寫給所有人的極簡(jiǎn)統(tǒng)計(jì)學(xué)

偶然發(fā)現(xiàn)的一本好書棵介。如果我的大學(xué)課本寫得像它這樣通俗易懂就好了琅绅。

統(tǒng)計(jì)學(xué)作為數(shù)學(xué)里的一個(gè)分支邻眷，它的地位一直以來(lái)都飽受質(zhì)疑。統(tǒng)計(jì)的模糊性與數(shù)學(xué)的精確性確實(shí)有相悖的地方戒努。

基礎(chǔ)知識(shí)回顧

這是我覺(jué)得這本書最有意思的地方查描，它回顧了很多來(lái)自小學(xué)、初高中的知識(shí)，有些東西我自認(rèn)為理解透徹了冬三，猛然一讀才發(fā)現(xiàn)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)里還出現(xiàn)了很多漏洞。

有很多有意思的地方值得細(xì)細(xì)品味缘缚。

除法

我記得這是小學(xué)二年級(jí)的內(nèi)容勾笆。

除法有兩種意義，一種叫”等分除“桥滨，一種叫”包含除“窝爪。以分蘋果來(lái)說(shuō)明二者的差別。20個(gè)蘋果分給4個(gè)人齐媒，每人可分5個(gè)蘋果蒲每。這叫等分除。20個(gè)蘋果喻括，以5個(gè)為一份打包邀杏，分成4份。這叫包含除唬血。

差別在于望蜡，第一個(gè)是 $\frac{20個(gè)}{4人} =5個(gè)/人$ ；第二個(gè)是 $\frac{20個(gè)}{5個(gè)}=4$ 拷恨〔甭桑”等分除“里是求每單位里有多少；”包含除“里則是求比例腕侄。

平均

“均”是指重量小泉；“平”是指沒(méi)有差別∶岣埽“平均”即是說(shuō)在重量上沒(méi)有差別微姊。

“平均”是個(gè)千古難題“杌悖孔子說(shuō)：“人不患寡而患不均柒桑。”《漢紀(jì)》載：“分肉甚平均噪舀，父老善之魁淳。”取長(zhǎng)則要補(bǔ)短与倡，劫富得拿來(lái)濟(jì)貧界逛，“平均”的概念總是與“公平”緊緊相連。

求平均數(shù)有兩種方法纺座。

第一種是 $\bar{x}=\sum_{i-1}^n\frac{X_i}{n}$

第二種是 $\bar{x}=基準(zhǔn)數(shù)+\frac{X_i-基準(zhǔn)數(shù)}{n}$

第一種是平均數(shù)最直接的定義息拜。

第二種表示方法的意義在于，如果 $\bar{x}=基準(zhǔn)數(shù)$ ，那么 $\frac{X_i-基準(zhǔn)數(shù)}{n}=0$ 少欺。所有數(shù)字不管是高于平均數(shù)還是低于平均數(shù)喳瓣，它們與平均數(shù)的差加總為0。這是方差概念產(chǎn)生的原因赞别。正是因?yàn)椤安睢睙o(wú)法體現(xiàn)出數(shù)據(jù)之間的分布離散情況畏陕，才出現(xiàn)了 $\sum_{i=1}^n\frac{\left(X_i-\bar{x}\right)^2}{n}$ ，就是方差 $V_x$ 仿滔，方差用平方消除了這種困難惠毁。

平均數(shù)的缺點(diǎn)在于容易受極值影響，所以當(dāng)一組數(shù)據(jù)中存在極值崎页，通常轉(zhuǎn)而尋求 ==中位數(shù)== 作代表鞠绰。

函數(shù)

這本書對(duì)函數(shù)的解釋同樣很有趣。

從“函數(shù)”兩字理解：

“函”是“信函”的“函”飒焦。它的意思是信箱蜈膨，函是箱子的意思』母“函數(shù)”也可以叫做“箱數(shù)”丈挟。把一個(gè)數(shù)字投入箱子里，出來(lái)另一個(gè)數(shù)志电。這個(gè)箱子的功能就是函數(shù)表達(dá)式 $f$ 曙咽。

從生活中理解：

就像在自動(dòng)售貨機(jī)前買飲料。當(dāng)按下某款飲料下的按鈕時(shí)挑辆，在出口處就會(huì)得到想要的飲料例朱。售貨機(jī)不就像一個(gè)箱子么。

函數(shù)-自動(dòng)售貨機(jī)

從因果角度理解：

因和果之間應(yīng)當(dāng)有四種對(duì)應(yīng)關(guān)系鱼蝉，一對(duì)一洒嗤、一對(duì)多、多對(duì)一魁亦、多對(duì)多渔隶。函數(shù)是一對(duì)一的關(guān)系，這是四種關(guān)系里最好的一種關(guān)系洁奈，既知原因间唉，就可確定結(jié)果；或者知道結(jié)果利术，可以反推原因呈野。非常清晰的邏輯關(guān)系。

一葉落而知天下秋印叁，葉落真的是秋的原因嗎被冒，當(dāng)然不是军掂。這種關(guān)系就不是函數(shù)關(guān)系，而是相關(guān)關(guān)系昨悼。真實(shí)世界里很少存在一對(duì)一的因果關(guān)系蝗锥，這種模糊性更加常見(jiàn)。如果有見(jiàn)微知著的本領(lǐng)幔戏，那就已經(jīng)不是普通人了玛追。

一次函數(shù)

它有兩種表達(dá)形式。一種是 $y=ax+b$ 闲延；另一種是 $y-q=a(x-p)$ 。

第二種是靠?jī)牲c(diǎn)確定一條直線的公理寫出來(lái)的韩玩。一條直線經(jīng)過(guò)(x,y)和(p,q)垒玲，斜率 $a=\frac{y-q}{x-p}$ ，稍微變形就得到了兩點(diǎn)式一次函數(shù) $y-q=a(x-p)$ 找颓。

二次函數(shù)

這應(yīng)該是高中的基礎(chǔ)內(nèi)容合愈。

表達(dá)式。

二次函數(shù)有好幾種表達(dá)形式击狮。

第一種佛析，一般式 $y=ax^2+bx+c$ 。

第二種彪蓬，配方法 $y=a\left(x+\frac寸莫{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$ 。

它的推導(dǎo)過(guò)程如下

首先必須知道配方法是怎么工作的档冬。
$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$
所以膘茎， $x^2+2kx=(x+k)^2-k^2$ 。這個(gè)式子的特點(diǎn)在于k之間的聯(lián)系酷誓，一個(gè)是一半的關(guān)系披坏，一個(gè)是一半的平方的關(guān)系。
那么 $ax^2+bx=a(x^2+\frac盐数{a}x)=a\left[(x+\frac棒拂{2a})^2-\left(\frac{2a}\right)^2\right]=a(x+\frac玫氢{2a})^2-\frac{b^2}{4a}$
即 $y=ax^2+bx+c=a(x+\frac帚屉{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$

更有比較特殊的情況，假如b=0,c=0琐旁，則原式變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=y%3Dax%5E2" alt="y=ax^2" mathimg="1">涮阔，當(dāng)(x,y)向左移動(dòng)p，向右移動(dòng)q時(shí)灰殴，頂點(diǎn)變?yōu)?p,q)敬特，出現(xiàn)了第三種表示方式掰邢，頂點(diǎn)式。

第三種伟阔，頂點(diǎn)式 $y=a(x-p)^2+q$ 辣之。

最值。

二次函數(shù)的頂點(diǎn)為 $(-\frac皱炉{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a})$

判別式怀估。

判別式 $\Delta=b^2-4ac$ 用來(lái)判斷二次不等式 $ax^2+bx+c=0$ 的解的情況。

（1）有兩個(gè)不同解合搅， $\Delta<0$ 多搀，兩個(gè)解為 $x_{12}=\frac{-b\pm\sqrt[]{\Delta}}{2a}$ ；
（2）有兩個(gè)相同的解灾部， $\Delta=0$ , $x_1=x_2=-\frac康铭{2a}$ ；
（3）無(wú)解時(shí)赌髓， $\Delta>0$ 从藤。

$ax^2+bx+c=0$
$\rightarrow y=ax^2+bx+c=0$
$\rightarrow y=a\left(x+\frac{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}=0$
$\rightarrow (x+\frac锁蠕{2a})^2= \frac{b^2-4ac}{4a^2}$
當(dāng) $a\neq0$
$\rightarrow x+\frac夷野{2a}=\pm\frac{\sqrt[]{b^2-4ac}}{2a}$
$\rightarrow x_{12}=\frac{-b\pm\sqrt[]{\Delta}}{2a}$

圖表

當(dāng)展示一組數(shù)據(jù)分布情況時(shí)，表可選擇頻數(shù)分布表荣倾，圖可選擇柱形圖悯搔、折線圖、餅圖逃呼、帶狀圖鳖孤。

柱形圖比較數(shù)值大小抡笼；折線圖展示數(shù)值變化苏揣；餅狀圖和帶狀圖都顯示比例，其中帶狀圖雖然長(zhǎng)得像條形圖推姻，但帶的長(zhǎng)短變化是不能代表總量規(guī)模的變化的平匈。

當(dāng)展示兩組數(shù)據(jù)的分布情況時(shí)，可選擇點(diǎn)位圖藏古。點(diǎn)位圖會(huì)顯出五種關(guān)系：

強(qiáng)正相關(guān)
弱正相關(guān)
強(qiáng)負(fù)相關(guān)
弱負(fù)相關(guān)
不相關(guān)

他們表現(xiàn)出的關(guān)系似乎類似于一次函數(shù)增炭，但二者其實(shí)有很大區(qū)別。

相似之處在于拧晕，當(dāng)點(diǎn)位圖的圖像呈上升趨勢(shì)隙姿，稱為正相關(guān)，這和一次函數(shù)圖像上升時(shí)厂捞，斜率為正相互對(duì)應(yīng)输玷。

不同之處在于队丝，相關(guān)關(guān)系并非數(shù)據(jù)間的一般特征，數(shù)據(jù)間也不一定有因果關(guān)系欲鹏。這讓我想起某一次實(shí)驗(yàn)机久，有人統(tǒng)計(jì)了夏天冰激淋的銷量和溺水死亡率，兩者呈現(xiàn)出很強(qiáng)的正相關(guān)赔嚎。當(dāng)然冰激淋和溺水死亡根本沒(méi)有關(guān)系膘盖，這只是個(gè)偶然。

統(tǒng)計(jì)學(xué)概念

當(dāng)表示一組數(shù)據(jù)間的離散程度時(shí)尤误，可以著眼于兩個(gè)基本特征：中位數(shù)和平均值侠畔。

平均值受極值影響，所以有時(shí)候中位數(shù)更能代表數(shù)據(jù)的總體情況损晤。以中位數(shù)為基礎(chǔ)践图，采用四分位數(shù)和箱形圖可以有效展示數(shù)據(jù)離散情況。

當(dāng)選擇平均數(shù)時(shí)沉馆，則需要引入方差。

方差

$V_x=\sum_{i=1}^n\frac{\left(X_i-\bar{x}\right)^2}{n}$

方差會(huì)把數(shù)據(jù)的離散程度擴(kuò)成平方德崭，數(shù)據(jù)變得太大斥黑，通常令人感到摸不著頭腦。假如數(shù)學(xué)為100分制眉厨，一個(gè)班的平均成績(jī) $\bar{x}=50$ 锌奴，如果方差為 $900分^2$ ，這太奇怪了憾股。所以要把它還原為標(biāo)準(zhǔn)差 $30分$ 鹿蜀。這說(shuō)明學(xué)生的成績(jī)大概率分布在 $20-80分$ 之間。

標(biāo)準(zhǔn)差
$S_x=\sqrt[]{\sum_{i=1}^n\frac{\left(X_i-\bar{x}\right)^2}{n}}=\sqrt[]{\overline{x^2}-\overline{x}^2}$

$V_x=\sum_{i=1}^n\frac{\left(X_i-\bar{x}\right)^2}{n}=\frac{\sum_{i=1}^nX_i^2-2\bar{x}\sum_{i=1}^nX_i+n\bar{x}^2}{n}=\overline{x^2}-\overline{x}^2$

采用以平均數(shù)為基礎(chǔ)的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示一組數(shù)據(jù)的離散程度是不錯(cuò)的方式服球，但是當(dāng)數(shù)據(jù)變?yōu)?組呢茴恰？

兩組數(shù)據(jù)的分布情況用點(diǎn)位圖展示。

相關(guān)系數(shù)

對(duì)于同一個(gè)點(diǎn)位圖斩熊，有人也許覺(jué)得是強(qiáng)正相關(guān)往枣，也有人或許會(huì)認(rèn)為是弱正相關(guān)。正是主觀感受的不確定性粉渠，才出現(xiàn)了相關(guān)系數(shù)這個(gè)概念分冈。

相關(guān)系數(shù)用來(lái)表示相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱。

$r_{xy}=\frac{C_{xy}}{S_xS_y},r\in[-1,1]$
$C_{xy}=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{n}$

除以 $S_xS_y$ 的原因是為了消除 $x和y$ 本身的離散性影響霸株，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=r_%7Bxy%7D" alt="r_{xy}" mathimg="1">主要表示 $x和y$ 的緊密程度雕沉。

范圍	強(qiáng)弱
(-0.2,0.2)	幾乎無(wú)相關(guān)
(0.2,0.4)	弱正相關(guān)
(0.4,0.7)	中等程度正相關(guān)
(0.7,1)	強(qiáng)正相關(guān)
(-0.4,-0.2)	弱負(fù)相關(guān)
(-0.7,-0.4)	中等程度負(fù)相關(guān)
(-1,-0.7)	強(qiáng)負(fù)相關(guān)

相關(guān)系數(shù)的概念是在高斯分布的基礎(chǔ)上形成的，為什么接近1或-1時(shí)會(huì)存在強(qiáng)相關(guān)性呢去件？

第一步證明 $r$ 的范圍

以 $i=3$ 為例坡椒，

$r_{xy}=\frac{\frac{(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})+(x_3-\bar{x})(y_3-\bar{y})}{n}}{\frac{\sqrt[]{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2}}{\sqrt[]{n}}\frac{\sqrt[]{(y_1-\bar{y})^2+(y_2-\bar{y})^2+(y_3-\bar{y})^2}}{\sqrt[]{n}}}$
$\rightarrow 令X_1=x_1-\bar{x}扰路，X_2，X_3同肠牲；Y_1=y_1-\bar{y}幼衰，Y_2，Y_3同$
$r_{xy}=\frac{X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_3}{\sqrt[]{X_1^2+X_2^2+X_3^2}\sqrt[]{Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2}}$
要證明 $r_{xy}\in[-1,1]$ ,
則證明 $\frac{X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_3}{\sqrt[]{X_1^2+X_2^2+X_3^2}\sqrt[]{Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2}}\leq1$
即 $X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_3\leq\sqrt[]{X_1^2+X_2^2+X_3^2}\sqrt[]{Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2}$

該式的證明可以用到二次函數(shù)的判別式缀雳。

$f(t)=(X_1t-Y_1)^2+(X_2t-Y_2)^2+(X_3t-Y_3)^2 =(X_1^2+X_2^2+X_3^2)t^2-2(X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_3)t+Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2$
如果 $f(t)\geq0$ 渡嚣，則 $\Delta\leq0$ ，即 $X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_3\leq\sqrt[]{X_1^2+X_2^2+X_3^2}\sqrt[]{Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2}$
那么何時(shí)取等號(hào)呢肥印？
$f(t)=(X_1t-Y_1)^2+(X_2t-Y_2)^2+(X_3t-Y_3)^2=0$
$t=\frac{Y_1}{X_1}=\frac{Y_2}{X_2}=\frac{Y_3}{X_3}$

將其一般化即可證明识椰。

第二步，當(dāng) $r=1$ 深碱。
$\frac{Y-\bar{y}}{X-\bar{x}}=t$
$\rightarrow Y=t(X-\bar{x})+\bar{y}$
所有的點(diǎn)都在一條直線上腹鹉。

更加直觀地理解相關(guān)系數(shù)，不如以 $(\bar{x},\bar{y})$ 為原點(diǎn)敷硅，重新分割象限功咒。如果落在第一、三象限的點(diǎn)多于二绞蹦、四象限力奋，那么 $r_{xy}$ 更可能大于0，甚至接近1幽七。

最后編輯于：2020.05.29 22:37:33

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