A monad is just a monoid in the category of endofunctors, what's the problem?
作為一個(gè)計(jì)算機(jī)工作者毫缆，這句話對(duì)你造成過(guò)多少點(diǎn)的裝逼傷害泳唠？是時(shí)候弄明白這句話的意思了缭保。
搞清楚Monad需要了解的概念
1. Category:?
注意：
1. Category與集合不同，不只包括元素（objects）恩闻，還包括了元素之上的態(tài)射（morphisms），態(tài)射的二元運(yùn)算°還需滿足結(jié)合律（associativity），并且對(duì)identity的存在性有要求挺邀。
2. 給定Category C，C的元素ob(C)是一個(gè)類（class）跳座，類是比集合（set）大的一個(gè)概念端铛，兩者區(qū)別可以從羅素悖論（Russell paradox）進(jìn)一步了解。如果不想分散注意力疲眷，暫時(shí)可以認(rèn)為該類就是一個(gè)集合禾蚕。
3. 二元運(yùn)算是態(tài)射的運(yùn)算，不是元素的
2. Functor
Functor是個(gè)范疇與范疇之間的映射（mapping）狂丝』幌可以看作是范疇間的同態(tài)（homomorphism），其特點(diǎn)是保留結(jié)構(gòu)（structure-preserving）的几颜，所謂結(jié)構(gòu)保留體現(xiàn)在不只映射元素倍试，同時(shí)映射態(tài)射。如下圖所示：
根據(jù)范疇的定義蛋哭，很自然的可以得出：
3. Endofunctor
A functor that maps a category to itself.
endofunctor的概念很簡(jiǎn)單县习，但是，是不是endofunctor就是identity functor呢？并不是躁愿，如果那樣想叛本，就是給endofunctor額外的限制了。試著看下圖
再來(lái)一圖
4. Natural transformations
一句話解釋彤钟，自然變換(Natural Transformation)就是對(duì)于屬于Category C的任意X来候，F(xiàn)（X）到G（X）之間態(tài)射的集合。注意F（X）與G（X）都屬于Category D样勃。類比于codomain吠勘，自然變換在"co-category"上。
5. Monad
Monad簡(jiǎn)單說(shuō)就是1+2峡眶，1個(gè)endofunctor+2個(gè)natural transformations剧防。
η的含義比較簡(jiǎn)單，根據(jù)定義辫樱，1c是identity functor峭拘，顯然是一個(gè)特殊的endofunctor。根據(jù)自然變換的定義1c->T不能理解狮暑。
μ的含義需要先理解T°T的意思鸡挠，即對(duì)范疇進(jìn)行兩次mapping，不難得出T°T依然是endofunctor搬男。
看個(gè)圖:
看看什么是a monoid in the category of endofunctors
1. Monoid
2. The category of endofunctors
這個(gè)Category我們記作[C,C]拣展，簡(jiǎn)單說(shuō)，就是所有C->C的endofunctors構(gòu)成的范疇缔逛，這個(gè)范疇的元素是endofunctors备埃，態(tài)射是自然變換。注意褐奴，[C,C]是一個(gè)monoidal category按脚，這個(gè)在網(wǎng)上可以找到證明，此處不贅述敦冬。
So, A monad is a monoid in the category of endofunctors
到此時(shí)辅搬，很容易發(fā)現(xiàn)，什么是monad的兩種描述脖旱，本質(zhì)上描述的是相同的東西堪遂。就是一個(gè)1+2（1個(gè)endofunctors，加2個(gè)特殊的自然變換）
注意
wiki上還有定義說(shuō)monoid是一個(gè)滿足特殊條件的 Set萌庆，那到底monoid是Set還是Endofunctor呢溶褪？我在另外一篇文章做了解釋。
