聲明：本套試題的填空題解析補(bǔ)充是本人自己做的固蛾，? 其他的答案來自原題評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)肠缨，如發(fā)現(xiàn)答案有錯(cuò)誤或者不夠準(zhǔn)確請(qǐng)及時(shí)給我留言，如需轉(zhuǎn)載請(qǐng)表明出處哮伟。感謝所有提出意見和建議，以及幫助過我的朋友妄帘。如果覺得還行楞黄，歡迎點(diǎn)贊轉(zhuǎn)發(fā)，謝謝抡驼！
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ***馬上就考試了鬼廓，祝大家逢考必過***
一、用邏輯符號(hào)形式化下列語(yǔ)句（本大題共 2 小題致盟，每小題 2 分碎税，共 4 分）
1．每個(gè)人的指紋都不相同。
解析：設(shè) M(x)：x 是人馏锡；N(x, y)：x ≠ y雷蹂，即 x 與 y 是不同的人；E(x杯道，y)：x 與 y 的指紋相
同匪煌。則原句可形式化為以下兩種形式之一：
說明：如僅缺少 N(x, y)的內(nèi)容，則只給 1 分
2．自然數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，且奇數(shù)不能被 2 整除
解析：設(shè) P(x)：x 是自然數(shù)虐杯，Q(x)：x 是奇數(shù)玛歌，R(x)：x 是偶數(shù)，D(x)：x 能被 2 整除擎椰。
原句可形式化為：
說明：（1）如僅答對(duì)部分內(nèi)容最多給 1 分。
（2）全句必須寫成一個(gè)式子创肥，且中間用聯(lián)結(jié)詞∧聯(lián)結(jié)达舒，否則扣 0.5 分。
二叹侄、填空題（本大題共 4 小題巩搏，第 1 小題每空 1 分，第 2趾代、3贯底、4 小題每空 2 分，共 10 分）
1．設(shè) A撒强、B 均為有窮集合禽捆，A 和 B 的基數(shù)分別是 m 和 n（m >0, n >0）。
（1）當(dāng) m 和 n 滿足 _m = n ______? ? ? 時(shí)飘哨，存在從 A 到 B 的雙射函數(shù)胚想。
? ? ? 此時(shí)共可生成 __m!_____? ? ? 個(gè)不同的雙射函數(shù)。
（2）當(dāng) m 和 n 滿足___ ____? ? ? ? 時(shí)芽隆，存在從 A 到 B 的單射函數(shù)浊服。
? ? ? ? 此時(shí)共可生成 _______? ? ? 個(gè)不同的單射函數(shù)。
解析：該題請(qǐng)參考 同等學(xué)力申碩計(jì)算機(jī)專業(yè)--數(shù)學(xué)公式集合 函數(shù)部分
2．已知 5 位老師和 3 位學(xué)生圍圓桌就座胚吁，如果要求學(xué)生兩兩不相鄰牙躺，則有___1440____? ? ? ? 種就座方案。
解析： 老師圍坐一圈的方法有(5-1)!= 4!=24,此時(shí)有5個(gè)空檔可以安排3位學(xué)生腕扶，這樣可以保證學(xué)生不相鄰孽拷，則有 , 因此總數(shù)為 24*60=1440
3．整除 2310 的正奇數(shù)有 ___16____? ? ? 個(gè)。
解析： 2310的因式分解集合為{1蕉毯，2乓搬，3，5代虾，7进肯，11}，里面除了1以外的數(shù)乘積為奇數(shù)的集合A={3棉磨，5江掩，7，11}，集合A中所有元素出現(xiàn)的次數(shù)為0或1环形，此時(shí)有種減去全0組合策泣，則有15種，再加上元素1的組合有1種抬吟，因此總共有15+1=16種萨咕。
4．設(shè)圖 的頂點(diǎn)集合為V(G)={} ，邊集合為 E(G)={
}火本。則G 的生成樹有 ____8___ 棵危队。
解析：該題先畫圖，接著用破圈法變成生成樹钙畔，刪除可以分為兩個(gè)部分一部分包含邊茫陆，另一部分不包含。包含該邊的有
,不包含的有
,因此總共有8棵樹擎析。
三簿盅、解答題（本大題共 3 小題，第 1揍魂、2 小題每題 4 分桨醋，第 3 小題 8 分，共 16 分）
1．設(shè)愉烙，僅用聯(lián)結(jié)詞↓分別表示出┐P讨盒，P∧Q，P∨Q 步责。
解析：
（1）? ? ? ? ? ? ? ? -----------1 分
（2）
（3）
如（2）返顺、（3）小題中僅做對(duì)一題則給 2 分，（2）和（3）小題都做對(duì)則給 3 分蔓肯。
2．設(shè)T 是一棵有 13 個(gè)頂點(diǎn)的樹遂鹊，稱樹中度為 1 的頂點(diǎn)為葉子。如果T 的頂點(diǎn)的度只可能是 1,2,5 且T 恰好有 3 個(gè)度為 2 的頂點(diǎn)蔗包，那么秉扑，T 中有多少個(gè)葉子？
解析： 設(shè)T 中有 x 個(gè)葉子调限，則T 中有 13 - 3 - x = 10-x? 個(gè)度為 5 的頂點(diǎn)舟陆，
由于樹中的邊數(shù)等于頂點(diǎn)個(gè)數(shù)減去 1，即邊數(shù)為 12? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -----------2 分
由頂點(diǎn)度數(shù)之和等于邊數(shù)的兩倍得 x + 3*2 + 5*(10-x) = 12 * 2 = 24
解得 x = 8耻矮，故 中有8個(gè)葉子秦躯。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -----------2 分
3．求 1,4,5,8,9 這五個(gè)數(shù)字組成的n 位數(shù)的個(gè)數(shù)，要求 4,8 出現(xiàn)的次數(shù)均為偶數(shù)裆装，而 1,5,9 出現(xiàn) 的次數(shù)不加限制踱承。
解析：設(shè)滿足條件的 i 位數(shù)的個(gè)數(shù)為 倡缠，則序列
對(duì)應(yīng)的指數(shù)型母函數(shù)為
? -----------2 分
由于 ,
于是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ---------3 分
則? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ---------2 分
故? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ---------1 分
四、證明題（本大題共 2 小題茎活，第 1 小題 4 分昙沦，第 2 小題 6 分，共 10 分）
1．設(shè) R 是非空集合 A 上的二元關(guān)系载荔，R 滿足條件：
（1）R 是自反的盾饮；
（2）若<a，b>∈R ∧<a身辨，c>∈R丐谋，則<b，c>∈R煌珊；
試證明 R 是 A 上的等價(jià)關(guān)系。
證明：由條件（1）泌豆，R 已滿足自反性定庵。需證明 R 滿足對(duì)稱性和傳遞性。
1）對(duì)于任意的<a踪危，b>蔬浙，
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? <a，b>∈R 且由條件（1）
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? <a贞远，b>∈R ∧<a畴博，a>∈R? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -----------1 3分
由條件（2） <b，a>∈R? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -----------1 分
所以蓝仲，R 滿足對(duì)稱性俱病。
2）對(duì)于任意的<a，b>袱结，<b亮隙，c>
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? <a，b>∈R ∧<b垢夹，c>∈R
由對(duì)稱性? ? ? <b溢吻，a>∈R ∧<b，c>∈R? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -----------1 分
由條件（2） <a果元，c>∈R? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -----------1 分
所以促王，R 滿足傳遞性。 綜合 1）而晒，2）可得蝇狼，R 是 A 上的等價(jià)關(guān)系。
2．隨意地把一個(gè)9X3 棋盤的每個(gè)方格涂成紅色或藍(lán)色欣硼，求證：必有兩行方格的涂色是一樣的题翰。
證明：用紅恶阴、藍(lán)兩色去涂1x3 棋盤，共有 種涂色方法豹障。? ? ? ? ? -----------2 分
設(shè) 表示第i 種涂色方法冯事。 設(shè)
是任一個(gè)已用紅、藍(lán)涂了色的 9x3 棋盤血公，以
表示
的第 k 行的涂色方法昵仅。設(shè)
? 并令
則
且
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -----------2 分
B 中 9 個(gè)元素放到 這 8 個(gè)抽屜里，由鴿籠原理累魔，必有正整數(shù)
使得
, 即
中至少有兩個(gè)元素不妨設(shè)
和
,這說明在
涂色 中摔笤，棋盤的第
行和第
行的涂色一樣。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -----------2 分
