一遥赚、 大器晚成的張益唐
??張益唐1955年出生于上海阎姥，父母在北京工作，13歲前與外婆在上海生活鸽捻。從小就是一個(gè)學(xué)習(xí)優(yōu)異的別人家孩子呼巴。1978年，張益唐考入北大數(shù)學(xué)系御蒲，本科四年接受系統(tǒng)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)訓(xùn)練衣赶，1982年本科畢業(yè)后師從著名數(shù)論專家潘承彪教授攻讀碩士學(xué)位，進(jìn)一步打下了非常扎實(shí)的數(shù)論基礎(chǔ)厚满。
??1985年府瞄，在北大丁石孫校長(zhǎng)推薦下，張益唐作為公派自費(fèi)生來(lái)美留學(xué)碘箍，在普渡大學(xué)深造讀博遵馆。1991年，張益唐雖然拿到博士學(xué)位丰榴，但是货邓，幾年的博士研究乏善可陳，張益唐并未發(fā)表論文四濒。而且换况，由于讀博期間與導(dǎo)師意見(jiàn)分歧，畢業(yè)時(shí)對(duì)方拒絕為他寫推薦信盗蟆。也因此張益唐畢業(yè)后甚至無(wú)緣申請(qǐng)到一份博士后的工作戈二，畢業(yè)后即告失業(yè)。
??此后喳资，張益唐一面自己堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)研究觉吭，一面努力維持生計(jì)。畢業(yè)后的六七年間忍痛暫別學(xué)術(shù)圈仆邓，歷經(jīng)坎坷鲜滩。他做過(guò)很多零工雜活，包括餐館幫手宏赘、臨時(shí)會(huì)計(jì)绒北、送外賣……很難想象一代名校數(shù)學(xué)才子、數(shù)學(xué)博士為生活所迫流落市井察署，數(shù)年間淪落到在餐飲店打雜闷游，甚至在車?yán)镞^(guò)夜的窘境。以張益唐頂尖的數(shù)學(xué)背景和資歷，如果愿意放棄數(shù)學(xué)脐往，改行換高薪的職位對(duì)他應(yīng)該并非難事休吠，但是他寧愿落魄不改對(duì)數(shù)學(xué)的追求，不放棄數(shù)學(xué)人生业簿。為了潛心研究數(shù)學(xué)瘤礁，他幾乎多年與世人隔絕。好在他對(duì)生活的要求沒(méi)有那么多欲望梅尤，也就少了許多煩惱柜思，也沒(méi)有覺(jué)得職業(yè)給人的階層壓力。一直沒(méi)有放棄喜歡的數(shù)論研究巷燥。心無(wú)旁騖地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考赡盘。
??功夫不負(fù)有心人，2013年4月17日缰揪，張益唐完成“孿生素?cái)?shù)猜想”數(shù)論論文寄給《數(shù)學(xué)年刊》陨享，論文主審稿人伊萬(wàn)尼茨是當(dāng)今頂級(jí)的解析數(shù)論專家。這份只有幾位頂級(jí)學(xué)家可能看懂的論文钝腺，在短短三周時(shí)間里就被確認(rèn)通過(guò)審稿抛姑，創(chuàng)下了《數(shù)學(xué)年刊》130年來(lái)審核通過(guò)接受論文的最快紀(jì)錄⊙藓《數(shù)學(xué)年刊》主審稿人伊萬(wàn)尼茨評(píng)注：“作者成功地證明了素?cái)?shù)分布領(lǐng)域一個(gè)具有里程碑意義的定理定硝。我們?cè)敱M仔細(xì)地研究了該論文，沒(méi)有找到瑕疵”僵驰。 一個(gè)被認(rèn)為多年隱沒(méi)在數(shù)學(xué)界之外的人喷斋，博觀約取唁毒，厚積薄發(fā)蒜茴，至此，張益唐一“戰(zhàn)”成名浆西。
??論文首次證明存在無(wú)窮多對(duì)素?cái)?shù)對(duì)（p, q）粉私，其中每一對(duì)素?cái)?shù)之差，不超過(guò)7000萬(wàn)近零，突破了孿生素?cái)?shù)猜想這一數(shù)論難題诺核。僅半年后，26歲的年輕數(shù)學(xué)家James Maynard提出另一個(gè)完全獨(dú)立的解決方法久信，把7000萬(wàn)這一數(shù)字縮小到600窖杀。張益唐提及此事并表示“ 孿生素?cái)?shù)猜想被人趕超后，不服氣裙士，一定要再做出新成就! ”不服輸?shù)娜松⒍ㄒ_(kāi)掛入客。
??在1900年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，數(shù)學(xué)家希爾伯特發(fā)表著名演講，提出了23個(gè)有待解決的重要數(shù)學(xué)難題和猜想桌硫，其中最古老的“孿生素?cái)?shù)猜想”是第8個(gè)問(wèn)題中的一個(gè)小問(wèn)題（另外兩個(gè)是黎曼猜想和哥德巴赫猜想）夭咬，被認(rèn)為是數(shù)論史上的經(jīng)典難題，也是本世紀(jì)的四大著名數(shù)學(xué)猜想之一铆隘。
??近年來(lái)卓舵，張益唐把戰(zhàn)場(chǎng)轉(zhuǎn)向了“朗道-西格爾零點(diǎn)猜想”。針對(duì)有人認(rèn)為它是通往解決黎曼猜想的重要一步膀钠，張益唐解釋掏湾，和黎曼猜想沒(méi)有直接關(guān)系。這是黎曼猜想的一個(gè)重要推論肿嘲，也和素?cái)?shù)分布等間接相關(guān)忘巧。因此，為了系統(tǒng)理解Landau-Siegel猜想睦刃，先從素?cái)?shù)出發(fā)砚嘴，再介紹大名鼎鼎的黎曼猜想，最后引出朗道-西格爾零點(diǎn)猜想涩拙。
圖 1 張益唐夫婦际长。紐約《僑報(bào)》
二、 素?cái)?shù)及規(guī)律
(一) 素?cái)?shù)
??自然數(shù)用于計(jì)量事物的件數(shù)或表示事物次序兴泥，用數(shù)碼0工育，1，2搓彻，3如绸，4，……表示旭贬≌樱可以分為偶數(shù)和奇數(shù)，也可以分為合數(shù)和素?cái)?shù)等稀轨。按因數(shù)個(gè)數(shù)分扼脐，自然數(shù)可分為素?cái)?shù)（也叫質(zhì)數(shù)）、合數(shù)奋刽、1和0瓦侮。素?cái)?shù)，指大于1的自然數(shù)中佣谐，只能被1和自身整除的數(shù)肚吏，如7，13等狭魂。自然數(shù)是可以按照大小排序的（有序性）罚攀，2000多年前吁断，歐幾里得通過(guò)反證法優(yōu)雅地證明了素?cái)?shù)有無(wú)數(shù)個(gè)（無(wú)限性）。
(二) 算數(shù)基本定理
??任何一個(gè)大于1的 自然數(shù) N,如果N不為素?cái)?shù) 坞生，那么N可以唯一分解成有限個(gè)素?cái)?shù)的乘積
??也就是說(shuō)又兵，自然數(shù)里面合數(shù)都由素?cái)?shù)構(gòu)成，且可被因數(shù)唯一分解為一些素?cái)?shù)的乘積卒废。所以素?cái)?shù)稱為自然數(shù)的骨架沛厨，從古至今都引起人們的癡迷。素?cái)?shù)有什么用處嗎摔认？著名的哥德?tīng)柖芍心嫫ぃ问较到y(tǒng)中用于證明命題的合式公式中涉及的變?cè)⒘吭~参袱、關(guān)系以及結(jié)束的對(duì)象一一對(duì)應(yīng)到 0电谣，1，…抹蚀，9 過(guò)程(所謂哥德?tīng)柧幋a）剿牺，其中常用編碼規(guī)則也是使用的素?cái)?shù)特性。現(xiàn)代社會(huì)中环壤，我們平時(shí)使用的密碼系統(tǒng)晒来，在加密和解密過(guò)程中，都使用到了大素?cái)?shù)分解郑现。所以湃崩，理論上和實(shí)際應(yīng)用中素?cái)?shù)都有很重要的研究?jī)r(jià)值。
(三) 尋找素?cái)?shù)分布規(guī)律
??2接箫、3攒读、5、7列牺、11整陌、13、……瞎领，素?cái)?shù)的分布在自然數(shù)中表現(xiàn)為越來(lái)越稀疏，好像也沒(méi)有什么規(guī)律随夸，但事實(shí)上當(dāng)數(shù)字很大的時(shí)候九默，素?cái)?shù)的出現(xiàn)趨于穩(wěn)定！因此宾毒，尋找素?cái)?shù)分布規(guī)律成為了一個(gè)重要事情驼修。而這個(gè)重要工作和黎曼猜想緊密相關(guān)。
三、 黎曼猜想
(一) 猜想界的皇冠
??前面已經(jīng)說(shuō)了乙各，黎曼猜想屬于1900年希爾伯特演講中23待解決的重要數(shù)學(xué)難題中的一個(gè)小問(wèn)題墨礁，100年后的又一個(gè)千禧年之際，美國(guó)克雷研究所提出了在數(shù)學(xué)界有著名七大千年難題（ NP完全問(wèn)題耳峦、霍奇猜想恩静、龐加萊猜想、黎曼假設(shè)蹲坷、楊·米爾斯理論驶乾、納衛(wèi)爾-斯托可方程、貝赫和斯維訥通-戴爾猜想）循签。并慷慨地為每個(gè)問(wèn)題設(shè)置了100萬(wàn)美元的獎(jiǎng)金级乐。其中一個(gè)著名的“龐加萊猜想”已由俄羅斯的 佩雷爾曼 破譯了。有“猜想界皇冠”之稱的黎曼猜想位列其中县匠。從對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展指明道路风科，以及開(kāi)啟數(shù)學(xué)研究新的方法和方向來(lái)說(shuō)。許多人都把黎曼認(rèn)為是數(shù)學(xué)史上排名第一的人乞旦。
(二) 大神們的接力賽
??為了尋找素?cái)?shù)分布的秘密丐重，數(shù)學(xué)界天花板般存在的大神們開(kāi)始了接力賽。瑞士天才數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)于1737年發(fā)表了歐拉乘積公式杆查。在這個(gè)公式中向人們展示出了素?cái)?shù)規(guī)矩的一面扮惦。沿著歐拉開(kāi)辟的這一戰(zhàn)場(chǎng)，數(shù)學(xué)王子高斯(Gauss)和另一位數(shù)學(xué)大師勒讓德(Legendre)深入研究了素?cái)?shù)的分布規(guī)律亲桦，終于各自獨(dú)立提出了深刻的素?cái)?shù)定理崖蜜。素?cái)?shù)在自然數(shù)中的大致分布概率得以展現(xiàn)，且和實(shí)際計(jì)算符合度很高客峭。要想得到確定的概率分布豫领，這時(shí)黎曼橫空出世了。先看看什么是黎曼猜想舔琅。
(三) 黎曼猜想的冒險(xiǎn)之旅
??準(zhǔn)備好了嗎等恐？我們一起來(lái)開(kāi)啟黎曼猜想的冒險(xiǎn)之旅。先從黎曼澤塔函數(shù)（ζ(s)）開(kāi)始备蚓，然后 ζ(s) = 0 時(shí)课蔬，函數(shù)的根有什么特點(diǎn)，這些根在這里叫零點(diǎn)郊尝。其中一種非平凡零點(diǎn)有什么特點(diǎn)（猜想）二跋，非平凡零點(diǎn)和素?cái)?shù)分布有什么關(guān)系？
1. 黎曼zeta（ζ）函數(shù)
??從1開(kāi)始流昏，所有自然數(shù)平方的倒數(shù)和是多少扎即？這就是歷史上著名的巴塞爾問(wèn)題吞获。這個(gè)級(jí)數(shù)坟漱，歐拉通過(guò)自變量減去根形成的因式的連乘得到的多項(xiàng)式和級(jí)數(shù)中相同冪變量的等價(jià)性芦鳍，逆向應(yīng)用sinx 的泰勒展開(kāi)式，最后得到：
黎曼參照上式左邊無(wú)窮級(jí)數(shù)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)紧阔，
??函數(shù)ζ(s)將巴塞爾問(wèn)題中的平方推廣到了復(fù)數(shù)闷营，也就是說(shuō) s = σ + it.其中σ,t都是實(shí)數(shù)烤黍， i=
??這就是新的黎曼澤塔函數(shù)溉旋。②中的 Γ（伽馬）函數(shù) Γ(s) 是階乘函數(shù)在復(fù)平面上的推廣畸冲，對(duì)于正整數(shù) s>1 ：Γ(s)=(s-1)!」劾埃可以證明邑闲，這一積分表達(dá)式除了在 s=1 處有一個(gè)簡(jiǎn)單極點(diǎn)外，在整個(gè)復(fù)平面解析梧油。這就是黎曼 ζ 函數(shù)的完整定義苫耸！
圖 2 黎曼 ζ 函數(shù)圖示
2. 黎曼 ζ 函數(shù)的根與黎曼猜想
??回想一下，初中我們經(jīng)常求方程的根（還記得一元二次方程的求根公式嗎儡陨？哈哈）褪子，為什么要花大力氣求根？因?yàn)檎莆辗匠痰母驼莆樟朔匠痰拇蟛糠中再|(zhì)骗村！因此嫌褪，也需要對(duì)黎曼澤塔函數(shù)求根。
令 ζ(s) = 0 胚股，求滿足該式的復(fù)數(shù) s 笼痛。
??運(yùn)用②的積分表達(dá)式可以證明，黎曼 ζ 函數(shù)滿足以下代數(shù)關(guān)系式
??從③式中可以知道琅拌，黎曼 ζ 函數(shù)在 s= -2n (n 為正整數(shù) ) 取值為零——因?yàn)?sin(πs/2) = -sin(nπ) 為零缨伊。復(fù)平面上的這種使ζ(s) = 0的點(diǎn)（函數(shù)的根）被稱為黎曼 ζ 函數(shù)的零點(diǎn)。因此 s= -2n (n 為正整數(shù) ) 是黎曼ζ 函數(shù)的零點(diǎn)财忽。這些零點(diǎn)分布有序倘核、性質(zhì)簡(jiǎn)單，被稱為黎曼 ζ 函數(shù)的平凡零點(diǎn) (trivial zeros)即彪。黎曼 ζ 函數(shù)還有許多其它零點(diǎn)紧唱， 它們的性質(zhì)遠(yuǎn)比那些平凡零點(diǎn)復(fù)雜，被稱為非平凡零點(diǎn) (non-trivial zeros)隶校。對(duì)黎曼 ζ 函數(shù)非平凡零點(diǎn)的研究構(gòu)成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最艱深的課題之一漏益。 到了這里，黎曼猜想終于要露出廬山真面目了深胳。我們也能猜到绰疤，猜想是關(guān)于這些非平凡零點(diǎn)性質(zhì)的∥柚眨看吧轻庆，求函數(shù)的非平凡根多么重要癣猾。
??黎曼猜想 ：黎曼 ζ 函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于復(fù)平面上 Re(s)=1/2 的直線上。
??黎曼猜想斷言余爆，黎曼 ζ 函數(shù)所有有意義的根/解（非平凡零點(diǎn)）都在一條直線上纷宇。證明它對(duì)于每一個(gè)有意義的解都成立，將為圍繞素?cái)?shù)分布的許多奧秘帶來(lái)光明蛾方。都在圖 3 復(fù)平面上ζ 函數(shù)的臨界線與臨界帶 中復(fù)平面內(nèi)的綠色豎線上像捶。黎曼已經(jīng)證明，所有的非平凡零點(diǎn)都在臨界帶內(nèi)桩砰。
圖 3 復(fù)平面上ζ 函數(shù)的臨界線與臨界帶
1. 實(shí)際接觸一些非平凡零點(diǎn)（非平凡根/解）
??這些非平凡零點(diǎn)到底如何拓春？需要有一個(gè)直觀的了解。歷史上亚隅，丹麥數(shù)學(xué)家格拉姆 (J?rgen Gram硼莽，1850-1916) 首次公布了對(duì)黎曼 ζ 函數(shù)前 15 個(gè)零點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果。由于黎曼 ζ 函數(shù)在上半復(fù)平面與下半復(fù)平面的非平凡零點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的枢步，因此在討論時(shí)只考慮虛部大于零的零點(diǎn)沉删。我們把這些零點(diǎn)以虛部大小為序排列，所謂“前 15 個(gè)零點(diǎn)”指的是虛部最小的 15 個(gè)零點(diǎn)醉途。在這 15 個(gè)零點(diǎn)中矾瑰，當(dāng)時(shí)只能手算的格拉姆對(duì)前 10 個(gè)零點(diǎn)計(jì)算到了小數(shù)點(diǎn)后第六位，而后 5 個(gè)零點(diǎn)只計(jì)算到了小數(shù)點(diǎn)后第一位隘擎。幸好這個(gè)運(yùn)算量巨大的工作現(xiàn)在可以委托給計(jì)算機(jī)了殴穴，還是看看了不起的格拉姆的成績(jī)吧。
表 1 黎曼zeta函數(shù)前15個(gè)非平凡零點(diǎn)（根）
??格拉姆在求非平凡零點(diǎn)時(shí)货葬，使用的是歐拉 - 麥克勞林公式采幌，但是后來(lái)發(fā)現(xiàn)黎曼早就提供了另外一種算法，并進(jìn)行了計(jì)算震桶，只是沒(méi)有發(fā)表并且當(dāng)時(shí)手算精度比較低休傍，后來(lái)經(jīng)西格爾整理黎曼的筆記并發(fā)掘出，形成黎曼 - 西格爾公式蹲姐，這個(gè)公式用來(lái)求ζ 函數(shù)的根是一個(gè)方便得多的好方法磨取。
??到了 1925 年，人們已經(jīng)知道了前 138 個(gè)零點(diǎn)的位置柴墩，它們都位于黎曼猜想所預(yù)言的臨界線critical line上忙厌。計(jì)算機(jī)也被用于嘗試證明/證偽黎曼猜想，一些試驗(yàn)已經(jīng)搜尋了黎曼猜想的前
4. ζ 的非平凡零點(diǎn)與素?cái)?shù)計(jì)數(shù)有關(guān)
??黎曼猜想目的是了解素?cái)?shù)的分布規(guī)律犀农，具體說(shuō)是要得到素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)惰赋。有一個(gè)極為重要的歐拉乘積公式（怎么到處都有歐拉名字）：
??乘積是對(duì)所有素?cái)?shù)進(jìn)行的宰掉。式中，Π表示其后面跟的內(nèi)容進(jìn)行連乘赁濒」煅伲可以證明，這個(gè)公式對(duì) 所有 Re(s)>1 的復(fù)數(shù) s 都成立拒炎。比較④式的左邊和①式的右邊挪拟，發(fā)現(xiàn)二者是相同的，也就是黎曼 ζ 函數(shù)击你。終于玉组，在黎曼 ζ 函數(shù)與素?cái)?shù)分布之間建立起了二者存在關(guān)聯(lián)的好兆頭。
??那么這個(gè)公式究竟蘊(yùn)涵著有關(guān)素?cái)?shù)分布的什么樣的信息呢丁侄？黎曼 ζ 函數(shù)的零點(diǎn)又是如何出現(xiàn)在這種關(guān)聯(lián)之中的呢惯雳？在素?cái)?shù)分布中有一個(gè)著名的素?cái)?shù)定理：
??其中，鸿摇，為對(duì)數(shù)積分石景。符號(hào)～表示漸進(jìn)。在 Re(s) = 1,也就是復(fù)數(shù) z的實(shí)部等于1時(shí)拙吉，zeta函數(shù)ζ(s)≠0潮孽，也就是其上沒(méi)有零點(diǎn)（根），形式化表達(dá)為： Re(s) =1 ? ζ(s)≠0, 從而可以證明⑤式成立筷黔。黎曼ζ 函數(shù)的非平凡零點(diǎn)（根）蘊(yùn)藏了相當(dāng)多的秘密往史。
??素?cái)?shù)定理描述素?cái)?shù)在自然數(shù)中分布的漸進(jìn)情況，給出隨著數(shù)字的增大佛舱，素?cái)?shù)的密度逐漸降低的直覺(jué)的形式化描述椎例。對(duì)⑤式做一個(gè)解釋，對(duì)正實(shí)數(shù)x名眉，定義π(x)為素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)粟矿，亦即不大于x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)。例如 π(10)=4损拢，因?yàn)楣灿?4 個(gè)質(zhì)數(shù)小于等于 10陌粹，分別是 2、3福压、5掏秩、7或舞。隨著 x 趨近無(wú)限，π(x) 與 或Li(x)的相對(duì)誤差（Li(x)- π(x)是在正負(fù)間震動(dòng)無(wú)窮次的函數(shù)）趨近于 0蒙幻。素?cái)?shù)定理也可以被想像成描述從正整數(shù)中抽到素?cái)?shù)的概率：從不大于 n 的正整數(shù)中隨機(jī)選出一個(gè)數(shù)映凳，它是素?cái)?shù)的概率大約是
。
??黎曼ζ函數(shù)與素?cái)?shù)有直接聯(lián)系邮破，當(dāng)實(shí)部大于1時(shí)诈豌，它是一系列自然數(shù)的和，同時(shí)又是素?cái)?shù)的乘積抒和，這里這個(gè)P實(shí)際包括了所有的素?cái)?shù)矫渔，這樣通過(guò)對(duì)黎曼ζ函數(shù)的研究就會(huì)得到很多素?cái)?shù)方面的信息。這里有一個(gè)基本的例子摧莽，即所謂的素?cái)?shù)定理庙洼，那是在1986年第一次被證明的，就是通過(guò)對(duì)黎曼ζ函數(shù)的研究而得到的镊辕。關(guān)于素?cái)?shù)更精確的信息在于進(jìn)一步對(duì)黎曼ζ函數(shù)零點(diǎn)的研究油够。
??黎曼 ζ 函數(shù)的非平凡零點(diǎn)，直接決定了素?cái)?shù)的分布規(guī)律征懈。如果可以知道ζ 函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)石咬，就可以得到精確的 π(x) 。
四受裹、 朗道-西格爾零點(diǎn)猜想
(一) 由樸素到廣義黎曼猜想
??黎曼猜想是通過(guò)黎曼ζ(s)函數(shù)來(lái)研究的碌补，目前學(xué)界新的思路是應(yīng)該構(gòu)建一個(gè)新的函數(shù)來(lái)研究黎曼猜想。這個(gè)函數(shù)有多種棉饶，其中厦章，狄利克雷-L函數(shù)是一個(gè)重要的函數(shù)。現(xiàn)在照藻，前者稱為樸素黎曼猜想袜啃，后者稱為廣義黎曼猜想。二者的區(qū)別與聯(lián)系見(jiàn)下圖幸缕。
圖 5 樸素與廣義黎曼猜想聯(lián)系與區(qū)別
(二) 狄利克雷-L函數(shù)
??先從wiki上直接搬過(guò)來(lái)其定義群发，再做一定的解釋。
??在數(shù)學(xué)中发乔，狄利克雷-L函數(shù)是狄利克雷級(jí)數(shù)的特例熟妓，它是形如下式的復(fù)變數(shù)函數(shù)。
在此χ是一個(gè)狄利克雷特征栏尚，s∈? 的實(shí)部大于1起愈。此函數(shù)可解析延拓為整個(gè)復(fù)平面上的亞純函數(shù)。
??式⑥和式①在形式上比較像吧，的確抬虽，只是右邊分子不一樣官觅，事實(shí)上χ(1) = 1, 當(dāng)n取1時(shí)，此時(shí)阐污，L函數(shù)就是ζ函數(shù)休涤。廣義黎曼猜想退化為樸素黎曼猜想。
圖 6 狄利克雷L函數(shù)
??為了理解狄利克雷L函數(shù)笛辟，必須對(duì)其中涉及的狄利克雷特征χ(n)進(jìn)行一個(gè)介紹功氨。狄利克雷特征指有下面性質(zhì)、由 整數(shù)→復(fù)數(shù) 的函數(shù)：
1）存在正整數(shù)k使得對(duì)于任意n都有χ(n) = χ(n+k)
2）對(duì)于任意m,n隘膘，χ(mn) = χ(m) χ(n)
3）χ(1)=1
??其中疑故，χ表示某個(gè)抽象的函數(shù)/映射/對(duì)應(yīng)法則/變幻，將整數(shù)映射到復(fù)數(shù)中弯菊。
??首個(gè)條件說(shuō)明特征是一個(gè)以k為周期的函數(shù)，其余兩個(gè)條件說(shuō)明它是完全積性函數(shù)踱阿。在數(shù)論中管钳，積性函數(shù)是指一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)n 的算術(shù)函數(shù)f(n)，有如下性質(zhì)：f(1) = 1软舌，且當(dāng)a 和b 互素時(shí)才漆，f(ab) = f(a) f(b)。
??若果特征的周期不是1佛点，由周期性和完全積性可知醇滥，特征的值若非單位根便是0。當(dāng)且僅當(dāng)gcd(n,k)>1超营，χ(n)=0鸳玩。其中，gcd(n,k) 表示n和k的最大公約數(shù)演闭。
(三) 廣義黎曼猜想
??和黎曼ζ函數(shù)求解一樣不跟，我們也對(duì)狄利克雷L函數(shù)求根。
??令米碰，L(χ,s) = 0 窝革，黎曼 ζ 函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于復(fù)平面上 Re(s)=1/2 的直線上，這就是廣義黎曼猜想吕座，該猜想對(duì)研究素?cái)?shù)分布十分重要虐译。
(四) Landau-Siegel猜想
1. 簡(jiǎn)化問(wèn)題
??對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)命題，證明方法有兩種類型吴趴。一種是構(gòu)造性證明漆诽，通過(guò)直接或間接構(gòu)造出具有命題所要求的性質(zhì)的實(shí)例來(lái)完成證明。要眼見(jiàn)為實(shí)。如直接求出一個(gè)一元二次方程的根拴泌。另外一種是存在性證明魏身。只證明滿足命題要求的對(duì)象存在，而不提供具體的實(shí)例或構(gòu)造這樣的實(shí)例的方法蚪腐。如斷言某一個(gè)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根箭昵，但具體是多少?zèng)]有說(shuō)明。顯然回季，前者比后者要困難得多家制。
??要證明廣義黎曼猜想，也是一個(gè)構(gòu)造性證明泡一，畢竟要證明狄利克雷L函數(shù)所有的非平凡零點(diǎn)（非平凡根）的實(shí)部都為 1/2. 那能否對(duì)這個(gè)過(guò)于強(qiáng)的限制條件弱化一些颤殴，只說(shuō)有沒(méi)有。
??復(fù)雜問(wèn)題分而治之鼻忠。把問(wèn)題分成幾個(gè)部分涵但，一個(gè)一個(gè)部分進(jìn)行證明。 這是極其重要又普適的一個(gè)技巧帖蔓。先找出相對(duì)簡(jiǎn)單的一個(gè)部分矮瘟，進(jìn)行證明，如果能證實(shí)塑娇，增加對(duì)原始問(wèn)題的信心澈侠，如果證偽了，原始問(wèn)題也被推翻了埋酬。
2. 構(gòu)造廣義黎曼猜想的某種弱形式
??根據(jù)以上簡(jiǎn)化問(wèn)題方法哨啃，我們可以考慮對(duì)廣義黎曼猜想的結(jié)論進(jìn)行分類，找一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的類別写妥，然后只是進(jìn)行存在性證明拳球。
??在⑥，狄利克雷-L函數(shù)中耳标，χ(n)是一個(gè)所謂的狄利克雷特征醇坝，是一種算數(shù)函數(shù)，輸入的n是整數(shù)次坡，但是輸出的χ(n)是復(fù)數(shù)呼猪。我們把輸出結(jié)果的值域進(jìn)行分類，分別是實(shí)數(shù)和含有虛數(shù)的復(fù)數(shù)砸琅。值域?yàn)閷?shí)數(shù)的特征叫實(shí)特征宋距，它的值只限于{-1,0,1}。這個(gè)看起來(lái)比較簡(jiǎn)單症脂，再對(duì)這種情況下狄利克雷L函數(shù)是否有異常零點(diǎn)存在進(jìn)行存在性證明谚赎。通過(guò)證明部分問(wèn)題和存在性證明淫僻，讓問(wèn)題成為了黎曼猜想的某種弱形式。這也就是朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的一個(gè)不嚴(yán)格的說(shuō)明壶唤。
3. Landau-Siegel零點(diǎn)猜想
??廣義黎曼猜想是指所有的非平凡零點(diǎn)都位于實(shí)部 Re(s) = 1/2 的臨界線上雳灵，如果不能直接證明非平凡零點(diǎn)都不在復(fù)平面上平行于虛軸的直線上，另外一種方法就是限定零點(diǎn)在復(fù)平面上的區(qū)域闸盔，當(dāng)然悯辙，這個(gè)區(qū)域肯定要包含臨界線。事實(shí)上迎吵，黎曼已經(jīng)證明了在 0<Re(s)<1這個(gè)叫做臨界帶的區(qū)域中躲撰，見(jiàn)圖 3 復(fù)平面上ζ 函數(shù)的臨界線與臨界帶， 然后在臨界帶中逐漸縮小包圍圈击费，讓這個(gè)零點(diǎn)存在范圍逐漸逼近臨界線拢蛋。
??數(shù)學(xué)家通過(guò)不斷努力，不斷縮減L函數(shù)的非平凡零點(diǎn)的存在區(qū)域蔫巩。χ(n)是一個(gè)所謂的狄利克雷特征（算數(shù)函數(shù)）谆棱，滿足值域?yàn)閷?shí)數(shù)的特征叫實(shí)特征，它的值只限于{-1,0,1}批幌。在這種情況下對(duì)應(yīng)的狄利克雷-L函數(shù)础锐，數(shù)學(xué)家Edmund Landau發(fā)現(xiàn)，零點(diǎn)可能會(huì)落在已經(jīng)證明了的非平凡零點(diǎn)的存在區(qū)域之外荧缘，這就是異常零點(diǎn)（exceptional zero）。
(五) 思路整理
??現(xiàn)在拦宣，我們對(duì)前面的分析做一個(gè)歸納整理截粗，這樣，讓人有一個(gè)清晰的認(rèn)知鸵隧。圖 7 從黎曼猜想到朗道-西格爾零點(diǎn)猜想
五绸罗、 黎曼猜想及朗道-西格爾猜想作用
??黎曼猜想被稱為最重要的數(shù)學(xué)猜想， 究竟是什么原因呢豆瘫？ 首要的原因是它跟其它數(shù)學(xué)命題之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系珊蟀。在今天的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中已經(jīng)有一千條以上的數(shù)學(xué)命題是以黎曼猜想 (或其推廣形式) 成立為前提的。黎曼猜想及其推廣形式一旦被證明外驱，那一千多條數(shù)學(xué)命題就全都成為定理育灸； 反之， 則那一千多條數(shù)學(xué)命題中會(huì)有一部分成為陪葬昵宇。 一個(gè)數(shù)學(xué)猜想與為數(shù)如此眾多的數(shù)學(xué)命題有著密切關(guān)聯(lián)磅崭， 這在數(shù)學(xué)中可以說(shuō)是絕無(wú)僅有的。
??其次瓦哎， 黎曼猜想與數(shù)論中的素?cái)?shù)分布問(wèn)題有著密切關(guān)系砸喻。 而數(shù)論被德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯稱為是 “數(shù)學(xué)的皇后”柔逼。 素?cái)?shù)分布問(wèn)題則又是數(shù)論中極重要的傳統(tǒng)課題， 一向吸引著眾多數(shù)學(xué)家的興趣割岛。 這種深植于傳統(tǒng)的 “高貴血統(tǒng)” 也在一定程度上增加了黎曼猜想在數(shù)學(xué)家們心中的地位和重要性愉适。
??再者， 一個(gè)數(shù)學(xué)猜想的重要性還有一個(gè)衡量標(biāo)準(zhǔn)癣漆， 那就是在研究該猜想的過(guò)程中能否產(chǎn)生出一些對(duì)數(shù)學(xué)的其它方面有貢獻(xiàn)的結(jié)果维咸。 用這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量， 黎曼猜想也是極其重要的扑媚。 事實(shí)上腰湾， 數(shù)學(xué)家們?cè)谘芯坷杪孪氲倪^(guò)程中所取得的早期成果之一， 就直接導(dǎo)致了有關(guān)素?cái)?shù)分布的一個(gè)重要命題——素?cái)?shù)定理——的證明疆股。 而素?cái)?shù)定理在被證明之前费坊， 本身也是一個(gè)有著一百多年歷史的重要猜想。
??最后旬痹， 并且最出人意料的附井， 是黎曼猜想的重要性甚至越出了純數(shù)學(xué)的范圍， 而 “侵入” 到了物理學(xué)的領(lǐng)地上两残。 20 世紀(jì) 70 年代初永毅， 人們發(fā)現(xiàn)與黎曼猜想有關(guān)的某些研究， 居然跟某些非常復(fù)雜的物理現(xiàn)象有著顯著關(guān)聯(lián)人弓。 這種關(guān)聯(lián)的原因直到今天也還是一個(gè)謎沼死。 但它的存在本身， 無(wú)疑就進(jìn)一步增加了黎曼猜想的重要性崔赌。非平凡零點(diǎn)分布關(guān)聯(lián)的密度函數(shù)與物理山的隨機(jī)厄密矩陣有著直接聯(lián)系意蛀。
以上這些原因， 黎曼猜想被稱為最重要的數(shù)學(xué)猜想是當(dāng)之無(wú)愧的健芭。
??本文還說(shuō)了黎曼猜想引申出的朗道-西格爾猜想县钥，目前，關(guān)于張益唐在這方面的研究成果公開(kāi)的很少慈迈。Landau-Siegel猜想可能的貢獻(xiàn)在一下幾個(gè)方面若贮。
??如果張教授的研究證明L函數(shù)沒(méi)有異常零點(diǎn)，雖然不能證明黎曼猜想正確痒留，但是可以讓我們?cè)谛拍钌细酉嘈爬杪孪胝_的谴麦。如果證明L函數(shù)有異常零點(diǎn)，那就否定了黎曼猜想狭瞎。
??不知道張教授在這個(gè)過(guò)程中细移，是否發(fā)明了一套新的研究方法，如同伽羅瓦在證明五次及以上方程中一般沒(méi)有解析解過(guò)程中熊锭，創(chuàng)建了了不起的群論弧轧。那就非常厲害了雪侥，這也就是一個(gè)猜想解決過(guò)程中帶來(lái)的巨大收獲【铮“下金蛋的鵝”一直是所有人期待的一個(gè)現(xiàn)象速缨。
引用文獻(xiàn)
[1]盧昌海.黎曼猜想漫談:一場(chǎng)攀登數(shù)學(xué)高峰的天才盛宴[M]. 北京： 清華大學(xué)出版社， 2016.9
[2]李修賢. 黎曼猜想和素?cái)?shù)分布[D].山東大學(xué),2012.
[3].黎曼猜想的重要意義[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)(高中版下旬),2017(11):60-61.
