Entropy

Entropy(熵)

一個(gè)信息源發(fā)出多種信號,如果某個(gè)信號概率大肤舞,那么它后面出現(xiàn)的機(jī)會也大冲秽,不確定性會小磨确。反之就會機(jī)會小,不確定性就大也榄,即不確定性函數(shù) f 是概率 p 的單調(diào)遞減函數(shù)。

那如果有兩個(gè)信號A、B纷闺,他們產(chǎn)生的不確定性應(yīng)該是各自不確定性的和,即 f(P_{A},P_{B}) = f(P_{A}) + f(P_{B}) ,它們具有可加性份蝴。

那么不確定性 f 的函數(shù)體要滿足幾個(gè)條件:1.單調(diào)遞減 2.具有可加性 3.f(p)\geq0(p\geq0) 所以很容易想到對數(shù)函數(shù)犁功,即 f(P) = -logP

%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

p = np.arange(0.4, 0.99, 0.01)
f = [-1 * np.log2(a) for a in p]
plt.plot(p,f)
image.png

那么如果考慮這個(gè)信息源的不確定性,即是考慮所有信號產(chǎn)生不確定性的統(tǒng)計(jì)平均值婚夫。 若信息源產(chǎn)生的各信息 1..i..n 的不確定性有 n 種取值:U_{1}..U_{i}..U_{n}浸卦,對應(yīng)的概率為P_{1}..P_{i}..P_{n},并且它們彼此獨(dú)立案糙。 信息的不確定性應(yīng)該為 -logP_{i} 的統(tǒng)計(jì)平均值(期望)(E)限嫌,這就是信息熵(Information Entropy),即 H(U) = E[-logP_{i}] = -\sum_{i=1}^{n} p_{i}logp_{i}
因?yàn)椴淮_定性是抽象出來的,并非實(shí)際值时捌,所以對于對數(shù)的底數(shù)的取值也并無要求怒医,當(dāng)我們以2為底的時(shí)候,單位為bit奢讨;底是e的時(shí)候稚叹,單位是nat。所以這里用2為底拿诸。

同時(shí)扒袖,有 0\leq H(U) \leq logn,證明如下(拉格朗日乘子法):

目標(biāo)函數(shù):H(x)=H[p(1),p(2),..,p(n)]=-[p(1)logp(1)+p(2)logp(2)+..+p(n)logp(n)]

因?yàn)?p(1)+p(2)+..p(n)=1

設(shè)置約束條件 :G(x)=g[p(1),p(2),..,p(n),\lambda]=\lambda*[p(1)+p(2)+..+p(n)-1]=0

設(shè)置拉格朗日函數(shù):
L[p(1),p(2),..,p(n),\lambda]=H(x)+G(x)
p(1),p(2),..,p(n),\lambda 依次求偏導(dǎo)佳镜,令偏導(dǎo)為0僚稿,有:
\frac{\partial L}{\partial p(1)}=\lambda-log[e*p(1)]=0
\frac{\partial L}{\partial p(2)}=\lambda-log[e*p(1)]=0
...
\frac{\partial L}{\partial p(n)}=\lambda-log[e*p(1)]=0
\frac{\partial L}{\partial \lambda}=p(1)+p(2)+..+p(n)-1=0

聯(lián)立得 p(1)=p(2)=..=p(n)

p(1)=p(2)=..=p(n)=\frac{1}{n}

H(\frac{1}{n},\frac{1}{n},..,\frac{1}{n})=-(\frac{1}{n}log\frac{1}{n}+\frac{1}{n}log\frac{1}{n}+..+\frac{1}{n}log\frac{1}{n})=logn

當(dāng)然最簡單的單符號信號源僅取 0 和 1 兩個(gè)元素,其概率為 P 和 1 - P蟀伸,該信源的熵為下面所示

p = np.arange(0.001, 1, 0.001)
H = [-1 * a * np.log2(a) - (1 - a) * np.log2(1 - a) for a in p]
plt.gca().set_ylim([0,1])
plt.gca().set_xlim([0,1])
plt.plot(p,H)
image.png

Joint entropy(聯(lián)合熵)

當(dāng)我們從一維隨機(jī)變量分布推廣到多維隨機(jī)變量分布蚀同,則其聯(lián)合熵(Joint entropy)為:
H(X,Y)=-\sum_{x\in\mathcal{X},y\in\mathcal{Y}}p(x,y)logp(x,y)= -\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m}p(x_{i},y_{j})logp(x_{i},y_{j})

Conditional entropy(條件熵)

條件熵 H(Y|X) 表示在已知隨機(jī)變量 X 的條件下隨機(jī)變量 Y的不確定性
條件熵 H(Y|X) (X \in \mathcal{X},Y \in \mathcal{Y}) 定義為在 X 給定條件下 Y 的條件概率分布的熵對 X 的數(shù)學(xué)期望:
H(Y|X) \equiv \sum_{x\in\mathcal{X}}p(x)H(Y|X=x)
= -\sum_{x\in\mathcal{X}}p(x)\sum_{y\in\mathcal{Y}}p(y|x)logp(y|x)
= -\sum_{x\in\mathcal{X}}\sum_{y\in\mathcal{Y}}p(x,y)logp(y|x)
= -\sum_{x\in\mathcal{X},y\in\mathcal{Y}}p(x,y)logp(y|x)
= -\sum_{x\in\mathcal{X},y\in\mathcal{Y}}p(x,y)log\frac{p(x,y)}{p(x)}
= \sum_{x\in\mathcal{X},y\in\mathcal{Y}}p(x,y)log\frac{p(x)}{p(x,y)}
同時(shí)缅刽,條件熵 H(Y|X) = H(X,Y) - H(X) ,證明如下:

H(Y,X) = -\sum_{x\in\mathcal{X},y\in\mathcal{Y}}p(x,y)logp(x,y)
= -\sum_{x\in\mathcal{X},y\in\mathcal{Y}}p(x,y)log(p(y|x)p(x))
= -\sum_{x\in\mathcal{X},y\in\mathcal{Y}}p(x,y)logp(y|x) - \sum_{x\in\mathcal{X},y\in\mathcal{Y}}p(x,y)logp(x)
= H(Y|X)-\sum_{x\in\mathcal{X}}\sum_{y\in\mathcal{Y}}p(x,y)logp(x)
= H(Y|X)-\sum_{x\in\mathcal{X}}logp(x)\sum_{y\in\mathcal{Y}}p(x,y)
= H(Y|X)-\sum_{x\in\mathcal{X}}logp(x)p(x)
= H(Y|X)-\sum_{x\in\mathcal{X}}p(x)logp(x)
= H(Y|X)+H(X)

即為上式所證

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請聯(lián)系作者
  • 序言:七十年代末蠢络,一起剝皮案震驚了整個(gè)濱河市衰猛,隨后出現(xiàn)的幾起案子,更是在濱河造成了極大的恐慌刹孔,老刑警劉巖啡省,帶你破解...
    沈念sama閱讀 222,681評論 6 517
  • 序言:濱河連續(xù)發(fā)生了三起死亡事件,死亡現(xiàn)場離奇詭異髓霞,居然都是意外死亡卦睹,警方通過查閱死者的電腦和手機(jī),發(fā)現(xiàn)死者居然都...
    沈念sama閱讀 95,205評論 3 399
  • 文/潘曉璐 我一進(jìn)店門方库,熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來结序,“玉大人,你說我怎么就攤上這事纵潦⌒旌祝” “怎么了?”我有些...
    開封第一講書人閱讀 169,421評論 0 362
  • 文/不壞的土叔 我叫張陵邀层,是天一觀的道長返敬。 經(jīng)常有香客問我,道長寥院,這世上最難降的妖魔是什么劲赠? 我笑而不...
    開封第一講書人閱讀 60,114評論 1 300
  • 正文 為了忘掉前任,我火速辦了婚禮只磷,結(jié)果婚禮上经磅,老公的妹妹穿的比我還像新娘。我一直安慰自己钮追,他們只是感情好预厌,可當(dāng)我...
    茶點(diǎn)故事閱讀 69,116評論 6 398
  • 文/花漫 我一把揭開白布。 她就那樣靜靜地躺著元媚,像睡著了一般轧叽。 火紅的嫁衣襯著肌膚如雪。 梳的紋絲不亂的頭發(fā)上刊棕,一...
    開封第一講書人閱讀 52,713評論 1 312
  • 那天炭晒,我揣著相機(jī)與錄音,去河邊找鬼甥角。 笑死网严,一個(gè)胖子當(dāng)著我的面吹牛,可吹牛的內(nèi)容都是我干的嗤无。 我是一名探鬼主播震束,決...
    沈念sama閱讀 41,170評論 3 422
  • 文/蒼蘭香墨 我猛地睜開眼怜庸,長吁一口氣:“原來是場噩夢啊……” “哼!你這毒婦竟也來了垢村?” 一聲冷哼從身側(cè)響起割疾,我...
    開封第一講書人閱讀 40,116評論 0 277
  • 序言:老撾萬榮一對情侶失蹤,失蹤者是張志新(化名)和其女友劉穎嘉栓,沒想到半個(gè)月后宏榕,有當(dāng)?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體,經(jīng)...
    沈念sama閱讀 46,651評論 1 320
  • 正文 獨(dú)居荒郊野嶺守林人離奇死亡侵佃,尸身上長有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛 以下內(nèi)容為張勛視角 年9月15日...
    茶點(diǎn)故事閱讀 38,714評論 3 342
  • 正文 我和宋清朗相戀三年麻昼,在試婚紗的時(shí)候發(fā)現(xiàn)自己被綠了。 大學(xué)時(shí)的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片趣钱。...
    茶點(diǎn)故事閱讀 40,865評論 1 353
  • 序言:一個(gè)原本活蹦亂跳的男人離奇死亡涌献,死狀恐怖,靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出首有,到底是詐尸還是另有隱情,我是刑警寧澤枢劝,帶...
    沈念sama閱讀 36,527評論 5 351
  • 正文 年R本政府宣布井联,位于F島的核電站,受9級特大地震影響您旁,放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏烙常。R本人自食惡果不足惜,卻給世界環(huán)境...
    茶點(diǎn)故事閱讀 42,211評論 3 336
  • 文/蒙蒙 一鹤盒、第九天 我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望蚕脏。 院中可真熱鬧,春花似錦侦锯、人聲如沸驼鞭。這莊子的主人今日做“春日...
    開封第一講書人閱讀 32,699評論 0 25
  • 文/蒼蘭香墨 我抬頭看了看天上的太陽挣棕。三九已至,卻和暖如春亲桥,著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間洛心,已是汗流浹背。 一陣腳步聲響...
    開封第一講書人閱讀 33,814評論 1 274
  • 我被黑心中介騙來泰國打工题篷, 沒想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留词身,地道東北人。 一個(gè)月前我還...
    沈念sama閱讀 49,299評論 3 379
  • 正文 我出身青樓番枚,卻偏偏與公主長得像法严,于是被迫代替她去往敵國和親璧瞬。 傳聞我的和親對象是個(gè)殘疾皇子,可洞房花燭夜當(dāng)晚...
    茶點(diǎn)故事閱讀 45,870評論 2 361

推薦閱讀更多精彩內(nèi)容

  • 轉(zhuǎn)載自 https://mp.weixin.qq.com/s/OXXtPoBrCADbwxVyEbfbYg 25....
    _龍雀閱讀 1,685評論 0 0
  • Welcome To My Blog 最大熵模型(Maximum Entropy Model)屬于對數(shù)線性模型,...
    LittleSasuke閱讀 7,243評論 1 3
  • 羽文如月 當(dāng)滿心美好的憧憬變?yōu)樘摕o渐夸,當(dāng)一腔熱情換來冷漠嗤锉,當(dāng)十足的付出卻收獲了了……你心傷了吧,你悲觀了吧墓塌,你厭世了...
    月滿鐘秀閱讀 332評論 0 3
  • 格列佛利用待在島上的最后三天瘟忱,與近代的魂靈見了面。這一見苫幢,真是“相見恨晚”访诱。真真假假,一下就清楚了韩肝,猶如一...
    童謠桐瑤閱讀 191評論 0 0
  • 今天大風(fēng)降溫触菜,穿了毛衣,吃了羊蝎子哀峻,香噴噴涡相。親愛的媽咪做的,愛你剩蟀,我的媽咪催蝗,雖然我任性,暴躁育特,不知好歹丙号,可你還是一...
    風(fēng)習(xí)習(xí)77閱讀 112評論 0 0