向量x铭腕，y軸從向量v變換到矩陣M银择。
我們發(fā)現(xiàn)不光是2D向量v進(jìn)行了變換，在這一個區(qū)域里的點(diǎn)都得到了關(guān)于矩陣M的變換累舷。我們可以用下面的小機(jī)器人來表示浩考。、
基
線性空間中的對象為向量被盈，那么什么是向量析孽？應(yīng)該怎么描述搭伤？這就需要基⊥嗨玻基是組成向量的基本元素怜俐，也是衡量向量的標(biāo)準(zhǔn)。
就好比三原色紅邓尤、綠拍鲤、藍(lán)可以組成千變?nèi)f化的顏色。Do汞扎、Re季稳、Mi、Fa澈魄、Sol景鼠、La、Si七個音符可以編織成無數(shù)首動人心弦的音樂痹扇。0铛漓、1兩個數(shù)字可以表示計算機(jī)中所有的符號。這里邊三原色鲫构、七個音符浓恶、兩個數(shù)字就是基。每一種混合出來的顏色芬迄，每一首音樂和每一個計算機(jī)符號都可以看成是一個向量问顷，包含著每個基元素的含量多少。
基可以看成是線性空間里的坐標(biāo)系禀梳。選定一組基就是在線性空間里選定一個坐標(biāo)系杜窄。
2.3D向量與矩陣相乘的幾何意義
3D向量與矩陣相乘表示的含義是一樣的，只不過與3D向量相乘的矩陣是影響的x算途，y塞耕，z三個軸。
3.矩陣的幾何意義
向量的幾何意義是一條有向線段嘴瓤，而且向量可以進(jìn)行三角形法則扫外，所以我們可以將向量進(jìn)行拆分成坐標(biāo)軸的加法或者減法。
矩陣我們可以將每一行元素看做一個向量廓脆，它用來表示我們最終向量所對應(yīng)坐標(biāo)軸的最終狀態(tài)筛谚，這就是矩陣的幾何意義。
向量與矩陣的乘法本質(zhì)就是坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換停忿，其幾何意義就是表示向量拆分后驾讲，坐標(biāo)進(jìn)行變換，變成矩陣的每一行元素所表示的向量的位置。
