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康托展開的公式是 X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中份汗，ai為當(dāng)前未出現(xiàn)的元素中是排在第幾個（從0開始）昔逗。
這個公式可能看著讓人頭大，最好舉個例子來說明一下如贷。
例如，有一個數(shù)組 s = ["A", "B", "C", "D"]诗力，它的一個排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"]烙心，現(xiàn)在要把 s1 映射成 X。n 指的是數(shù)組的長度选泻，也就是4冲粤，所以
X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!
關(guān)鍵問題是 a4、a3页眯、a2 和 a1 等于啥梯捕？
a4 = "D" 這個元素在子數(shù)組 ["D", "B", "A", "C"] 中是第幾大的元素。"A"是第0大的元素窝撵，"B"是第1大的元素傀顾，"C" 是第2大的元素，"D"是第3大的元素碌奉，所以 a4 = 3短曾。
a3 = "B" 這個元素在子數(shù)組 ["B", "A", "C"] 中是第幾大的元素。"A"是第0大的元素赐劣，"B"是第1大的元素嫉拐，"C" 是第2大的元素，所以 a3 = 1魁兼。
a2 = "A" 這個元素在子數(shù)組 ["A", "C"] 中是第幾大的元素婉徘。"A"是第0大的元素，"C"是第1大的元素，所以 a2 = 0盖呼。
a1 = "C" 這個元素在子數(shù)組 ["C"] 中是第幾大的元素儒鹿。"C" 是第0大的元素，所以 a1 = 0塌计。（因為子數(shù)組只有1個元素挺身，所以a1總是為0）
所以，X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
A B C | 0
A C B | 1
B A C | 2
B C A | 3
C A B | 4
C B A | 5
通過康托逆展開生成全排列
如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"]锌仅，X(s1) = 20章钾，能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢？
因為已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20热芹，所以問題變成由 20 能否唯一地映射出一組 a4贱傀、a3、a2伊脓、a1府寒？如果不考慮 ai 的取值范圍，有
3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20
1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20
等等报腔。但是滿足 0 <= ai <= n-1 的只有第一組株搔。
可以使用輾轉(zhuǎn)相除的方法得到 ai，如下圖所示：
知道了a4纯蛾、a3纤房、a2、a1的值翻诉，就可以知道s1[0] 是子數(shù)組["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D"炮姨，s1[1] 是子數(shù)組 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B"，s1[2] 是子數(shù)組 ["A", "C"] 中第0大的元素"A"碰煌，s[3] 是子數(shù)組 ["C"] 中第0大的元素"C"舒岸，所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<string>
#include<cstdlib>
using namespace std;
class Cantor
{
private:
string str;//要康托展開的字符串
char *indexStr;//str排序后的字符串
int len;//字符串長度
int *fact;//階乘
void Init();
void toCharArray();
public:
Cantor(string str):str(str),len(str.length())
{
Init();
};
int encode(string ss);
string decode(int val);
};
void Cantor::Init()
{
fact=new int[len];
fact[0]=fact[1]=1;
for(int i=2;i<len;i++)
{
fact[i]=i*fact[i-1];
}
toCharArray();
}
void Cantor::toCharArray()
{
indexStr=new char[len];
for(int i=0;i<len;i++)
{
indexStr[i]=str[i];
}
sort(indexStr,indexStr+len);
}
int Cantor::encode(string ss)//返回字符串在全排列中的字典位置芦圾，從0開始
{
int cnt,pos=0;
for(int i=0;i<len;i++)
{
cnt=0;
for(int j=i;j<len;j++)
{
if(ss[i]>ss[j]) cnt++;
}
pos+=cnt*fact[len-i-1];
}
return pos;
}
string Cantor::decode(int val)//通過字符串在全排列中的字典位置找到相應(yīng)的字符串
{
div_t divResult;//求商和余數(shù)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)
string order,res;
vector<int> num;
for(int i=0;i<len;i++)
{
num.push_back(i);
}
for(int i=len-1;i>=0;i--)
{
divResult=div(val,fact[i]);
order.push_back(num[divResult.quot]);
num.erase(num.begin()+divResult.quot);
val=divResult.rem;
}
for(int i=0;i<len;i++)
{
res.push_back(indexStr[order[i]]);
}
return res;
}
int main(){
Cantor cantor("ABCD");
cout<<cantor.encode("DBAC")<<endl;
cout<<cantor.decode(cantor.encode("DBAC"))<<endl;
cout<<cantor.encode("BCAD")<<endl;
cout<<cantor.decode(cantor.encode("BCAD"))<<endl;
}
