PCA 隨筆

給大家解釋一個問題钠糊，我們可以基于64×64像素的灰度圖像表示通過在圖像周圍填充 0 來將圖片變?yōu)?100×100 大小圖片，同時對圖像進行隨機變化(移動和旋轉(zhuǎn))來得到 100×100=10000維數(shù)據(jù)空間壹哺。然而抄伍，在這些圖像的數(shù)據(jù)集中，只有三個自由度的可變性管宵，對應(yīng)于垂直和水平的平移和旋轉(zhuǎn)逝慧。因此昔脯，數(shù)據(jù)點將位于數(shù)據(jù)空間的一個子空間上，其內(nèi)在維數(shù)為3笛臣。

主成分分析(PCA)

  • 降維思想
  • 特征冗余

D =\{(x^{(1)},y^{(1)}),(x^{(2)},y^{(2)}),\cdots,(x^{(N)},y^{(N)}) \}

N 個維度有冗余云稚，如何從 N 個維度中選取 M 個維度 (M < N),使識別率最高。
N 個維度\{ x_1, x_2, \cdots, x_N \} 構(gòu)造 \{f_1(x_1,x_2,\cdots,x_N),f_2(x_1,x_2,\cdots,x_N) \cdots,f_m(x_1,x_2,\cdots,x_N) \}

主成分分析

Y = AX + b

  • A_{M \times N}

  • X_{N \times 1}

  • b_{N \times 1}

  • 主成分分析可以看成是一個一層有 M 神經(jīng)元神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)沈堡。

  • 尋找一個方差最大的方向静陈，并在該方向上投影，

\begin{aligned} Y = A(X - \overline{X})\\ \overline{X} = E(X) \\ \overline{X} = \frac{1}{p} \sum_{i=1}^p X_i \end{aligned}

A = \begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{M} \end{bmatrix}

  • a_i 代表一個投影方向

Y^{(i)} = \begin{bmatrix} a_1(X^{(i)} - \overline{X})\\ a_2(X^{(i)} - \overline{X})\\ \vdots\\ a_m(X^{(i)} - \overline{X})\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_1^{(i)}\\ y_2^{(i)}\\ \vdots\\ y_m^{(i)} \end{bmatrix}

最大化 \sum_{i=1}^p (y_1^{(i)} - \overline{y}_1^{(i)})^2

\begin{aligned} \overline{y}_1^{(i)} = \frac{1}{p} \sum_{i=1}^p y_1^{(i)}\\ = \frac{1}{p} \sum_{i=1}^p a_1(X^{(i)} - \overline{X})\\ = \frac{a_1}{p} \sum_{i=1}^p p X^{(i)} - p \overline{X} \end{aligned}

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