擲骰子

可以測度的概率

起源

對于概率的模糊的想法很早就有了带斑。我想即使是沒有接觸過概率論的人盏浇，根據(jù)自己的經(jīng)驗也能模糊地判斷事情發(fā)生的概率朵你。

概率論這門學科的真正創(chuàng)始厅瞎，從一個偉大的概念開始：概率是可以測量的太颤。

只有概率是可以測量的兜畸，它才能成為數(shù)學領(lǐng)域里的一個分支纺念，因為數(shù)學必須是邏輯的渠驼、清楚的羡鸥。這個偉大的奠基概念大概直到16-17世紀才形成蔑穴。

這個過程相當?shù)穆L，從后來人的角度來看頗有些不可思議惧浴。概率應(yīng)該是伴隨著人類活動就已經(jīng)模糊地產(chǎn)生了存和。比如應(yīng)用最廣泛的賭博，這項活動和人類的歷史幾乎等長了衷旅。而與之相關(guān)的概率問題竟然是近幾個世紀才得到人們的研究捐腿。

測量的哲學矛盾

測量過程通常都是這樣的，先找到一個標準柿顶，比如長度標準茄袖，用這個標準去丈量其他東西包含幾個的標準長度。

它的矛盾在于這是一個循環(huán)論證過程嘁锯。我們的目的是定義長度宪祥，但我們一開始就采用了假定的長度標準。

循環(huán)論證是一種偽證家乘。

但是這種矛盾無傷大雅品山，這種測量活動最終幫助人們完善了長度的概念。

概率的測度

與長度的概念建立方式相似烤低，概率同樣依靠這種偽證完善了概念肘交。

在測量開始前，率先找到同等可能性情況扑馁，作為“長度標準”涯呻，然后計數(shù)這些情況發(fā)生的次數(shù)凉驻，丈量事件A包含幾個這樣的基本等可能情況。事件A發(fā)生的概率為 $P(A)=\frac{事件A發(fā)生的次數(shù)}{所有可能事件發(fā)生的次數(shù)}$

這個式子就代表了概率的測度方式复罐±缘牵基于這個定義，隨即衍生出概率論的三大公理效诅。這三大公理即是這個學科的奠基石胀滚。

這三大公理被稱作柯爾莫果洛夫公理。

我并沒有寫出其更嚴謹?shù)恼f明方式，因為那還要建立關(guān)于集合双肤、樣本施掏、樣本空間這樣的概念。

基于這三條公理茅糜，很容易得出 $P(非A)=1-P(A)$ 七芭。

擲骰子

在測度概率的時候，第一步是找到“長度標準”蔑赘，也就是創(chuàng)建等概率情況狸驳。

擲骰子一直都是概率論研究的重點研究對象，但事實上骰子本身并非完全公平米死，各個面削去不同的點數(shù)會讓骰子的重心發(fā)生變化。盡管如此贮庞，它并不妨礙對概率的研究峦筒，我們?nèi)耘f將擲出每一個點的事件視作等概率。

17世紀早期窗慎，伽利略和托斯卡納大公爵之間的往來信件里提到了關(guān)于擲骰子的問題物喷。公爵寫道

投擲3枚骰子時，得到10點和11點的數(shù)字組合方式各有6種遮斥，9點和12點同樣如此峦失。但是眾所周知，骰子玩家通過長期觀察發(fā)現(xiàn)术吗，擲出10點和11點的可能性比9點和12點可能性更大尉辑。

伽利略的回信指出，公爵在計算9點和10點的可能情況時较屿，把三個3點記作一種可能隧魄，把兩個3點和一個4點也記作一種可能卓练，這種方法是錯誤的。比如后者涵蓋了(3,3,4)(3,4,3)(4,3,3)三種可能购啄，區(qū)別是哪一個骰子擲出了4襟企。而前者確實只有一種可能(3,3,3)

在他們的往來信件中，“獨立性”的概念已經(jīng)得到了雙方的默認狮含。對于擲骰子顽悼，擲出每一種結(jié)果的概率是相等的。

下面讓我們看看擲出3枚骰子到底是什么結(jié)果吧几迄。

擲出3枚骰子的所有結(jié)果

當把所有的sum單獨列成一張表蔚龙。

所有組合的和的情況

不同和的次數(shù)

以柱形圖表示

不同和的次數(shù)

從結(jié)果可以看出擲出10或11的概率確實高于擲出9或12的概率。而錯誤就出現(xiàn)在排列和組合的差異上乓旗「撸可以觀察如下和為9及和為10的組合、

和為9及和為10的情況

投擲三個骰子的結(jié)果必須得用三維坐標展現(xiàn)屿愚，(3,3,4)(3,4,3)(4,3,3)是不同的點汇跨。

我們可以把問題簡化為投擲兩個骰子的情況。

坐標展示

每一條經(jīng)過點的斜率為-1的直線都代表線上的點和相等妆距。

和的情況

(1,1)...(6,6)只有一種穷遂；但(2,4)(4,2)是有兩種情況的。

獨立性概念之后還有更重要的概念期望娱据。

十堂極簡概率課