三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用和最值問題,三角最精華部分吆熏挎!關(guān)注起來

????????Hello速勇,大家好,前面講了三角公式的恒等變換坎拐,透徹理解各個(gè)三角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系烦磁,相信大家意猶未盡养匈,今天繼續(xù)對(duì)三角公式我們展開其在三角函數(shù)解題方面的相關(guān)模型和最值方面的應(yīng)用,內(nèi)容干貨滿滿都伪,一定要通讀哈呕乎!

就三角函數(shù)模型,我們主要有以下幾個(gè)方面的簡單應(yīng)用:

第一陨晶、有解析式猬仁,求出函數(shù)圖像,并做性質(zhì)研究先誉,具體體現(xiàn)在湿刽;

已知y=Asin(ωx+ψ)圖像,求函數(shù)解析式褐耳;這類問題叭爱,我們主要用"五點(diǎn)法"來確定其中的系數(shù);

對(duì)照y=sinx漱病,在【0买雾,2π】區(qū)間范圍內(nèi),三個(gè)平衡點(diǎn)杨帽,2個(gè)極值點(diǎn)漓穿,如下圖所標(biāo)示:


利用五點(diǎn)法實(shí)例來刻畫:

1、A的確定注盈,一般可由圖像的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)來確定|A|晃危;

2、ω的確定老客,往往通過求周期T來確定僚饭,可通過已知函數(shù)曲線與x軸的交點(diǎn)從而來確定T,也即相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)之間的距離為T/2,相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)(或者最低點(diǎn))之間的距離為T胧砰;

3鳍鸵、ψ的確定,從尋找“五點(diǎn)法”中的第一零點(diǎn)(-ψ/ω尉间,0)(也叫作初始點(diǎn))作為突破口偿乖,要從圖像的升降情況找準(zhǔn)第一零點(diǎn)的位置。

第二哲嘲、已知解析式作圖-通常就是用五點(diǎn)法作圖贪薪,這里切記正余弦函數(shù)3個(gè)平衡點(diǎn),2個(gè)極值點(diǎn)眠副。

第三画切、三角函數(shù)的模型應(yīng)用,這類問題主要聚焦在實(shí)際問題的轉(zhuǎn)化上面囱怕,首先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問題霍弹,然后利用三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解毫别。

常見的最值問題是我們繼三角函數(shù)模型之外我們談的第二個(gè)大點(diǎn):

常見題型有以下六種情形:

1、y=asinx+b(或者y=acosx+b)型庞萍,這類問題主要是利用正余弦函數(shù)的有界性來解決問題拧烦,注意解題的時(shí)候忘闻,需對(duì)字母a的符號(hào)進(jìn)行分類討論钝计;

2、y=asinx+bcosx+c型齐佳,這類問題主要是借助于輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化私恬,然后在利用正余弦函數(shù)的有界性來求得值域;

3炼吴、y=asin2x+bsinx+c型本鸣,這類問題主要是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題,這里需要關(guān)注|sinx|≤1硅蹦,荣德;

4、y=(asinx+b)/(csinx+d)型童芹,這類問題主要是反解出sinx涮瞻,劃歸為|sinx|≤1求值;

5假褪、y=(asinx+b)/(ccosx+d)型署咽,這類問題主要是把它看做方程,整理成y=asinx+bcosx+c型生音,利用輔助角公式來進(jìn)一步解決問題宁否;

6、y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c型缀遍,這類問題我們一般采用的是換元法來進(jìn)行解決問題慕匠;令t=sinx±cosx后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題;

針對(duì)以上六種情形域醇,我們的方法主要匯總?cè)缦拢?/p>

1絮重、配方法:函數(shù)表達(dá)式中只含有正弦或者余弦函數(shù),且他們的最高次數(shù)為2次時(shí)歹苦,我們

通過配方或者換元將給定的函數(shù)化為二次函數(shù)最值問題來處理青伤;

2、引入輔助角公式法:此類問題為y=asin2x+bsinx·cosx+ccos2x的三角函數(shù)求最值問題殴瘦,他可通過降次化簡整理為y=asinx+bcosx的形式求解狠角;

3、利用三角函數(shù)的有界性:y=(asinx+b)/(csinx+d)型的三角函數(shù)求最值問題蚪腋,分子分母的三角函數(shù)同名丰歌、同角姨蟋,一般就是化為關(guān)于sinx的部分分式,再利用三角函數(shù)的有界性來求值立帖。

4眼溶、換元法(引入?yún)?shù)法):對(duì)于式子中同事含有sinx±cosx與sinx·cosx的函數(shù),運(yùn)用關(guān)系式(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx晓勇,一般都采用換元法·堂飞,化為關(guān)于t(t=sinx±cosx)的二次函數(shù)去求最值,這里需要注意的是換元后新變量t的取值范圍绑咱。

5绰筛、數(shù)形結(jié)合法:由sin2x+cos2x=1,所以從圖形考慮描融,點(diǎn)(cosx铝噩,sinx)在單位圓上,這樣對(duì)于既含有正弦sinx窿克,又含有余弦cosx的三角函數(shù)的最值問題骏庸,我們可以考慮數(shù)形結(jié)合這種幾何辦法求得。

就以上三角函數(shù)模型以及最值問題年叮,我們解決的過程中常常伴隨著各種方法和技巧具被,如何把他們?nèi)跁?huì)貫通呢?大黃這里有幾句話想告訴大家:

第一谋右、變角

根據(jù)角與角之間的和差倍半硬猫、互補(bǔ)、互余等關(guān)系改执,化異角為同角啸蜜,化復(fù)角為單角,使已知角與所求角互相溝通辈挂;

第二衬横、升降冪

對(duì)次數(shù)高的三角函數(shù)式一般采取降冪處理,對(duì)化簡根式問題采取升冪辦法终蒂;

第三蜂林、常數(shù)巧變

將常數(shù)值轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值,有的時(shí)候能起到特殊效果拇泣;

第四噪叙、變名稱

變不同名稱函數(shù)為同名函數(shù),通常是切割化弦或者是弦化弦霉翔;

第五睁蕾、平方

如果給出的兩式是兩個(gè)單角形式,而所求的是兩角和與差的形式,可考慮兩式平方之后再相加減子眶;

第六瀑凝、消元

考察題目的結(jié)構(gòu),如果題設(shè)部分含有的角在結(jié)論中沒有出現(xiàn)臭杰,可考慮消元法粤咪,快速定位;

第七渴杆、配方

根據(jù)給出的式子寥枝,如果平方項(xiàng)較多,可用配方法解決問題将塑;

以上脉顿,主要匯聚了三角函數(shù)各種模型的簡單應(yīng)用和最值問題的解決之道蝌麸,通過上面所講点寥,相信大家對(duì)這類問題有所了解,下面關(guān)鍵是實(shí)踐来吩,俗話說:實(shí)踐出真知敢辩。

在實(shí)踐中,這類問題中弟疆,一個(gè)容易犯的錯(cuò)誤提請(qǐng)大家注意:

★★★? 在利用基本不等式求函數(shù)最值的時(shí)候戚长,一定要注意等號(hào)成立條件,千萬別踏進(jìn)題干所設(shè)計(jì)的誤區(qū)怠苔。

以上同廉,就是本篇就三角函數(shù)模型和最值問題的訴說,可以說是三角部分的最精華部分柑司,請(qǐng)大家積極關(guān)注起來迫肖,如有什么不懂的地方,可評(píng)論區(qū)留言攒驰,我們共享討論的樂趣蟆湖。


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