高計及stata應用陳強版第6章_最大似然估計

如果回歸模型存在非線性,可能不方便使用OLS,這時采用最大似然估計法(MLE)或非線性最小二乘法(NLS)

6.1 最大似然估計法的定義

  1. 似然函數(shù)(likelihood function)的公式:
    \mathtt{L}(\theta;\boldsymbol{y_1},...\boldsymbol{y_n})=\prod_{i=1}^nf(\boldsymbol{y_i}:\theta)
    含義:抽樣之前\left\{\boldsymbol{y_1},...\boldsymbol{y_n}\right\}是隨機向量忆某,抽樣之后\left\{\boldsymbol{y_1},...\boldsymbol{y_n}\right\}有了特定的樣本值洗显,可以將樣本的聯(lián)合密度函數(shù)看做在\left\{\boldsymbol{y_1},...\boldsymbol{y_n}\right\}給定的情況下爬橡,未知參數(shù)\theta的函數(shù)忘闻,即似然函數(shù)解決的問題是:我們抽到的這個樣本最有可能來自參數(shù)\hat\theta_{ML}為什么值的總體呢?或者說我們要找到一個參數(shù)\theta酿炸,使得我們觀測到這個樣本的概率最大瘫絮。
    備注:一般為了計算方便,對似然函數(shù)做取對數(shù)填硕,將乘積形式轉化為和的形式的處理
  2. 似然函數(shù)的得分函數(shù)
    在數(shù)學上檀何,常把最大似然估計量\hat\theta_{ML}寫為:
    \hat\theta_{ML}\equiv argmax ln\mathtt{L}(\theta;\boldsymbol{y})求一階條件,有:
    得分函數(shù).jpg
    該一階條件被稱為“得分函數(shù)(score function)”或“得分向量(score vector)”如果似然函數(shù)正確廷支,則得分函數(shù)在\theta=\theta_0處的期望為0,即:
    \mathbb{E}\left[\boldsymbol{s}(\theta_o;\boldsymbol{y})\right]=0

6.2 線性回歸模型的最大似然估計

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