1. 一階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：圖像的梯度

1) 用途:

在圖像處理中, 常用梯度求取圖像的邊緣, 這是一個(gè)很基礎(chǔ)的應(yīng)用. 下圖為在OpenCV中使用cvSobel()函數(shù)的具體效果. 四張圖分別為: 原圖, 在x方向上的梯度, y方向上的梯度, xy方向上的梯度.

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2) 二元函數(shù)

這里我們只討論二元函數(shù)z=f(x,y)的導(dǎo)數(shù), 通常把二元函數(shù)想像成一個(gè)曲面, 公式中的x,y,z分別映射到坐標(biāo)系中的x,y,z軸. 于是我們看到了很多像山坡一樣的三維圖, 切線(xiàn), 切面, 很看來(lái)很復(fù)雜．我覺(jué)得從圖像處理的角度看二元函數(shù)似乎更容易理解, 為了簡(jiǎn)化, 我們以一張黑白圖為例. x,y軸分別對(duì)應(yīng)成圖像的寬和高, 顏色的灰度對(duì)應(yīng)z值: z = f(x,y)仔雷，每個(gè)像素點(diǎn)的顏色值是其坐標(biāo)(x,y)的函數(shù)．

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3) 梯度的定義

函數(shù) z = f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)碟婆，則對(duì)于每一個(gè)屬于D的點(diǎn)P(x,y)脑融，都可定出一個(gè)向量，這個(gè)向量稱(chēng)為函數(shù) z = f(x,y)在點(diǎn)P處的梯度．記作gradf(x,y). 一般通過(guò)求導(dǎo)(微分)來(lái)實(shí)現(xiàn)的. 導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)甥温。描述了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的變化率妓布。

4) 離散圖像的梯度

由于圖像是一個(gè)離散空間匣沼，無(wú)法求真正的導(dǎo)數(shù)，只能通過(guò)多項(xiàng)式擬合．圖像中某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)加叁，就是該點(diǎn)在x方向和y方向上的變化率．圖像梯度公式如下：gradf(x,y) = dx i + dy j;dx(i,j) = I(i+1,j) - I(i,j); // x方向偏導(dǎo)，近似為某行與其上一行的差值dy(i,j) = I(i,j+1) - I(i,j); // y方向偏導(dǎo)展融，近似為某列與其上一列的差值其中豫柬，I是圖像像素的值(亮度值)烧给，(i,j)為像素的坐標(biāo)。

5) 如何衡量梯度

梯度就是某一點(diǎn)的變化率, 比如圖像中的一點(diǎn), 它可在多個(gè)方向上變化 (比如：上,下,左,右,左上,右下指么，各個(gè)角度…), 到底哪個(gè)方向上變化最大? 變化有大呢? 這就是梯度的兩個(gè)重要量度：梯度的方向和梯度的值．梯度的方向: 函數(shù)f(x,y)在P(x,y)點(diǎn)增長(zhǎng)最快的方向, 即方向?qū)?shù)中取到最大值的方向.梯度的值：方向?qū)?shù)的最大值．
a) 方向?qū)?shù)
如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)是可微分的涧尿，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l的方向?qū)?shù)都存在檬贰，且有

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其中φ為x軸到方向l的轉(zhuǎn)角.

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b) 梯度的模
梯度是方向?qū)?shù)分別在x,y軸的投影（dx(i,j)桥言，dy(i,j)）．梯度的模就是方向?qū)?shù)的值葵礼，用勾股定理求得.

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c) 梯度的方向
x軸到l的轉(zhuǎn)角的正切為

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已知x,y方向上的偏導(dǎo), 再通過(guò)反正切, 就可以求出具體的角度(與x軸的夾角), 即梯度的方向．

6) 更復(fù)雜的情況

為簡(jiǎn)單說(shuō)明鸳粉，上面只考慮了一個(gè)象素與它上一行／上一列的差值，實(shí)際運(yùn)算時(shí)枯夜，一般考慮以它為中心的NxN的小區(qū)域湖雹，小區(qū)域中各點(diǎn)權(quán)重不同曙搬，通過(guò)卷積計(jì)算（離得越遠(yuǎn)的點(diǎn)鸽嫂，權(quán)重越芯菽场）稳诚，從而計(jì)算它各個(gè)方向上的變化．

7) 梯度圖像

由圖像上各點(diǎn)的梯度值構(gòu)成的圖像成為梯度圖像, 往往放在另一個(gè)矩陣中, 看起來(lái)就是輪廓圖, 即上面公式中的gradf(x,y)在各個(gè)x,y點(diǎn)上的值的序列.

2. 二階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉普拉斯變換

1) 用途

用于檢測(cè)團(tuán)塊扳还，邊緣檢測(cè)橱夭，突出圖像中的孤立點(diǎn)氨距、孤立線(xiàn)或線(xiàn)端點(diǎn)為目的的場(chǎng)合；圖像的銳化操作（拉普拉斯變換后的圖與原圖疊加）

2) 方法

對(duì)x和y方向求二階偏導(dǎo)數(shù)棘劣，然后相加

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該方程的離散形式是

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為什么二階導(dǎo)數(shù)這樣離散成這種形式呢俏让？以x方向?yàn)槔ㄒ?jiàn)下圖），點(diǎn)與其鄰近點(diǎn)的差導(dǎo)是一階導(dǎo)數(shù)茬暇，如：(f(x+1,y) - f(x,y) 和(f(x,y) - f(x-1,y))一階導(dǎo)數(shù)（梯度圖像）的差異就是二階導(dǎo)數(shù)(f(x+1,y) - f(x,y)) - (f(x,y) - f(x-1,y)) = f(x+1,y) + f(x-1,y) – 2f(x,y)y方同理首昔，即得出以上公式

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當(dāng)在圖像邊緣作用時(shí)（例如，從暗到亮）我們可以觀察到灰度值的上升必然意味著從正曲度（強(qiáng)度升高）到負(fù)曲度（強(qiáng)度達(dá)到瓶頸）的變化糙俗。因此勒奇，拉普拉斯變換結(jié)果從正到負(fù)（或者相反）組成了一個(gè)圖像邊沿的很好的指示器巧骚。另一種方法表達(dá)這個(gè)事實(shí)是說(shuō)赊颠，邊沿出現(xiàn)在拉普拉斯變換的過(guò)零點(diǎn)處。

3. 參考

1.         多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用《高等數(shù)學(xué)》下冊(cè)劈彪，“方向?qū)?shù)與梯度”章節(jié)
   

2.         圖像處理中的拉普拉斯算子http://www.cnblogs.com/xfzhang/archive/2011/01/19/1939020.html