【圖像處理】直方圖均衡與匹配

灰度直方圖

灰度直方圖：圖像灰度直方圖描述的是圖像各個(gè)灰度級(jí)的統(tǒng)計(jì)特性，橫坐標(biāo)表示各級(jí)灰度值，縱坐標(biāo)表示各級(jí)灰度值在圖像中對(duì)應(yīng)的像素個(gè)數(shù)昨寞。

比如灰度級(jí)范圍為[0,L-1]的數(shù)字圖像的灰度直方圖可以如下離散函數(shù)來(lái)表示：

$h(r_{k})=n_{k}$

其中关划，r_k表示第k級(jí)灰度值，n_k表示圖像中灰度為r_k的像素個(gè)數(shù)官辈，k=0,1,...,L-1箱舞。

歸一化灰度直方圖

歸一化灰度直方圖：橫坐標(biāo)表示各級(jí)灰度值，縱坐標(biāo)表示各級(jí)灰度值在圖像中出現(xiàn)的概率統(tǒng)計(jì)拳亿。歸一化直方圖的縱坐標(biāo)分量之和應(yīng)等于1晴股。

$p(r_{k})=n_{k}/MN$

其中，r_k表示第k級(jí)灰度值肺魁，n_k表示圖像中灰度為r_k的像素個(gè)數(shù)电湘，M與N表示圖像的行和列，p(r_k)表示灰度級(jí)r_k在圖像中出現(xiàn)的概率值鹅经，k=0,1,...,L-1寂呛。

累積直方圖

累計(jì)直方圖：代表圖像組成成分在灰度級(jí)的累計(jì)概率分布情況，每一個(gè)概率值代表小于等于此灰度值的概率瞬雹。

$c(r_{k})=\sum_{i=0}^{k}n_{i}/MN=\sum_{i=0}^{k}p(r_{i})$

其中昧谊，r_k表示第k級(jí)灰度值，n_k表示圖像中灰度為r_k的像素個(gè)數(shù)酗捌，M與N表示圖像的行和列呢诬，p(r_k)表示灰度級(jí)r_k在圖像中出現(xiàn)的概率值涌哲，c(r_k)表示累積值，k=0,1,...,L-1尚镰。

從上圖可以看出阀圾，在暗圖像中，灰度直方圖的分量集中在灰度級(jí)的低端狗唉；在亮圖像中初烘，灰度直方圖的分量集中在灰度級(jí)的高端；低對(duì)比圖圖像具有較窄的灰度直方圖分俯；高對(duì)比度圖像中灰度直方圖的分量覆蓋很寬的灰度級(jí)范圍肾筐，且像素的分布沒(méi)有太不均勻，只有少量垂線比其它高許多缸剪。

直方圖均衡

直方圖均衡：是將當(dāng)前的灰度分布通過(guò)一個(gè)變換函數(shù)吗铐，變換為范圍更寬、灰度分布更均勻的圖像杏节，也就是將原圖像的直方圖修改為在整個(gè)灰度區(qū)間內(nèi)大致均勻分布唬渗，因此擴(kuò)大了圖像的動(dòng)態(tài)范圍，增強(qiáng)了圖像的對(duì)比度奋渔。

直方圖均衡化的步驟：

計(jì)算原圖像的灰度直方圖p(r_k);
計(jì)算原圖像的累積直方圖c(r_k);
計(jì)算圖像新的像素值镊逝，如下

$s_{k}=T(r_{k})=(L-1)c(r_{k})=(L-1)\sum_{i=0}^{k}p(r_{i})=\frac{(L-1)}{MN}\sum_{i=0}^{k}n_{i}$

其中，r_k表示第k級(jí)灰度值嫉鲸，n_k表示圖像中灰度為r_k的像素個(gè)數(shù)撑蒜，M與N表示圖像的行和列，p(r_k)表示灰度級(jí)r_k在圖像中出現(xiàn)的概率值充坑，c(r_k)表示累積值减江，k=0,1,...,L-1染突，s_k表示輸出圖像的灰度級(jí)捻爷，(L-1)表示圖像的最大灰度級(jí)比如255。

示例

已知一幅大小為64×64像素的3位圖像的灰度分布以及歸一化灰度直方圖值如下表所示份企，求均衡后的歸一化灰度直方圖?

r_k	n_k	p(r_k)
r₀	790	0.19
r₁	1023	0.25
r₂	850	0.21
r₃	656	0.16
r₄	329	0.08
r₅	245	0.06
r₆	122	0.03
r₇	81	0.02

由于該圖像是3位圖像也榄，所以L=2³=8，直接運(yùn)用直方圖均衡化公式司志，可得：
$s_{0}=T(r_{0})=(8-1)\sum_{i=0}^{0}p(r_{i})=7p(r_{0})=1.33$
$s_{1}=T(r_{1})=(8-1)\sum_{i=0}^{1}p(r_{i})=7[p(r_{0})+p(r_{1})]=3.08$
$s_{2}=T(r_{2})=(8-1)\sum_{i=0}^{2}p(r_{i})=7[p(r_{0})+p(r_{1})+p(r_{2})]=4.55$
$s_{3}=T(r_{3})=(8-1)\sum_{i=0}^{3}p(r_{i})=7[p(r_{0})+p(r_{1})+p(r_{2})+p(r_{3})]=5.67$
$s_{4}=T(r_{4})=(8-1)\sum_{i=0}^{4}p(r_{i})=7[p(r_{0})+p(r_{1})+p(r_{2})+p(r_{3})+p(r_{4})]=6.23$
$s_{5}=T(r_{5})=(8-1)\sum_{i=0}^{5}p(r_{i})=7[p(r_{0})+p(r_{1})+p(r_{2})+p(r_{3})+p(r_{4})+p(r_{5})]=6.65$
$s_{6}=T(r_{6})=(8-1)\sum_{i=0}^{6}p(r_{i})=7[p(r_{0})+p(r_{1})+p(r_{2})+p(r_{3})+p(r_{4})+p(r_{5})+p(r_{6})]=6.86$
$s_{7}=T(r_{7})=(8-1)\sum_{i=0}^{7}p(r_{i})=7[p(r_{0})+p(r_{1})+p(r_{2})+p(r_{3})+p(r_{4})+p(r_{5})+7p(r_{6})+7p(r_{7})]=7.00$
將所求得的s值近似為相近的整數(shù)甜紫，即：
$s_{0}=1.33≈1$
$s_{1}=3.08≈3$
$s_{2}=4.55≈5$
$s_{3}=5.67≈6$
$s_{4}=6.23≈6$
$s_{5}=6.65≈7$
$s_{6}=6.86≈7$
$s_{7}=7.00≈7$
這些整數(shù)就是均衡后的直方圖的值，可以看到骂远，通過(guò)直方圖均衡操作囚霸，原先的8個(gè)灰度級(jí)變?yōu)榱?個(gè)灰度級(jí)，即：

原先的第0灰度級(jí)被映射為了第1灰度級(jí)激才，再由上表可知拓型，在均衡后的圖像中有790個(gè)像素具有該值额嘿；
原先的第1灰度級(jí)被映射為了第3灰度級(jí)，在均衡后的圖像中有1023個(gè)像素具有該值劣挫；
原先的第2灰度級(jí)被映射為了第5灰度級(jí)册养，在均衡后的圖像中有850個(gè)像素具有該值；
原先的第3压固、4灰度級(jí)被映射為了第6灰度級(jí)球拦，在均衡后的圖像中有(656+329)=985個(gè)像素具有該值；
原先的第5帐我、6坎炼、7灰度級(jí)被映射為了第7灰度級(jí)，在均衡后的圖像中有(245+122+81)=448個(gè)像素具有該值.拦键。

根據(jù)歸一化灰度直方圖的計(jì)算公式点弯，使用MN=64×64=4096去除這些數(shù)即可得到均衡后圖像的歸一化灰度直方圖，將其繪制出來(lái)如下（圖3）所示矿咕。

圖1.原始圖像的歸一化灰度直方圖抢肛；圖2.直方圖均衡化變換函數(shù)；圖3.均衡后圖像的歸一化灰度直方圖

直方圖匹配

直方圖匹配：對(duì)于某些應(yīng)用碳柱，采用直方圖均衡的基本增強(qiáng)并不是最好的方法捡絮，特別地，有時(shí)我們希望處理后的圖像具有規(guī)定的直方圖形狀莲镣，這種用于產(chǎn)生處理后有特殊直方圖的方法稱為直方圖匹配或直方圖規(guī)定化福稳。

直方圖匹配的步驟：

對(duì)原始圖像的灰度直方圖進(jìn)行均衡化，得到一個(gè)變換函數(shù)s_k=T(r_k)瑞侮，其中s_k是均衡化后的灰度級(jí)的圆，r_k是原始灰度級(jí)。
對(duì)規(guī)定的直方圖進(jìn)行均衡化半火，得到一個(gè)變換函數(shù)v_q=G(z_q)越妈，其中v_q是均衡化后的灰度級(jí)，z_q是規(guī)定化的灰度級(jí)钮糖。
上面都是對(duì)同一圖像的均衡化梅掠，其結(jié)果應(yīng)該是相等的。

$s_{k}=v_{q}$

由于：

$v_{q}=G(z_{q})$

通過(guò)反變換可變形得到下式：

$z_{q}=G^{-1}(v_{q})=G^{-1}(s_{k})=G^{-1}(T(r_{k}))$

像這樣店归，通過(guò)均衡化作為中間結(jié)果阎抒，將得到原始灰度級(jí)r_k和規(guī)定化后灰度級(jí)z_q之間的映射關(guān)系。

但是在實(shí)踐中消痛，我們并不需要計(jì)算G的反變換且叁，因?yàn)槲覀兲幚淼幕叶燃?jí)是整數(shù)，比如8位圖像的灰度級(jí)是0-255秩伞，利用v_q=G(z_q)式計(jì)算q=0,1,2,...,L-1時(shí)的所有值是一件很簡(jiǎn)單的事情逞带。實(shí)際計(jì)算步驟如下：

對(duì)原始圖像的灰度直方圖進(jìn)行均衡化质涛，將s_k四舍五入為[0,L-1]內(nèi)的整數(shù)。
對(duì)規(guī)定的直方圖進(jìn)行均衡化掰担，將v_q的值四舍五入為[0,L-1]內(nèi)的整數(shù)汇陆。
對(duì)于每一個(gè)s_k值，都尋找相應(yīng)的v_q值带饱，使得v_q最接近s_k毡代，進(jìn)而可得s_k到z_q的映射。當(dāng)滿足s_k的z_q值多于一個(gè)時(shí)勺疼，我們選擇最小的z_q值進(jìn)行映射教寂。
根據(jù)得到的s_k與z_q的映射關(guān)系，即可將原始直方圖均衡后的灰度級(jí)映射為規(guī)定化后的灰度級(jí)执庐，形成直方圖規(guī)定化后的圖像酪耕。

示例

已知一幅大小為64×64像素的3位圖像的灰度分布、歸一化灰度直方圖值如表1所示轨淌，規(guī)定的歸一化灰度直方圖值如表2所示迂烁，求規(guī)定后的歸一化灰度直方圖?

表1.原始圖像的灰度分布、歸一化灰度直方圖值

r_k	n_k	p(r_k)
r₀	790	0.19
r₁	1023	0.25
r₂	850	0.21
r₃	656	0.16
r₄	329	0.08
r₅	245	0.06
r₆	122	0.03
r₇	81	0.02

表2.規(guī)定的歸一化灰度直方圖值

z_q	p(z_q)
z₀	0.00
z₁	0.00
z₂	0.00
z₃	0.15
z₄	0.20
z₅	0.30
z₆	0.30
z₇	0.15

首先對(duì)原始圖像的灰度直方圖進(jìn)行均衡化递鹉，再將s_k四舍五入為[0,L-1]內(nèi)的整數(shù)盟步，可得：
$s_{0}=T(r_{0})=(8-1)\sum_{i=0}^{0}p(r_{i})=7p(r_{0})=1.33≈1$
$s_{1}=T(r_{1})=(8-1)\sum_{i=0}^{1}p(r_{i})=7[p(r_{0})+p(r_{1})]=3.08≈3$
$s_{2}=T(r_{2})=(8-1)\sum_{i=0}^{2}p(r_{i})=7[p(r_{0})+p(r_{1})+p(r_{2})]=4.55≈5$
$s_{3}=T(r_{3})=(8-1)\sum_{i=0}^{3}p(r_{i})=7[p(r_{0})+p(r_{1})+p(r_{2})+p(r_{3})]=5.67≈6$
$s_{4}=T(r_{4})=(8-1)\sum_{i=0}^{4}p(r_{i})=7[p(r_{0})+p(r_{1})+p(r_{2})+p(r_{3})+p(r_{4})]=6.23≈6$
$s_{5}=T(r_{5})=(8-1)\sum_{i=0}^{5}p(r_{i})=7[p(r_{0})+p(r_{1})+p(r_{2})+p(r_{3})+p(r_{4})+p(r_{5})]=6.65≈7$
$s_{6}=T(r_{6})=(8-1)\sum_{i=0}^{6}p(r_{i})=7[p(r_{0})+p(r_{1})+p(r_{2})+p(r_{3})+p(r_{4})+p(r_{5})+p(r_{6})]=6.86≈7$
$s_{7}=T(r_{7})=(8-1)\sum_{i=0}^{7}p(r_{i})=7[p(r_{0})+p(r_{1})+p(r_{2})+p(r_{3})+p(r_{4})+p(r_{5})+7p(r_{6})+7p(r_{7})]=7.00≈7$

對(duì)規(guī)定的直方圖進(jìn)行均衡化，并將v_q的值四舍五入為[0,L-1]內(nèi)的整數(shù)躏结，可得：
$v_{0}=G(r_{0})=(8-1)\sum_{i=0}^{0}p(z_{i})=7p(z_{0})=0.00≈0$
$v_{1}=G(r_{1})=(8-1)\sum_{i=0}^{1}p(z_{i})=7[p(z_{0})+p(z_{1})]=0.00≈0$
$v_{2}=G(r_{2})=(8-1)\sum_{i=0}^{2}p(z_{i})=7[p(z_{0})+p(z_{1})+p(z_{2})]=0.00≈0$
$v_{3}=G(r_{3})=(8-1)\sum_{i=0}^{3}p(z_{i})=7[p(z_{0})+p(z_{1})+p(z_{2})+p(z_{3})]=1.05≈1$
$v_{4}=G(r_{4})=(8-1)\sum_{i=0}^{4}p(z_{i})=7[p(z_{0})+p(z_{1})+p(z_{2})+p(z_{3})+p(z_{4})]=2.45≈2$
$v_{5}=G(r_{5})=(8-1)\sum_{i=0}^{5}p(z_{i})=7[p(z_{0})+p(z_{1})+p(z_{2})+p(z_{3})+p(z_{4})+p(z_{5})]=4.55≈5$
$v_{6}=G(r_{6})=(8-1)\sum_{i=0}^{6}p(z_{i})=7[p(z_{0})+p(z_{1})+p(z_{2})+p(z_{3})+p(z_{4})+p(z_{5})+p(z_{6})]=5.95≈6$
$v_{7}=G(r_{7})=(8-1)\sum_{i=0}^{7}p(z_{i})=7[p(z_{0})+p(z_{1})+p(z_{2})+p(z_{3})+p(z_{4})+p(z_{5})+7p(z_{6})+7p(z_{7})]=7.00≈7$

將如上計(jì)算結(jié)果統(tǒng)計(jì)到表格中：

z_q	v_q=G(z_q)
z₀	0
z₁	0
z₂	0
z₃	1
z₄	2
z₅	5
z₆	6
z₇	7

對(duì)于每一個(gè)s_k值却盘，都尋找相應(yīng)的v_q值，使得v_q最接近s_k媳拴，根據(jù)v_q與z_q的關(guān)系黄橘，進(jìn)而可得s_k到z_q的映射，如下所示：

s_k	v_q=G(z_q)	z_q
1	1	3
3	2	4
5	5	5
6	6	6
7	7	7

將s_k映射為z_q屈溉，實(shí)際上就是將原始直方圖均衡后的灰度級(jí)映射為規(guī)定化后的灰度級(jí)塞关，詳細(xì)過(guò)程如下：

原始直方圖均衡后的第1灰度級(jí)被映射為了第3灰度級(jí)，在直方圖均衡后的圖像中有790個(gè)像素具有該值语婴；
原始直方圖均衡后的第3灰度級(jí)被映射為了第4灰度級(jí)描孟，在直方圖均衡后的圖像中有1023個(gè)像素具有該值驶睦；
原始直方圖均衡后的第5灰度級(jí)被映射為了第5灰度級(jí)砰左，在直方圖均衡后的圖像中有850個(gè)像素具有該值；
原始直方圖均衡后的第6灰度級(jí)被映射為了第6灰度級(jí)场航，在直方圖均衡后的圖像中有(656+329)=985個(gè)像素具有該值缠导；
原始直方圖均衡后的第7灰度級(jí)被映射為了第7灰度級(jí)，在直方圖均衡后的圖像中有(245+122+81)=448個(gè)像素具有該值溉痢；

根據(jù)歸一化灰度直方圖的計(jì)算公式僻造，使用MN=64×64=4096去除這些數(shù)即可得到規(guī)定后圖像的歸一化灰度直方圖憋他，將其繪制出來(lái)如下（圖d）所示。

圖a.原始圖像的歸一化灰度直方圖髓削；圖b.規(guī)定的直方圖竹挡；圖c.直方圖規(guī)定化變換函數(shù)；圖d.規(guī)定后圖像的歸一化灰度直方圖

從結(jié)果可以看出立膛，如上（圖d）所示的最終結(jié)果并不完全與規(guī)定的直方圖匹配揪罕，但我們達(dá)到了將灰度明確地移向灰度級(jí)高端的目的。

直方圖均衡與直方圖匹配的比較

左圖.原始影像宝泵；中圖.直方圖均衡后的結(jié)果好啰；右圖.直方圖匹配后的結(jié)果

左圖.原始影像的直方圖；中圖.直方圖均衡后圖像的直方圖儿奶；右圖.直方圖匹配后圖像的直方圖

由于原始影像的直方圖中有大量像素灰度接近0框往，直接進(jìn)行直方圖均衡時(shí)，其結(jié)果是把非常窄的暗像素區(qū)間映射到輸出圖像灰度級(jí)的高端闯捎。
由于原始影像的直方圖中有大量像素灰度接近0椰弊，所以可以修改原始圖像的直方圖，使其不再有這一屬性瓤鼻。即采用直方圖匹配的方法來(lái)改善原始影像男应，人為規(guī)定一個(gè)直方圖，該直方圖保持了原有直方圖的基本形狀娱仔，但在圖像灰度暗區(qū)的灰度值有更平滑的過(guò)度沐飘。
比較以上結(jié)果可以看出，對(duì)于該問(wèn)題牲迫，直方圖匹配的效果比直方圖均衡要好耐朴。應(yīng)該注意，原始直方圖的細(xì)小改變會(huì)使圖像的外觀得到顯著改進(jìn)盹憎。

最后編輯于：2019.12.16 17:36:51

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我被黑心中介騙來(lái)泰國(guó)打工庵楷，沒(méi)想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留罢艾，地道東北人。一個(gè)月前我還...
沈念sama閱讀 47,819評(píng)論 2贊 370
代替公主和親
正文我出身青樓尽纽，卻偏偏與公主長(zhǎng)得像昆婿，于是被迫代替她去往敵國(guó)和親。傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子蜓斧，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 44,665評(píng)論 2贊 354