https://www.youtube.com/watch?v=U3VULgHAIxo&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=36
前言
我們來(lái)繼續(xù)考慮量子力學(xué)中哈密頓算符和對(duì)應(yīng)本征值的數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式
1. 哈密頓算符和本征值
通過(guò)上節(jié)的講解滑进，可以知道哈密頓矩陣就是厄密矩陣崭捍，滿足下面的等式：
- 求解下面的方程
可以得到一系列本征態(tài)
, 本征值
氮昧。
- 情況一：本征值，本征態(tài)都是離散的，比如有限深勢(shì)阱體系的時(shí)間不相關(guān)薛定諤方程。
-
情況二：本征值，本征態(tài)都是連續(xù)的垫桂，比如自由粒子體系
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2. 分別解釋
-
離散：
證明：哈密頓算符的本征值是實(shí)數(shù)
以此式為基礎(chǔ)
，對(duì)該式兩邊求共軛得到：
將上述兩個(gè)式子帶入下面的厄米算符等式：
得到
等于：
-
證明：哈密頓算符的本征向量是正交的
- 以下面兩式為基礎(chǔ)：
- 帶入下面的厄米算符等式：
得到
如果：粟按，那么只有
- 以下面兩式為基礎(chǔ)：
-
哈密頓算符的本征態(tài)是完備的
- 求解以下方程：
- 得到
诬滩，
完備的意思是：任何算符都可以表示為本征態(tài)的線性組合，即
傅立葉變換后也可以表示為：
- 求解以下方程：
以上說(shuō)的都是離散的本征態(tài)（波函數(shù)灭将，如深勢(shì)阱疼鸟，諧振子體系），如果連續(xù)的呢庙曙？
-
連續(xù)：
對(duì)于連續(xù)的一系列本征態(tài):
假設(shè)有：-
那么首先這個(gè)本征態(tài)是不是歸一化的
化簡(jiǎn)上述方程：- 如果：
上述方程可以簡(jiǎn)化為：
這樣說(shuō)明波函數(shù)不是歸一化的空镜！
- 如果：
上述方程可以簡(jiǎn)化為：
未完待續(xù)...
- 如果：
-
