第十五講多元函數(shù)積分學的基礎知識

本章要講的內(nèi)容主要有以下幾個部分：
$\begin{cases}向量代數(shù)\\空間平面與直線\\空間曲線與曲面\\\color{red}{多元函數(shù)微分學的幾何應用}\\\color{red}{場論初步}\end{cases}$

向量代數(shù)

既有大小又有方向的量稱為向量
向量的自由性：只要大小相等帘不，方向相同费什，則稱這兩個向量相等

向量的運算及應用：
設 $a=(a_x,a_y,a_z),b=(b_x,b_y,b_z),c=(c_x,c_y,c_z)$ ，a,b,c均不是零向量
1.數(shù)量積(點積不撑、內(nèi)積)及其應用：
$a\cdot b=(a_x,a_y,a_z)\cdot(b_x,b_y,b_z)=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$
$a\cdot b = |a||b|\cos\theta$ 快毛， $\theta$ 為a,b夾角，則
$\cos\theta=\frac{a\cdot b}{|a|*|b|}=\frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdot\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$
$a\perp b\Leftrightarrow\theta=\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow a\cdot b=|a||b|\cos\theta = 0$
$Prj_ba=\frac{a\cdot b}{|b|}=\frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$ 稱為a在b上的投影
2.向量積(叉積捏雌、外積)及其應用：
$a\times b=\begin{vmatrix}i&j&k\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}$
$|a\times b|= |a||b|\sin\theta$ 跃赚，用右手規(guī)則確定方向，其中 $\theta$ 為a,b夾角
$a// b\Leftrightarrow\theta =0,\pi\Leftrightarrow\frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}=\frac{a_z}{b_z}$
3.混合積及其應用
$[abc]=(a\times b)\cdot c=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix}$
$[abc]=0\Leftrightarrow$ 三個向量共面
向量的方向角和方向余弦
稱向量a與x軸性湿、y軸和z軸正方向的夾角 $\alpha,\beta,\gamma$ 為a的方向角
1. $\cos\alpha=\frac{a_x}{|a|},\cos\beta=\frac{a_y}{|a|},,\cos\gamma=\frac{a_z}{|a|},$
2.單位向量: $a^{\circ}=\frac{a}{|a|}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$
3.任意向量a都可以寫成 $\begin{align} r&=xi+yj+zk\\ &=(|r|\cos\alpha,|r|\cos\beta,|r|\cos\gamma)\\ &=|r|(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) \end{align}$ 的形式

空間平面和直線

平面方程
假設平面的法向量 $n=(A,B,C)$
一般式： $Ax+By+Cz+D=0$
點法式： $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
截距式： $\frac{x}{a}+\frac{y}来累+\frac{z}{c}=1$ ，其中a,b,c分別為平面在x軸窘奏、y軸和z軸上的截距
直線方程
假設直線的方向向量 $\tau=(l,m,n)$
一般式： $\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1,n_1=(A_1,B_1,C_1)\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2,n_2=(A_2,B_2,C_2)\end{cases}$ 嘹锁，其中 $n_1$ 不平行于 $n_2$ ，(兩個平面的交線)
點向式： $\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$ 着裹，(與該直線上某點構成的向量與方向向量平行)
兩點式： $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$
位置關系
點 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距離
$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
直線之間的位置關系：
設直線 $L_1,L_2$ 的方向向量分別為： $\tau_1=(l_1,m_1,n_1),\tau_2=(l_2,m_2,n_2)$ 领猾，則
$L_1\perp L_2\Leftrightarrow \tau_1\perp\tau_2\Leftrightarrow l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2=0$
$L_1//L_2\Leftrightarrow\tau_1//\tau_2\Leftrightarrow\frac{l_1}{l_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}$
平面之間的位置關系：
設平面 $\pi_1,\pi_2$ 的法向量分別為
$n_1=(A_1,B_1,C_1),n_2=(A_2,B_2,C_2)$ ，則
$\pi_1\perp\pi_2\Leftrightarrow n_1\perp n_2\Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$
$\pi_1//\pi_2\Leftrightarrow n_1//n_2\Leftrightarrow\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$
平面與直線之間的位置關系：
設直線L的方向向量 $\tau=(l,m,n)$ 骇扇，平面 $\pi$ 的法向量 $n=(A,B,C)$ 摔竿，則
$L\perp\pi\Leftrightarrow\tau//n\Leftrightarrow\frac{l}{A}=\frac{m}{B}=\frac{n}{C}$
$L//\pi\Leftrightarrow\tau\perp n\Leftrightarrow Al+Bm+Cn=0$

空間曲線與曲面

曲線方程：
一般式： $\Gamma=\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$ ，即兩個曲面的相交線
參數(shù)方程： $\Gamma=\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\\z=\omega(t)\end{cases},t\in[\alpha,\beta]$
空間曲線在坐標平面上的投影： $\color{red}{(重要等級三顆星)}$
這里以求曲線 $\Gamma$ 在 $xOy$ 平面上的投影曲線為例少孝，將 $\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$ 中的 $z$ 消去继低，得到 $\varphi(x,y)=0$ ，則曲線 $\Gamma$ 在 $xOy$ 平面上的投影曲線包含于曲線 $\begin{cases}\varphi(x,y)=0\\z=0\end{cases}$
(注：這里之所以要說是包含于稍走，是因為曲線的投影可能會有重疊)
常見的二次曲面：

橢球面： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

橢球面

(但一般常見的是 $a=b=c$ 的情況袁翁，也就是常考的一般是球面)
單葉雙曲面： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

單葉雙曲面

(這種方程通常在線性代數(shù)中考)
雙葉雙曲面： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

雙葉雙曲面

(這種方程同樣也是在線性代數(shù)中經(jīng)常出現(xiàn))
橢圓拋物面： $\frac{x^2}{2p}+\frac{y^2}{2q}=z,(p,q\gt 0)$

橢圓拋物面

(常見的考題一般是令 $p=q=\frac{1}{2}$ 婿脸，即 $x^2+y^2=z$ 的方程粱胜，也就是旋轉(zhuǎn)拋物面)
橢圓錐面： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}$

橢圓錐面

(一般只考常見的旋轉(zhuǎn)錐面，方程式為 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 狐树，這樣的方程只有z軸正半軸有圖像焙压，或者 $z^2=x^2+y^2$ )
雙曲拋物面(馬鞍面)： $z=xy$

馬鞍面

拋物柱面
柱面：動直線沿著固定曲線平行移動所形成的曲面
常見的柱面：
1.橢圓柱面： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
2.雙曲柱面： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
3.拋物柱面： $y=ax^2$
在空間解析幾何中，一般認為方程中缺少哪個變量，方程對應的柱面就平行于哪個坐標軸
旋轉(zhuǎn)曲面

在上圖中涯曲，設曲線 $\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$ 野哭，繞方向向量為 $\vec{\tau}(l,m,n)$ 的直線L: $\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$ 旋轉(zhuǎn)，幻件， $M(x_1,y_1,z_1)$ 為曲線 $\Gamma$ 上的一點拨黔， $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 為直線L上的一點，求旋轉(zhuǎn)曲面的方程
設旋轉(zhuǎn)曲面上的點 $P(x,y,z)$ 傲武，則可以列出下列三條線索：
$\begin{cases}|\vec{MP_0}|=|\vec{PP_0}|\\\vec{MP}\perp\vec{\tau}\\M在曲線\Gamma上\end{cases}$
將其轉(zhuǎn)換成方程組：
$\begin{cases}(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2 \\= (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2\\l(x-x_1)+m(y-y_1)+n(z-z_1)=0\\\begin{cases}F(x_1,y_1,z_1)=0\\G(x_1,y_1,z_1)=0\end{cases}\end{cases}$
消去上列方程組中的 $x_1,y_1,z_1$ 即可得到旋轉(zhuǎn)曲面的方程

例題
求直線 $L:\begin{cases}x-y+2z-1=0\\x-3y-2z+1=0\end{cases}$ 蓉驹，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面方程
設直線上的一點 $M(x_1,y_1,z_1)$ 城榛，曲面上的一點 $P(x,y,z)$ 為與M在同一橫截面上的一點揪利，則有
令y軸上一點 $P_0(0,0,0)$ ，則可得方程式
$\begin{cases}x_1^2+y_1^2+z_1^2=x^2+y^2+z^2\\y=y_1\\\begin{cases}x_1-y_1+2z_1-1=0\\x_1-3y_1-2z_1+1=0\end{cases}\end{cases}$
解得
$\begin{cases}x_1^2+y_1^2+z_1^2=x^2+y^2+z^2\\y=y_1\\\begin{cases}x_1=2y_1\\z_1=\frac{1-y_1}{2}\end{cases}\end{cases}$
曲面方程為： $4x^2-17y^2+2y+4z^2-1=0$

多元函數(shù)微分學的幾何應用

空間曲線的切線與法平面 $\color{red}{(重要等級一顆星)}$
設空間曲線 $\Gamma$ 由參數(shù)方程 $\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\\z=\omega(t)\end{cases}$ 狠持，給出疟位，其中 $\varphi(t),\psi(t),\omega(t)$ 均可導， $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 是 $\Gamma$ 上的點喘垂，且當 $t=t_0$ 時甜刻， $\varphi'(t_0),\psi'(t_0),\omega'(t_0)$ 均不為零，則
曲線 $\Gamma$ 在點 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 處的切向量為 $\color{red}{\vec{\tau}=(\varphi'(t_0),\psi'(t_0),\omega'(t_0))}$ 正勒；
曲線 $\Gamma$ 在點 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 處的切線方程為:
$\frac{x-x_0}{\varphi'(t_0)}=\frac{y-y_0}{\psi'(t_0)}=\frac{z-z_0}{\omega'(t_0)}$
曲線 $\Gamma$ 在點 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 處的法平面(過點 $P_0$ 且與切線垂直的平面)：
$\varphi'(t_0)(x-x_0)+\psi'(t_0)(y-y_0)+\omega'(t_0)(z-z_0)=0$

例題
求空間曲線 $\Gamma:\begin{cases}x=\int_0^te^u\cos udu\\y=2\sin t+\cos t\\z=1+e^{3t}\end{cases}$ 得院，在 $t=0$ 處的切線方程和發(fā)平面方程
解：參數(shù)求導 $\begin{cases}x_t'=e^t\cos t\\y_t'=2\cos t-\sin t\\z'_t=3e^{3t}\end{cases}$
$\therefore t=0$ 處切線的方向向量為 $(1,2,3)$
$t=0$ 時，曲線上的點為 $(0,1,2)$
切線方程為： $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3}$
法平面方程為： $(x-0)+2(y-1)+3(z-2)=0$

空間曲面的切平面與法線 $\color{red}{(重要等級三顆星)}$
設空間曲面 $\Sigma$ 由方程 $F(x,y,z)=0$ 給出章贞， $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 是 $\Sigma$ 上的點祥绞，則：
曲面 $\Sigma$ 在點 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 處的法向量(垂直于該點切平面的向量)為：
$\color{red}{\vec{n}=(F'_x(x_0,y_0,z_0),F'_y(x_0,y_0,z_0),F'_z(x_0,y_0,z_0))}$
曲面 $\Sigma$ 在點 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 處的法線方程為：
$\frac{x-x_0}{F'_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F'_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F'_z(x_0,y_0,z_0)}$
曲面 $\Sigma$ 在點 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 處的切平面為：
$F'_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F'_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)$
$+F'_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$
注：
如果曲面方程為 $z=f(x,y)$ ，則令 $F(x,y,z)=f(x,y)-z$ 鸭限；這的話蜕径，曲面方程對 $z$ 求偏導就為 $-1$ ，即法向量與 $z$ 軸正半軸成鈍角败京，但如果題目中有明確指出法向量與 $z$ 軸正半軸成銳角兜喻，則令 $F(x,y,z)=z-f(x,y)$

例題
設直線 $L:\begin{cases}x+y+b=0\\x+ay-z-3=0\end{cases}$ 是平面 $\pi$ 上的一條直線，平面 $\pi$ 與曲面 $z=x^2+y^2$ 相切于點 $(1,-2,5)$ 赡麦，求 $a,b$ 的值
解：令曲面方程為 $F(x,y,z)=x^2+y^2-z$
故平面 $\pi$ 的法向量為 $(F'_x(1),F'_y(-2),-1)=(2,-4,-1)$
平面 $\pi$ 的方程為 $2x-4y-z-5=0$
而直線 $L$ 在平面 $\pi$ 上朴皆，故
$\begin{cases}x+y+b=0\\x+ay-z-3=0\\2x-4y-z-5=0\end{cases}$
聯(lián)立得： $\color{red}{(待定系數(shù)法求解)}$
$(5+a)x+4b+ab-2=0$
因為 $x$ 是一個變量，欲使上式恒等于0泛粹，則有
$\begin{cases}5+a=0\\4b+ab-2=0\end{cases}$
故 $a=-5,b=-2$

場論初步

方向?qū)?shù)：
在許多問題中车荔，不僅需要知道函數(shù)沿著坐標軸方向的變化率，而且有時候還需要知道函數(shù)某點在沿著某一特定方向的變化率戚扳，這就是所謂的方向?qū)?shù)忧便。

方向?qū)?shù)的定義：
設三元函數(shù) $u=u(x,y,z)$ 在點 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的某個空間鄰域 $U\subset R^3$ 內(nèi)有定義， $l$ 為從點 $P_0$ 出發(fā)的射線， $P(x,y,z)$ 為 $l$ 上且在 $U$ 內(nèi)的任意一點珠增，則
$\begin{cases}x-x_0=\Delta x=t\cos\alpha\\y-y_0=\Delta y=t\cos\beta\\z-z_0=\Delta z=t\cos\gamma\end{cases}$
其中 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 為 $l$ 的單位向量
以 $t=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}$ 表示 $P$ 與 $P_0$ 之間的距離超歌，若極限：
$\lim_{t\to 0^+}\frac{u(P)-u(P_0)}{t}=$
$\lim_{t\to 0^+}\frac{u(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta,z_0+t\cos\gamma)-u(x_0,y_0,z_0)}{t}$
存在，則稱此極限為函數(shù) $u=u(x,y,z)$ 在點 $P_0$ 沿方向 $l$ 的方向?qū)?shù)蒂教，記作 $\frac{\partial u}{\partial l}|_{P_0}$
方向?qū)?shù)的一般計算公式：
設三元函數(shù) $u=u(x,y,z)$ 在點 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 處可微分巍举，則 $u=u(x,y,z)$ 在點 $P_0$ 處沿任一方向 $l$ 的方向?qū)?shù)都存在，且
$\frac{\partial u}{\partial l}|_{P_0}=u'_x(P_0)\cos\alpha+u'_y(P_0)\cos\beta+u'_z(P_0)\cos\gamma$
其中 $\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma$ 為方向 $l$ 的方向余弦
梯度：
設三元函數(shù) $u=u(x,y,z)$ 在點 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 處具有一階偏導數(shù)凝垛，則定義
$grad\space u|_{P_0}=\lbrace u'_x(P_0),u'_y(P_0),u'_z(P_0)\rbrace$
因此懊悯，函數(shù)u在 $P_0$ 處的方向?qū)?shù)可以寫成
$\frac{\partial u}{\partial l}|_{P_0}=grad\space u|_{P_0}\cdot (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$
$=grad\space u|_{P_0}\cdot l^{\circ}$
$=|grad\space u|_{P_0}|\cdot|l^{\circ}|\cdot\cos\theta$
$=|grad\space u|_{P_0}|\cos\theta$
推論：從上面的公式可以得知，函數(shù)在某點的梯度是一個向量梦皮，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致炭分，而他的模為最大方向?qū)?shù)的模
散度與旋度
設向量場 $A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ ，則
散度：
div $A=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$
旋度：
rot $A=\begin{vmatrix}i&j&k\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}$