相信很多同學(xué)都知道“貝塞爾曲線”這個詞荔烧，我們在很多地方都能經(jīng)扯遗牵看到预烙。但是，可能并不是每位同學(xué)都清楚地知道道媚，到底什么是“貝塞爾曲線”扁掸，又是什么特點讓它有這么高的知名度翘县。
貝塞爾曲線的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是早在 1912 年就廣為人知的伯恩斯坦多項式。但直到 1959 年谴分，當(dāng)時就職于雪鐵龍的法國數(shù)學(xué)家?Paul de Casteljau?才開始對它進行圖形化應(yīng)用的嘗試锈麸，并提出了一種數(shù)值穩(wěn)定的?de Casteljau 算法。然而貝塞爾曲線的得名牺蹄，卻是由于 1962 年另一位就職于雷諾的法國工程師?Pierre Bézier?的廣泛宣傳忘伞。他使用這種只需要很少的控制點就能夠生成復(fù)雜平滑曲線的方法，來輔助汽車車體的工業(yè)設(shè)計沙兰。
正是因為控制簡便卻具有極強的描述能力氓奈，貝塞爾曲線在工業(yè)設(shè)計領(lǐng)域迅速得到了廣泛的應(yīng)用。不僅如此鼎天，在計算機圖形學(xué)領(lǐng)域舀奶，尤其是矢量圖形學(xué)，貝塞爾曲線也占有重要的地位斋射。今天我們最常見的一些矢量繪圖軟件育勺，如 Flash、Illustrator罗岖、CorelDraw 等涧至，無一例外都提供了繪制貝塞爾曲線的功能。甚至像 Photoshop 這樣的位圖編輯軟件桑包，也把貝塞爾曲線作為僅有的矢量繪制工具（鋼筆工具）包含其中南蓬。
貝塞爾曲線在 web 開發(fā)領(lǐng)域同樣占有一席之地。CSS3 新增了?transition-timing-function?屬性哑了，它的取值就可以設(shè)置為一個三次貝塞爾曲線方程赘方。在此之前，也有不少 JavaScript 動畫庫使用貝塞爾曲線來實現(xiàn)美觀逼真的緩動效果垒手。
下面我們就通過例子來了解一下如何用 de Casteljau 算法繪制一條貝塞爾曲線。
在平面內(nèi)任選 3 個不共線的點倒信，依次用線段連接科贬。
在第一條線段上任選一個點 D。計算該點到線段起點的距離 AD鳖悠，與該線段總長 AB 的比例榜掌。
根據(jù)上一步得到的比例，從第二條線段上找出對應(yīng)的點 E乘综，使得?AD:AB=BE:BC憎账。
連接這兩點 DE。
從新的線段 DE 上再次找出相同比例的點 F卡辰，使得?DF:DE=AD:AB=BE:BC胞皱。
到這里邪意，我們就確定了貝塞爾曲線上的一個點 F。接下來反砌，請稍微回想一下中學(xué)所學(xué)的極限知識雾鬼，讓選取的點 D 在第一條線段上從起點 A 移動到終點 B，找出所有的貝塞爾曲線上的點 F宴树。所有的點找出來之后策菜，我們也得到了這條貝塞爾曲線。
如果你實在想象不出這個過程酒贬，沒關(guān)系又憨，看動畫！
回過頭來看這條貝塞爾曲線锭吨，為了確定曲線上的一個點蠢莺，需要進行兩輪取點的操作，因此我們稱得到的貝塞爾曲線為二次曲線（這樣記憶很直觀耐齐，但曲線的次數(shù)其實是由前面提到的伯恩斯坦多項式?jīng)Q定的）浪秘。
當(dāng)控制點個數(shù)為 4 時，情況是怎樣的埠况？
步驟都是相同的耸携，只不過我們每確定一個貝塞爾曲線上的點，要進行三輪取點操作辕翰。如圖夺衍，AE:AB=BF:BC=CG:CD=EH:EF=FI:FG=HJ:HI，其中點 J 就是最終得到的貝塞爾曲線上的一個點喜命。
這樣我們得到的是一條三次貝塞爾曲線沟沙。
看過了二次和三次曲線，更高次的貝塞爾曲線大家應(yīng)該也知道要怎么畫了吧壁榕。那么比二次曲線更簡單的一次（線性）貝塞爾曲線存在嗎矛紫？長什么樣？根據(jù)前面的介紹牌里，只要稍作思考颊咬，想必你也能猜出來了。哈牡辽！就是一條直線~
能畫曲線也能畫直線喳篇，是不是很厲害？要繪制更復(fù)雜的曲線态辛，控制點的增加也僅僅是線性的麸澜。這一特點使其不光在工業(yè)設(shè)計領(lǐng)域大展拳腳，就連數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好的人也可以比較容易地掌握奏黑，比如大多數(shù)平面美術(shù)設(shè)計師們炊邦。
上面介紹的內(nèi)容并不足以展示貝塞爾曲線的真正威力编矾。推廣到三維空間的貝塞爾曲面，以及更進一步的非均勻有理 B 樣條（NURBS）铣耘，早已成為當(dāng)今計算機輔助設(shè)計（CAD）的行業(yè)標準洽沟，不論是我們平常用到的各種產(chǎn)品，還是在電影院看到的精彩大片蜗细，都少不了它們的功勞裆操。
動態(tài)繪制貝塞爾曲線的在線演示
– 完 –
