Approximate Integration 近似積分
黎曼求和搀愧，我們把對應(yīng)的[a, b]分成n份，每份大概為 Δx = (b - a)/n
這個(gè)時(shí)候城侧，有：
我們可以用左邊的頂點(diǎn)求和易遣，為：
對應(yīng)的圖像為：
或者，我們用右邊的頂點(diǎn)求和嫌佑，為：
對應(yīng)的圖像為：
當(dāng)我們用中點(diǎn)去求近似的時(shí)候豆茫，會(huì)比左邊，右邊要更好
Midpoint Rule 中點(diǎn)原則
原則定義：
Trapezoidal Rule 梯形原則
原則定義：
這里屋摇，我們可以通過
化簡為上面的公式
例子
一些例子揩魂，
因?yàn)楸容^簡單，只是應(yīng)用炮温，這里就截個(gè)圖
例子1
這里分別用 梯形原則 火脉， 中點(diǎn)原則 求值
n為5的時(shí)候，帶入即可：
對應(yīng)的圖像為：
對應(yīng)的 中點(diǎn)原則 求值，為：
對應(yīng)的圖像為：
我們通過積分倦挂，求得對應(yīng)的真實(shí)值為：
這個(gè)時(shí)候畸颅，我們對比一下對應(yīng)的error誤差：
(Et 表示 Trapezoidal Rule 梯形原則的誤差， Em 表示 Midpoint Rule 中點(diǎn)原則的誤差）
根據(jù)上面的值方援，我們可以得到没炒，對應(yīng)的值大約為：
例子1的地方，
我們用 L 表示左頂點(diǎn)求值犯戏， R表示右頂點(diǎn)求值送火， T表示梯形求值， M表示中點(diǎn)求值
我們可以得到對應(yīng)n的時(shí)候笛丙，對應(yīng)的值
根據(jù)上面的近似值漾脂，可以得到對應(yīng)的相對誤差E
我們可以通過表格發(fā)現(xiàn)，對應(yīng)的 L胚鸯， R骨稿， 沒有 T 和 M相對誤差小
Error Bounds 誤差范圍
對應(yīng)的誤差范圍：
例子2
根據(jù)上面的公式，這里 根據(jù)
可以得到：
最后得到結(jié)果：
即：
所以姜钳， n = 41的時(shí)候坦冠， 可以滿足對應(yīng)的精度。
同理哥桥， 對 Midpoint Rule 中點(diǎn)原則
有：
例子3
（a）我們當(dāng) a = 0辙浑，b = 1，n = 10拟糕， 和 中點(diǎn)原則 可以有：
（b）我們可以得到
可以求得：
根據(jù)上面的公式判呕，可以得到：
Simpson’s Rule 辛普森法則
例子4
簡單套 Simpson’s Rule 辛普森法則 公式，
Error Bound for Simpson’s Rule
這里當(dāng)2次翻倍的時(shí)候送滞，也就是4次求導(dǎo)
可以得到對應(yīng)的 辛普森法則侠草， 求出 辛普森法則 的誤差范圍
例子6
這個(gè)時(shí)候，我們要對應(yīng)的進(jìn)度到達(dá)0.0001
我們先多次求導(dǎo)犁嗅，可以得到：
這里因?yàn)樽宰兞糠秶窃?和2之間边涕，所以
根據(jù)上面的公司，有不等式：
有：
即：
