在上一篇中，我介紹了意大利著名量子理論物理學(xué)家Carol Rovelli所著的《現(xiàn)實(shí)不似你所見-量子引力之旅》。作者從德謨克利特開始，跨越時(shí)空秃症，從浩瀚宇宙一路聚焦候址，最后帶領(lǐng)我們?nèi)サ揭粋€(gè)神秘莫測(cè)的世界吕粹，“圈量子”的世界。在那里岗仑，連續(xù)和確定不再存在匹耕；那里沒(méi)有空間，因?yàn)樗鼈儯ㄈα孔樱┚褪强臻g本身荠雕；那里也沒(méi)有時(shí)間稳其，因?yàn)槭撬鼈兊淖兓a(chǎn)生了時(shí)間驶赏。圈量子的世界就仿佛是這個(gè)世界的底層肌理，它們從物質(zhì)和能量的層面展示了世界的本質(zhì)既鞠。
然而這個(gè)世界只是單純的物質(zhì)和能量的嗎煤傍？ 從另外一個(gè)角度來(lái)看，知識(shí)嘱蛋，意識(shí)和選擇（不僅限于智慧生物）又該如何解釋蚯姆？進(jìn)一步來(lái)講，知識(shí)是否絕對(duì)客觀洒敏，而意識(shí)和選擇又確實(shí)存在嗎龄恋？確定和概然這一對(duì)相互矛盾的概念從哲學(xué)到數(shù)學(xué)到自然科學(xué)等領(lǐng)域，數(shù)千年來(lái)困擾著人類那些頂級(jí)的頭腦們凶伙。而今郭毕，正如圈量子理論這一前沿理論，概率論在自耗散系統(tǒng)理論中大放異彩函荣，有望幫我們?nèi)ソ忉屖澜纭胺俏镔|(zhì)”的那一面的本質(zhì)显押。
坦言之，我本人曾經(jīng)對(duì)概率論不甚感冒傻挂。就像《確定性的終結(jié)》一書中提到的煮落，一貫以來(lái)，盛行的觀點(diǎn)是“科學(xué)與原因有關(guān)踊谋，與機(jī)遇無(wú)涉”蝉仇，“概率是心智的狀態(tài)，不是世界的狀態(tài)”殖蚕。我甚至曾經(jīng)認(rèn)為這個(gè)世界從源頭來(lái)講一定也必須是機(jī)械的與確定的轿衔，概率的表達(dá)僅僅是因?yàn)椤叭祟悺边@種生物心智的缺陷和算力有限的一種無(wú)奈的妥協(xié)。
對(duì)于我而言睦疫，理解概率害驹，不確定性和不可逆性是一個(gè)艱難但卻非常有意義的事情，而理解和接受概率這件事情于我而言其本身也是不可逆的蛤育，在讀完以下兩本書以后宛官，我完成了從一個(gè)“決定論者”向“概率論者”的不可逆的變化的過(guò)程。哲學(xué)書籍我讀的不多瓦糕，因此無(wú)法（也不想）從哲學(xué)的角度去給確定和概然做出過(guò)多的介紹底洗。即便是數(shù)學(xué)和物理方面，我也只能概括介紹一下一個(gè)門外漢的粗淺認(rèn)識(shí)咕娄，以至于讓我將這兩本書分別詳細(xì)介紹都是太難而幾乎不可能完成亥揖，因此我選擇綜合介紹的折中之途。盡管如此，我還是按捺不住寫下來(lái)的沖動(dòng)费变，想把我對(duì)概率摧扇，這一世界的本質(zhì)的理解記錄下來(lái)，并和大家分享挚歧。
那么還是照例先讓我們簡(jiǎn)單了解一下這兩本書吧扛稽！
1. 《機(jī)遇與混沌》 （法）大衛(wèi)，呂埃勒 David Ruelle
? ? 大衛(wèi)是法國(guó)著名物理學(xué)家滑负，也是混沌學(xué)的創(chuàng)始人之一庇绽。大衛(wèi)還著有《數(shù)學(xué)與人類思維》一書〕壤В《機(jī)遇與混沌》一書從數(shù)學(xué)和物理的角度介紹了什么是機(jī)遇瞧掺，機(jī)遇是如何出現(xiàn)的，而混沌又是如何產(chǎn)生的凡傅，以及混沌在歷史的演化辟狈，熵，信息夏跷，智能中的體現(xiàn)哼转。
2. 《確定性的終結(jié)》（比）伊利亞 普里戈金? Ilya Prigogine
伊利亞是1977年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)得主，耗散結(jié)構(gòu)理論創(chuàng)立者槽华。還著有《不可逆過(guò)程熱力學(xué)導(dǎo)論》壹蔓，《從存在到演化》，《從混沌到有序》等書猫态。本書中提出的自耗散結(jié)構(gòu)帶領(lǐng)我們從牛頓軌道和確定性混沌佣蓉，到達(dá)量子理論與“免費(fèi)午餐”的宇宙學(xué)統(tǒng)一表述的高度，并且探討了時(shí)間之矢的意義亲雪。
注：在本文的文末勇凭，我給出了一些相關(guān)的重要概念的解釋，那部分的內(nèi)容相對(duì)于正文來(lái)講更加晦澀一些（盡管我已經(jīng)盡我所能的使其看起來(lái)有趣一些）义辕，在看文的時(shí)候如果需要可以去參考虾标。
好，現(xiàn)在讓我們正式開始灌砖！
1. 認(rèn)識(shí)概率
在《機(jī)遇與混沌》一書中璧函，呂埃勒用清晰易懂的文字講述了他對(duì)概率的理解和認(rèn)識(shí)。
他用了最常見的“擲硬幣”來(lái)舉例基显。我們說(shuō)投擲一枚硬幣蘸吓，它的正面朝上的概率為50%。這句話到底是什么意思续镇？首先美澳，對(duì)于尚未投擲的硬幣销部，它代表即將會(huì)發(fā)生的事件的可能性摸航；但是對(duì)于一個(gè)已經(jīng)投擲的硬幣制跟，這個(gè)數(shù)字便沒(méi)有了意義，因?yàn)槲覀円坏仈S了這枚硬幣酱虎，它的結(jié)果便已經(jīng)被決定了雨膨；然而，如果我們投擲很多次（一千次读串，一萬(wàn)次或者更多）聊记，你會(huì)發(fā)現(xiàn)“正面向上”這個(gè)事件出現(xiàn)的概率開始越來(lái)越向50%逼近，于是這個(gè)數(shù)字又重新有了意義恢暖。
所以我們發(fā)現(xiàn)排监，概率除了具有“預(yù)測(cè)”的功能，它更實(shí)際的意義是取代了模糊的“不確定性”杰捂，使得我們可以對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)進(jìn)行邏輯和結(jié)構(gòu)上的操作舆床。
現(xiàn)在讓我們嘗試用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)更精確的描述概率。
我們把一個(gè)按照一定規(guī)則加以處理的元素的集合嫁佳，稱作事件“A”挨队，那么相對(duì)應(yīng)的還有一個(gè)非“A”，我們還可以引入一個(gè)相對(duì)于A以外的新事件集合蒿往，稱做“B”盛垦。
在物理框架內(nèi)，你可以將以上三個(gè)集合具體化瓤漏，如將“今天下午要下雨”稱作“A”腾夯，那么“非A”對(duì)應(yīng)的就是“今天下午不下雨”，而“B”可以是任何和A無(wú)關(guān)的新事件蔬充，如“我今天把手機(jī)丟了”
于是俯在，我們得出了四個(gè)關(guān)于概率的數(shù)學(xué)表述
規(guī)則 1：概率（“非A”）= 1 - 概率（“A”）
規(guī)則 2： 若“A”和“B”是不相容的，
? ? ? ? ? ? ? 則概率（“A”或“B”）= 概率（“A”） + 概率 （“B”）
? ? ? ? ? ? （不相容：兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生娃惯，例如“今天下午下雨”和“今天下午不下雨但下雪”）跷乐，
規(guī)則 3：若“A”和“B”是相互獨(dú)立的，
? ? ? ? ? ? ? ? 則概率（“A”與“B”）= 概率（“A”）* 概率（“B”）
? ? ? ? ? ? （獨(dú)立：兩個(gè)事件之間毫無(wú)聯(lián)系趾浅，例如“今天下午下雨”和“我今天把手機(jī)丟了”）
規(guī)則4 ：若“A”和“B”是相互獨(dú)立的愕提，
? ? ? ? ? ? ? 則概率（“B”，已知“A”發(fā)生）= 概率（“B”）
請(qǐng)注意皿哨，在這里我們暫時(shí)沒(méi)有把無(wú)窮集合的情況考慮進(jìn)去浅侨，帶入無(wú)窮集合以后會(huì)有諸多矛盾產(chǎn)生，有關(guān)無(wú)窮的概念推薦我另外在讀的一本書证膨，由英國(guó)女?dāng)?shù)學(xué)家Eugenie Cheng所著的《超越無(wú)窮大》如输；另外，在量子物理的世界規(guī)則4會(huì)出現(xiàn)新的矛盾，事件A與事件B不存在對(duì)易性（第一次的測(cè)量從某種意義上會(huì)干擾第二次的測(cè)量）不见，所以不存在先“A”后“B”澳化，或者“先B”后“A”的測(cè)量...... 但是以上兩點(diǎn)都這不是本文需要闡述重點(diǎn)內(nèi)容，所以就此略過(guò)稳吮。
2. 決定論介紹與矛盾所在（參考文末“二難推理”的概念）
呂埃勒在介紹概率的概念的時(shí)候缎谷，明確的提出了他關(guān)于概率論的哲學(xué)思想：“ 對(duì)于各種不同類型的客觀現(xiàn)象，都涉及概率的理想化 灶似×辛郑”
而我們知道，決定論的世界觀與此是完全相反的酪惭。讓我們還是以“擲硬幣”為例來(lái)開始本章的內(nèi)容希痴。在我拋硬幣之前，我可以說(shuō)它的正面朝上的概率為50%春感，那么一旦硬幣落下润梯，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)它要么是100%正確，要么就是100%錯(cuò)誤甥厦，這時(shí)候不確定性已經(jīng)消失纺铭，概率也隨之消失。那么是什么時(shí)刻刀疙，硬幣落下的面被決定了呢舶赔？是在硬幣被拋起的那一刻，還是更早呢谦秧？如果更早竟纳，那要早到什么時(shí)候呢？
按照決定論的理解疚鲤，硬幣在被拋起來(lái)甚至還未被拋起來(lái)之前锥累，落下的面的結(jié)果就已經(jīng)被決定了，世間萬(wàn)物皆是如此集歇。我們甚至可以一直回溯桶略，如果按照決定論的說(shuō)法，宇宙在一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)決定了它以后任何時(shí)刻的狀態(tài)诲宇，那么這枚硬幣落下來(lái)時(shí)是那一面朝上這件事情在宇宙創(chuàng)立之初就被決定了际歼！
對(duì)于這種說(shuō)法，無(wú)論你是不是決定論者姑蓝，我相信你一定都會(huì)開始搖頭鹅心，覺(jué)得它是一個(gè)謬論了。那么纺荧，讓我們來(lái)看看這種說(shuō)法的問(wèn)題到底在哪里旭愧。
? ? 2.1 經(jīng)典力學(xué)
? ? ? ? 經(jīng)典力學(xué)的宏愿是要告訴我們宇宙是如何隨時(shí)間而演化的颅筋，從亞里士多德，到哥白尼输枯，到開普勒议泵，到伽利略......先賢們通過(guò)越來(lái)越精良的觀測(cè)來(lái)描述，解釋和預(yù)測(cè)宇宙天體以及生活中的各種物體的運(yùn)動(dòng)用押。而牛頓則是第一個(gè)真正了解該如何做這件事的人肢簿，他在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中通過(guò)詳盡的計(jì)算得出了著名的牛頓三大定理靶剑，其核心思想是：在某個(gè)時(shí)刻物理系統(tǒng)的狀態(tài)是由系統(tǒng)中物質(zhì)所集中的那些點(diǎn)的位置和速度給出的蜻拨。因此我們只要知道初始的位置和速度，佐以定理公式桩引，我們便可以精確預(yù)測(cè)未來(lái)所要發(fā)生的一切缎讼。
? ? ? ? 這種思想經(jīng)過(guò)演化逐漸形成了流行數(shù)百年的普適的范式思維，也就是“決定論”坑匠，法國(guó)物理學(xué)家拉普拉斯曾經(jīng)給出過(guò)一段關(guān)于決定論的優(yōu)美的表述血崭，也就是著名的“拉普拉斯妖”：
一種智慧，如果它能夠知道厘灼，使得自然界生機(jī)勃勃的所有的力夹纫，以及構(gòu)成自然地所有元素各自的狀態(tài)，在某個(gè)給定瞬時(shí)的全部情況设凹，進(jìn)而舰讹，如果它足夠龐大以至于可以分析所有這些數(shù)據(jù)，那么闪朱，它將可以用同一個(gè)公式囊括宇宙中最龐大物體和最微小原子的運(yùn)動(dòng)月匣；對(duì)它而言，沒(méi)有什么是不確定的奋姿，無(wú)論將來(lái)還是過(guò)去都將呈現(xiàn)在它眼中锄开。
? ? ? ? 關(guān)于這種思想，第一個(gè)疑問(wèn)在于：我們?nèi)绾潍@知“某個(gè)給定瞬間的全部情況”称诗？
? ? ? ? 首先萍悴，我們?nèi)绾潍@取牛頓所需要的“初始的位置和速度”？對(duì)于行星或者一輛汽車寓免，我們可以將其簡(jiǎn)化成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)退腥，那么流動(dòng)的黏性流體呢，我們無(wú)法將其質(zhì)點(diǎn)化再榄，因此我們必須要考慮無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)狡刘，而事實(shí)上這是做不到的，因此我們只能采取如網(wǎng)格化處理的簡(jiǎn)化方式困鸥，而獲取其近似的數(shù)據(jù)嗅蔬，請(qǐng)注意剑按，這是一個(gè)關(guān)鍵的時(shí)刻，在“近似”出現(xiàn)的那一刻澜术，“概率”不可避免的出現(xiàn)了艺蝴。
? ? ? ? 進(jìn)而，我們開始思考整個(gè)系統(tǒng)鸟废，即便是最堅(jiān)定的決定論者猜敢，在談及對(duì)于觀測(cè)對(duì)象的可觀測(cè)細(xì)節(jié)時(shí)，嚴(yán)肅的科學(xué)家都將不得不承認(rèn)系統(tǒng)在某一個(gè)給定的瞬間（即便是宇宙大爆炸的那一刻）的狀態(tài)（全部細(xì)節(jié)）是不可能被完全精確獲知的盒延，我們不得不對(duì)于觀測(cè)參數(shù)的理想化（簡(jiǎn)化）以及觀測(cè)結(jié)果的近似性做出妥協(xié)缩擂，而在這個(gè)時(shí)候，隨機(jī)和概率將完全不可避免添寺。
? ? ? 第二個(gè)疑問(wèn)在于：我們的“自由意志”在哪里胯盯？
? ? ? ? 這是一個(gè)深刻的話題，帶有一些神學(xué)的意味计露。如果以決定論的世界觀來(lái)講博脑，這個(gè)世界的一切在宇宙洪荒之初就已經(jīng)完全被確定了，那么我的自由意志在哪里呢票罐？如果一枚硬幣在拋擲之前其結(jié)果便已經(jīng)確定叉趣，那么我們的自由意志讓我們選擇不拋擲硬幣而是從圓周率π中任意挑選出的一個(gè)數(shù)字得奇偶性來(lái)幫助我們做決定，我們是不是就逃脫了“拉普拉斯妖”的魔法了呢该押？
? ? ? ? 無(wú)疑疗杉，決定論也不得不面對(duì)的隨機(jī)和概率給了“自由意志”一線希望，讓我們?cè)诤竺娴恼鹿?jié)慢慢道來(lái)沈善。
? ? ? 2.2 量子力學(xué)
? ? ? 事實(shí)上乡数，與經(jīng)典力學(xué)一樣，量子力學(xué)的宏愿也是要告訴我們宇宙是如何隨時(shí)間演化的闻牡，只是它著眼于極細(xì)小的微觀世界净赴，在那里經(jīng)典力學(xué)乃至相對(duì)論都變得不合適了，必須用量子理論代替罩润。
? ? ? 量子具有不確定性玖翅。在相空間（參考文末的概念）中，我們無(wú)法同時(shí)確定量子的動(dòng)量和位置割以，這就是著名的海森堡測(cè)不準(zhǔn)定理金度。所以你可能會(huì)問(wèn)，量子力學(xué)本身就是不確定的把狭ぁ猜极！這種說(shuō)法也對(duì)也不對(duì)。
? ? ? ? 說(shuō)它不對(duì)消玄，是因?yàn)榱孔恿W(xué)從數(shù)學(xué)層面來(lái)講跟伏，是完全具備“確定性“的特點(diǎn)的丢胚。量子力學(xué)的核心思想還是在于預(yù)測(cè)量子的運(yùn)動(dòng)軌跡，從用來(lái)描述原子光譜的玻爾模型理論到薛定諤的波函數(shù)方程受扳，都是非常簡(jiǎn)潔明了的確定性携龟。薛定諤的波函數(shù)方程對(duì)于量子的振幅的演化給出了非常確定毫不含糊的時(shí)間演算和預(yù)測(cè)，因此我們說(shuō)它確實(shí)是確定性理論勘高。另外图云，從數(shù)學(xué)方面螺男，量子力學(xué)還有一些概念班眯，如用來(lái)表示可觀測(cè)量的線性算子狮辽，都顯示出其確定性的思想。
? ? ? ? 但它又是對(duì)的立美。因?yàn)槟溆郑?dāng)你將數(shù)學(xué)與物理實(shí)在聯(lián)系起來(lái)方灾，考慮其現(xiàn)實(shí)性建蹄，甚至是其哲學(xué)意義的時(shí)候，你會(huì)發(fā)現(xiàn)裕偿，量子力學(xué)所演算出來(lái)的結(jié)果是關(guān)于“振幅”的洞慎，即量子的概率幅的，也就是說(shuō)嘿棘，量子力學(xué)僅有的預(yù)言是關(guān)于“概率”的劲腿。因此，我們是否可以這樣說(shuō)：量子世界的概然性是最本質(zhì)的概然鸟妙，不確定性與概率具有本質(zhì)性意義焦人。
? ? ? ? 當(dāng)然，呂埃勒在書中還提到了一個(gè)讀者可能的疑問(wèn)重父，如果我們有一種理論可以將經(jīng)典力學(xué)花椭，相對(duì)論和量子力學(xué)統(tǒng)一起來(lái)，那么是不是就可以在極宏觀和極微觀的層面上都能找到確定的規(guī)律從而摒棄“概率”呢房午？然而事實(shí)上矿辽，目前并沒(méi)有一個(gè)理論將它們統(tǒng)一起來(lái)，這是全世界理論物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家所努力奮斗的事情郭厌。
說(shuō)到這里袋倔，我基本上已經(jīng)將經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)中關(guān)于確定性和概然性的矛盾闡述完畢。顯而易見折柠，這兩個(gè)理論都不是解釋和解決“概率”宾娜，這個(gè)本質(zhì)概念的好方法（至少目前不是）。那么我們是不是應(yīng)該換一個(gè)角度去思考呢扇售？下面讓我們進(jìn)入下一章“熱力學(xué)”的世界前塔。
3. 牛頓以外 - 熱力學(xué)的觀點(diǎn)
一杯熱水和一杯冰水混合在一起贾陷，它們會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象？我們的常識(shí)告訴我們它們會(huì)在一段時(shí)間以后完全“融合”嘱根，達(dá)到相同的溫度髓废，如果排除外界環(huán)境的極端影響（比如它們是放在一個(gè)200℃的烤箱內(nèi)或者一個(gè)零度以下的冰箱里），那么它們?nèi)诤弦院蟮臏囟葘?huì)是比熱水原先的溫度低而比冰水的溫度高该抒，如果它們是放置在室溫下慌洪，最終它們會(huì)和外界的溫度慢慢趨同。
如果我們將熱水染成漂亮的紅色凑保，它們“融合”的過(guò)程將會(huì)更加直觀冈爹。我們將會(huì)看到紅色的熱水流在杯中形成無(wú)序的水流并且無(wú)序擴(kuò)散，最終整杯水會(huì)變成淡紅色欧引。在杯中每一個(gè)角落的溫度顏色和成分將完全相同频伤，此處與彼處將沒(méi)有分別。
這個(gè)過(guò)程中我們看到了客觀實(shí)在隨時(shí)間演化的過(guò)程芝此，如果按照決定論的思想憋肖，客觀規(guī)律具有時(shí)間對(duì)稱性，那么我們是否可以再次將這兩杯水完全的分開呢婚苹，事實(shí)上岸更，不管是經(jīng)驗(yàn)還是理論都告訴我們，不可以膊升。
另外讓我們?cè)僮鲆粋€(gè)設(shè)想怎炊，我們用一個(gè)玻璃罩將一個(gè)國(guó)際象棋的棋盤罩起來(lái)，讓我們?cè)谟疑辖堑牡谝粋€(gè)黑色格子內(nèi)放置一只跳蚤廓译，假設(shè)它每一秒鐘將會(huì)出現(xiàn)在任意一個(gè)格子评肆，那么平均經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間它可以回到初始的格子？
我們很容易可以計(jì)算出答案是： 1秒 ÷ 1/64 ≈ 66秒 以后非区，這只跳蚤可以回到初始的黑格子瓜挽。
現(xiàn)在，讓我們看看兩只跳蚤呢院仿，回到第一章秸抚，我們可以知道，兩只跳蚤同時(shí)回到初始的黑格子是兩個(gè)不相容事件（為了簡(jiǎn)化模型歹垫，讓我們暫且假設(shè)它們不會(huì)相互碰撞剥汤，更不會(huì)互相討論），于是答案是：1秒 ÷ (1/64 × 1/64) ≈ 3906 秒排惨，也就是平均一個(gè)小時(shí)以后吭敢，它們將會(huì)同時(shí)回到初始的格子。這是一個(gè)近60倍的數(shù)量級(jí)的增加暮芭！
現(xiàn)在讓我們假設(shè)有100只跳蚤同時(shí)從第一個(gè)黑色格子出發(fā)呢鹿驼？即便不用計(jì)算欲低，直覺(jué)都會(huì)告訴我們，所需的時(shí)間將會(huì)如此之長(zhǎng)畜晰，以至于我們幾乎永遠(yuǎn)也不可能再看到它們同時(shí)回到初始的黑格子砾莱。事實(shí)上，它們會(huì)急不可待的開始四處亂跳凄鼻，很快占據(jù)了整個(gè)棋盤腊瑟，進(jìn)而呈現(xiàn)出“均勻遍布它們所可能到達(dá)的整個(gè)空間的趨勢(shì)”。讓我們進(jìn)一步從簡(jiǎn)化的模型回到現(xiàn)實(shí)块蚌，我們知道闰非，它們事實(shí)上會(huì)相互碰撞而改變?cè)镜奶鴦?dòng)路徑，有些甚至?xí)Ｏ聛?lái)一會(huì)或者改變跳動(dòng)的速度峭范，從而使情況變得更加復(fù)雜财松，回到“初始狀態(tài)”將會(huì)變成不可能，系統(tǒng)隨時(shí)間的“不可逆性”演化出現(xiàn)纱控。這個(gè)例子更現(xiàn)實(shí)的情況則是量子在相空間中的運(yùn)動(dòng)辆毡，其情況將會(huì)更加復(fù)雜。
決定論者依舊會(huì)辯駁其徙，如物理學(xué)家Roman Smoluchowski曾經(jīng)斷言：“如果我們的觀察延續(xù)不可計(jì)數(shù)長(zhǎng)的時(shí)間胚迫，一切過(guò)程都將表現(xiàn)出是可逆的”喷户。然而在此唾那，值得令人深思的就是這個(gè)“不可計(jì)數(shù)長(zhǎng)”的時(shí)間，一旦牽涉到無(wú)窮褪尝，情況就會(huì)顯得略有些神秘闹获，而在此處我認(rèn)為我們可以將這個(gè)不可計(jì)數(shù)長(zhǎng)的無(wú)窮時(shí)間等同于“不可能”。另外河哑，即便系統(tǒng)經(jīng)過(guò)“不可計(jì)數(shù)長(zhǎng)”的時(shí)間以后可以回到初始狀態(tài)避诽，系統(tǒng)并未因此而停下來(lái)，它還將會(huì)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)演化下去璃谨。這樣看來(lái)所謂的“不斷返回”沙庐，“回到初始狀態(tài)”和“可逆性”到底是系統(tǒng)的目的，還只是過(guò)程中萬(wàn)千概率所給出的可能性的一種呢佳吞？因此我們是否可以得出推論：“不可逆性”是復(fù)雜系統(tǒng)的本質(zhì)屬性拱雏，而非“無(wú)知介入物理學(xué)基本定律的后果”（Max Born）
我們簡(jiǎn)化的這個(gè)模型并非是一個(gè)脫離現(xiàn)實(shí)的假設(shè)，事實(shí)上底扳，我們的現(xiàn)實(shí)遠(yuǎn)比這個(gè)模型要復(fù)雜很多铸抑。將釘子和硬幣混在一起遠(yuǎn)比將它們分開方便許多；將花生醬和果醬混在一起很簡(jiǎn)單而將它們?cè)俅畏珠_將幾乎是不可能之事衷模；把氧氣和氮?dú)饣旌显谝黄鸷纹浜?jiǎn)單鹊汛，而將它們分離就我們目前的知識(shí)和技術(shù)來(lái)講蒲赂，則需要耗費(fèi)大量的能源進(jìn)行一系列的物理化學(xué)反應(yīng)才可以做到。我們進(jìn)一步思考到更復(fù)雜的系統(tǒng)刁憋，如氣候的改變滥嘴，花粉和種子的傳播，生物的進(jìn)化和遷徙至耻，行星的運(yùn)動(dòng)氏涩，乃至經(jīng)濟(jì)的動(dòng)蕩，歷史的進(jìn)程...... 因此我們可以說(shuō)有梆，由不確定性而導(dǎo)致的不可逆性是自然的本質(zhì)之一是尖。
4. 萬(wàn)物演化 - 自耗散和自組織系統(tǒng)
正是因?yàn)樽匀痪哂胁豢赡娴膶傩裕莼拍艹霈F(xiàn)泥耀，萬(wàn)物才能得以存在饺汹。
為何這樣說(shuō)呢？
不管是經(jīng)典力學(xué)的軌道和量子力學(xué)的波函數(shù)痰催，他們都試圖描述一種“確定性”兜辞。在這種確定性下，時(shí)間具有嚴(yán)格的對(duì)稱性（參考文末有關(guān)“對(duì)稱”的概念）夸溶，系統(tǒng)遵從著回到初態(tài)逸吵，或者更普適的來(lái)講，回到平衡態(tài)的趨勢(shì)的規(guī)律缝裁。然而扫皱，當(dāng)我們觀察真實(shí)的世界的時(shí)候，真的是這樣的嗎捷绑？事實(shí)上韩脑，我們現(xiàn)實(shí)的世界中理想狀態(tài)下的物理模型并不存在，萬(wàn)物的互動(dòng)以一種我們無(wú)法獲知全部初始條件的狀態(tài)在無(wú)時(shí)不刻的進(jìn)行著粹污。因此在明確的平衡態(tài)趨勢(shì)的“形而上”的基礎(chǔ)上段多，現(xiàn)實(shí)世界更多的是“近平衡態(tài)”，和遠(yuǎn)離平衡態(tài)的“非平衡態(tài)（不穩(wěn)定態(tài)）”壮吩。
普里戈金在《確定性的終結(jié)》一書中舉了一個(gè)有關(guān)化學(xué)反應(yīng)的例子：
若有一個(gè)化學(xué)反應(yīng)进苍，其形式為{A}?{X}?{F}，其中{A}是初始反應(yīng)物鸭叙，{X}是中間產(chǎn)物觉啊，{F}是最終生成物。
在平衡態(tài)下递雀，例如一個(gè)完全孤立的系統(tǒng)柄延，我們具有完美的對(duì)稱與細(xì)致的平衡，其中存在從{A}到{X}，又從{X}到{A}的許多轉(zhuǎn)變搜吧，對(duì){X}和{F}也是一樣市俊。
在遠(yuǎn)離平衡的狀態(tài)下，例如一個(gè)開放的反應(yīng)環(huán)境（更為現(xiàn)實(shí)的一個(gè)環(huán)境）滤奈，我們可以把{A}和{F}的值固定來(lái)觀察中間產(chǎn)物{X}的變化情況摆昧，我們會(huì)發(fā)現(xiàn){A}?{X}?{F}將會(huì)由一個(gè)非線性方程所描述，對(duì)于給定的{A}和{F}蜒程，{X}將會(huì)有很多解绅你，其中只有一個(gè)解對(duì)應(yīng)著平衡態(tài)。而更多的解對(duì)應(yīng)著距離平衡態(tài)一定距離的非平衡態(tài)昭躺。而當(dāng)?shù)竭_(dá)距離平衡態(tài)的某個(gè)臨界距離時(shí)忌锯，系統(tǒng)將會(huì)“失穩(wěn)”，平衡態(tài)的趨勢(shì)被打破领炫。（如下圖）
所以我認(rèn)為系統(tǒng)達(dá)到理想的平衡態(tài)僅僅是一個(gè)極端情況偶垮，現(xiàn)實(shí)環(huán)境中即便能夠達(dá)到，也是轉(zhuǎn)瞬即逝帝洪，系統(tǒng)繼續(xù)在以任意時(shí)間點(diǎn)t為起點(diǎn)的無(wú)限多初始條件的環(huán)境下不停歇的相互作用似舵，打破平衡，失穩(wěn)葱峡，再次開始新的相互作用砚哗，打破平衡，失穩(wěn)...... 周而復(fù)始的重復(fù)著變化和演化砰奕。
你可能會(huì)問(wèn)蛛芥，化學(xué)反應(yīng)是一個(gè)在分子層面的宏觀現(xiàn)象，那么讓我們來(lái)看看量子的世界是否也是如此：
我們都知道量子力學(xué)中最經(jīng)典的描述量子運(yùn)動(dòng)特征的就是波函數(shù)脆淹，可以說(shuō)波函數(shù)是量子力學(xué)的精髓常空。前面我們已經(jīng)討論過(guò)，波函數(shù)是一種類似于經(jīng)典力學(xué)軌道的思想盖溺，它將量子的概率幅用一種類軌道的方式表現(xiàn)出來(lái)，可以借此回溯過(guò)去預(yù)測(cè)未來(lái)铣缠，時(shí)間在波函數(shù)中具有對(duì)稱性烘嘱，是可逆的。然而這其中除了我們?cè)诘诙沃兴f(shuō)的因?yàn)楦怕识龅拿苤饣韧埽€有一個(gè)更深刻的矛盾蝇庭，那就是波函數(shù)的坍縮。
由于量子的不確定性捡硅，波函數(shù)預(yù)測(cè)的是量子出現(xiàn)的“概率”哮内，也就是說(shuō)波函數(shù)本身代表的一種“不確定性”，而當(dāng)量子相互作用，波函數(shù)ψ1與波函數(shù)ψ2開始疊加的時(shí)候北发，我們預(yù)期得到一個(gè)新的波函數(shù)ψ纹因，這種相互作用的疊加在量子的世界不斷的出現(xiàn)，我們始終應(yīng)該預(yù)期得出的還是波函數(shù)琳拨，那么問(wèn)題來(lái)了：是從什么時(shí)候開始由波函數(shù)ψ所描述的潛在性（不確定性）轉(zhuǎn)向了我們可以測(cè)量的實(shí)在性（確定性）的呢瞭恰？這就是著名的“量子佯謬”。
物理學(xué)家蓋爾曼在處理這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候引入一種粗粒理論狱庇，也就是將波函數(shù)疊加時(shí)出現(xiàn)的雙積（公式中的粗斜體：ψ^2 = c1^2ψ1^2 + c2^2ψ2^2 + 2c1c2c1ψ1ψ2）忽略惊畏，從而得出一個(gè)具有確定性意義的簡(jiǎn)單加和。然而密任，在普里戈金看來(lái)颜启，這樣簡(jiǎn)單的忽略雙積（壓制干涉項(xiàng)）非但沒(méi)有解決問(wèn)題，反而把最核心的要素給忽略了浪讳。
普里戈金從熱力學(xué)角度去看待這個(gè)雙積农曲，也就是從非平衡態(tài)和熵增的角度去理解波函數(shù)的坍縮。在三個(gè)以上的量子相互作用的情況下驻债，系統(tǒng)會(huì)由于不可約的雙積導(dǎo)致原有的函數(shù)軌道程指數(shù)級(jí)發(fā)散乳规，他通過(guò)龐加萊共振（參考文末的概念）來(lái)考察開放系統(tǒng)的不穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)在持續(xù)的相互作用中合呐，擴(kuò)散項(xiàng)在各個(gè)方向發(fā)散暮的，而在一些方向擴(kuò)散項(xiàng)成為支配項(xiàng)，直接改變了原有的軌道變成了可觀察項(xiàng)淌实，逐步放大的可觀察項(xiàng)逐漸形成了具有自耗散性的“自組織系統(tǒng)”冻辩，波函數(shù)坍縮，周而復(fù)始拆祈，潛在性完成了向可觀測(cè)的現(xiàn)實(shí)性的轉(zhuǎn)變恨闪。
這一章我們從經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)的角度分別考察了由概率引起的非平衡態(tài)系統(tǒng)對(duì)傳統(tǒng)軌道理論的影響，我個(gè)人認(rèn)為放坏，這是一個(gè)更加符合現(xiàn)實(shí)的理論咙咽。事實(shí)上，非平衡態(tài)系統(tǒng)理論不僅在物理化學(xué)等自然科學(xué)領(lǐng)域獲得了成功淤年，它在生物钧敞，醫(yī)學(xué)乃至經(jīng)濟(jì)學(xué)，社會(huì)學(xué)等社會(huì)科學(xué)方面都得到了廣泛應(yīng)用并取得了巨大的成果麸粮。MIT媒體實(shí)驗(yàn)室主任伊藤穰一在他的著作《爆裂》一書中溉苛，曾經(jīng)提到過(guò)一種在混亂社會(huì)結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)的“涌現(xiàn)”現(xiàn)象在我看來(lái)就是在不穩(wěn)定系統(tǒng)中自發(fā)出現(xiàn)自耗散組織的這個(gè)理論在社會(huì)科學(xué)中的應(yīng)用和驗(yàn)證。
一如普里戈金在他的書中寫到：
“如果世界由穩(wěn)定動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)組成弄诲，它就會(huì)與我們所觀察到的周圍世界迥然不同愚战。它將會(huì)是一個(gè)靜態(tài)的，可以完全預(yù)言的世界。但我們不能如此預(yù)言寂玲，因?yàn)樵谖覀兊恼鎸?shí)世界里塔插，我們?cè)谒袑哟紊隙及l(fā)現(xiàn)了漲落（見文末的概念），分岔和不穩(wěn)定性敢茁。導(dǎo)致確定性的穩(wěn)定系統(tǒng)僅僅與理想化佑淀、與近似性相對(duì)應(yīng)”。
確實(shí)彰檬，如果這個(gè)世界是由穩(wěn)定性來(lái)主宰伸刃，那么就不會(huì)有自耗散組織，不會(huì)有浩瀚星空逢倍，不會(huì)有風(fēng)雨雷電捧颅，更不會(huì)有萬(wàn)千生命和你我，一切將是萬(wàn)籟俱寂较雕。
5. 關(guān)于“時(shí)間”的概念的思考
最后碉哑，我們必須要討論一下“時(shí)間”這個(gè)概念。它的對(duì)稱與否在決定論和概率論之間是一個(gè)關(guān)鍵性的問(wèn)題亮蒋。
時(shí)間是一個(gè)亙古的話題扣典，在牛頓的世界里（甚至被量子理論擴(kuò)展時(shí)），空間和時(shí)間都是一勞永逸的給定的慎玖，時(shí)間是一個(gè)獨(dú)立于研究對(duì)象之外的存在贮尖，物理定律在某一時(shí)刻之前和之后沒(méi)有區(qū)別。
愛(ài)因斯坦的狹義相對(duì)論徹底改變了人類對(duì)于時(shí)間的理解和認(rèn)識(shí)趁怔，時(shí)間不再是一個(gè)完全獨(dú)立的存在湿硝，它參與到物理定律之中，成為一個(gè)相對(duì)的維度润努。正如他的名言所說(shuō)一樣：“時(shí)間像不可逆性一樣僅僅是一種錯(cuò)覺(jué)关斜。”
然而铺浇，時(shí)間和不可逆性真的僅僅是錯(cuò)覺(jué)嗎痢畜？到了熱力學(xué)理論階段，我們已經(jīng)可以比較清楚地看到随抠，事實(shí)并非如此裁着。在現(xiàn)實(shí)的世界中，演化在永不停歇的進(jìn)行拱她，時(shí)間具有明確可以感知的方向性和不可逆性。
普里戈金在書中寫到“時(shí)間流（方向性）依賴于哈密頓量（參加文末概念）扔罪，即依賴于動(dòng)力學(xué)的龐加萊共振”秉沼。如何理解這句話？我的腦中出現(xiàn)了一幅圖景：讓我們從一個(gè)突破相空間（退定義域分布）的微觀世界開始想象，量子在這個(gè)空間中既具有其本征的特性唬复，同時(shí)它們也做著無(wú)序且具有不確定性的運(yùn)動(dòng)矗积，隨機(jī)和概率由此而出現(xiàn)，使得它們的運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)了具有偏離理論軌道趨勢(shì)的漲落敞咧。有一些漲落很快被消散棘捣，而有一些漲落卻引起了軌道的不可逆性的偏離，這種偏離在各個(gè)方向都會(huì)出現(xiàn)休建，而只有一定概率的偏離會(huì)進(jìn)一步被放大乍恐，進(jìn)而出現(xiàn)自組織系統(tǒng)，這些自組織系統(tǒng)進(jìn)一步互相作用测砂，其一部分的漲落效應(yīng)進(jìn)一步被放大茵烈，最后只有一種結(jié)果到達(dá)了可以被我們所觀察所感知的層面。世界砌些，由此而生呜投；生命，由此而生存璃。
正如普里戈金所說(shuō)：
“我們都處于一個(gè)多種漲落的世界仑荐，有些漲落進(jìn)化，有些漲落退化纵东。...... 但我們現(xiàn)在走的更遠(yuǎn)粘招。這些漲落是不穩(wěn)定動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)微觀層次上產(chǎn)生的漲落的根本屬性的宏觀表現(xiàn)。...... 始于動(dòng)力學(xué)層次的不可逆性和時(shí)間流在宏觀層次得到放大篮迎，繼而在生命層次再次放大男图，最終在人類活動(dòng)層次也被放大......”
我腦海中的圖景，時(shí)間在各個(gè)方向都存在甜橱，但是我們能感知的只有漲落逐層放大后突現(xiàn)出來(lái)的那個(gè)具有單一方向性的時(shí)間流逊笆。古往今來(lái)，我們所討論的時(shí)間問(wèn)題岂傲，其本質(zhì)都是“時(shí)間的方向性”难裆。
6. 終言與思考
現(xiàn)在，這篇文章終于到了尾聲镊掖。我們從概率開始乃戈，一路沿著自然科學(xué)發(fā)展的軌跡從熱力學(xué)的角度審視了一遍，并嘗試探討了一下“不確定性”亩进，“非平衡態(tài)系統(tǒng)”症虑，“自耗散”和“自組織系統(tǒng)”，以及“混沌”和“演化”這些概念归薛，最后我根據(jù)大師所著表達(dá)了我自己對(duì)于時(shí)間的理解谍憔。
就在我即將結(jié)束這篇長(zhǎng)文的前兩周匪蝙，歐洲核子研究所（CERN）剛剛宣布了他們?cè)诜次镔|(zhì)方面取得了新的研究成果，他們?cè)谝粋€(gè)新的介子习贫，D0介子（其正介子和它的反介子本身就不具備CP對(duì)稱性）的研究中宣布有望能夠最終解釋為什么我們宇宙中物質(zhì)要比反物質(zhì)多逛球，從而讓我們這個(gè)物質(zhì)的世界得以存在的原因。要知道苫昌，在大爆炸之初颤绕，宇宙中產(chǎn)生了等量的物質(zhì)和反物質(zhì)。但是為什么我們現(xiàn)在所能觀測(cè)到的宇宙完全是由物質(zhì)構(gòu)成的呢祟身？這個(gè)對(duì)稱性是如何被打破的呢奥务？在科學(xué)家們高興地宣布了這個(gè)新的介子所可能起到的重要作用的時(shí)候，我們是不是可以猜想這背后的機(jī)制仍然是偉大的“不確定性”呢月而？
另外汗洒，我在文初提到卻在文中沒(méi)有深入談?wù)摰囊粋€(gè)概念是“自由意志”。這是一個(gè)太過(guò)艱深的話題父款，以至于我們很難脫離“神性”來(lái)客觀的討論它溢谤。
暢銷小說(shuō)作家丹布朗的新作《起源》，講的其實(shí)就是混沌憨攒，演化世杀，生命和神性（宗教）的故事「渭《起》中的主角是一位計(jì)算機(jī)專家瞻坝，同時(shí)也是一位無(wú)神論者。他利用混沌和演化的科學(xué)理論杏瞻，在計(jì)算機(jī)中模擬了“原生湯”這個(gè)地球最原始的孕育生命的可能的環(huán)境所刀，然后讓計(jì)算機(jī)幫助去完成混沌的演化過(guò)程，得到“生命”捞挥，最后得出了“無(wú)神”的結(jié)論浮创。生命是一系列自然演化的結(jié)果，無(wú)需神造砌函，他也因此而被極端宗教份子所殺害斩披。
然而，無(wú)論是“無(wú)神”的自然演化讹俊，還是神的意志垦沉，我們（不僅僅是人）的自由意志到底在哪里，到底有沒(méi)有呢仍劈？如果有厕倍，它對(duì)世界又是否有真正意義上的影響呢？
美國(guó)著名神經(jīng)學(xué)家Antonio Damasio在最近的一個(gè)TED演講上提出過(guò)所謂的“意識(shí)”應(yīng)該包括兩個(gè)部分贩疙，一是基于神經(jīng)系統(tǒng)的條件反射绑青，是物質(zhì)性的诬像，另一方面是一個(gè)叫“自我”的東西屋群，很難界定它到底是純心理的還是介乎在物質(zhì)和心理之間的一種現(xiàn)象闸婴。
在我看來(lái)，我們所要研究的“自由意志”應(yīng)該是這個(gè)叫“自我”的東西所具有的“選擇”的能力芍躏。這種能力是否具有真實(shí)性呢邪乍？當(dāng)我們了解了漲落和分岔的概念以后，我們可以想見萬(wàn)千“自我”的無(wú)數(shù)“選擇”會(huì)造成無(wú)窮的漲落对竣，有些甚至?xí)鹣到y(tǒng)的失穩(wěn)庇楞，例如股市的波動(dòng)，交通的癱瘓否纬，環(huán)境的污染吕晌，氣候的變化，但是這樣的自由意志是否真的會(huì)在極大和極小層面產(chǎn)生影響呢临燃？比如因生命體的“自由意志”而改變電子云的軌跡或者地月之間的潮汐力睛驳？即便我們能夠通過(guò)一系列不可思議的計(jì)算證明這種影響是存在的，那么“自由意志”是否能夠改變整個(gè)宇宙的不變的終點(diǎn) —— 時(shí)間單向不停流逝膜廊，宇宙不斷熵增而最終到達(dá)熱寂的這個(gè)終極趨勢(shì)呢乏沸？我無(wú)法回答這個(gè)問(wèn)題，但是我的這個(gè)“自我”傾向于“選擇”的答案是“不”爪瓜。
好了蹬跃，最后讓我用兩句我自己的話來(lái)結(jié)束我的這篇長(zhǎng)文：
1. 確定性為骨，描繪了一個(gè)大一統(tǒng)的世界規(guī)律铆铆，它存在于一個(gè)柏拉圖式的理想世界蝶缀；不確定性為血肉，萬(wàn)物因?yàn)樗刂鴷r(shí)間之矢不停歇的演化薄货，我們所見的充分多樣性的世界都是演化的結(jié)果翁都。這個(gè)世界是確定性和不確定性的二元統(tǒng)一。
2. “自由意志”存在嗎菲驴？我的答案是肯定的荐吵。它存在于因不確定性而產(chǎn)生的那個(gè)叫做“概率”的狹長(zhǎng)通道里。我們有“選擇”赊瞬，但是我們改變不了宏宇大勢(shì)先煎。
——終——
附文：
一些相關(guān)概念的解釋：
伊壁鳩魯二難推理 ——自然法則 VS 自由意志
做為德謨克利特(Democritus)的追隨者，希臘哲學(xué)家伊壁鳩魯(Epicurus)在2500年前第一個(gè)表述了一個(gè)根本性的二難推理巧涧。他提出：“如果原子以相同的速度平行地通過(guò)虛空下落薯蝎，那么，它們?cè)趺窗l(fā)生碰撞谤绳？與原子的組合密切相關(guān)的新奇性又如何出現(xiàn)呢占锯？” 更進(jìn)一步來(lái)講袒哥，“在確定性的原子世界里，人類的自由的含義是什么呢消略？” 這個(gè)問(wèn)題作為自然法則的確定性和主觀意志之間的二元矛盾至今仍在困擾著西方思想堡称。
希爾伯特空間 ——多維乃至無(wú)限維的一個(gè)空間
希爾伯特空間（Hilbert space）是指一個(gè)完備的內(nèi)積空間，即一個(gè)帶有內(nèi)積的完備向量空間艺演。相對(duì)于有限維的歐幾里得空間却紧，希爾伯特空間是一個(gè)推廣，它使空間不再局限于實(shí)數(shù)的情形和有限的維數(shù)從而推廣到無(wú)限維胎撤，但又不失完備性（如虛數(shù)和復(fù)數(shù)等概念在希爾伯特空間內(nèi)仍然有效）晓殊。與歐幾里得空間相仿，希爾伯特空間也是一個(gè)內(nèi)積空間伤提，其上有距離和角的概念（及由此引申而來(lái)的正交性與垂直性的概念）巫俺。此外，希爾伯特空間上所有的柯西序列會(huì)收斂到此空間里的一點(diǎn)肿男，從而微積分中的大部分概念都可以無(wú)障礙地推廣到希爾伯特空間中介汹。 而在《確定性的終結(jié)》一書中，我們將進(jìn)一步突破希爾伯特空間次伶，去探索時(shí)間和宇宙的起源痴昧。
相空間 ——?jiǎng)恿亢臀恢脴?gòu)成的六維空間
相空間（Phase Space）是一個(gè)用以表示出一系統(tǒng)所有可能狀態(tài)的空間；系統(tǒng)每個(gè)可能的狀態(tài)都有一相對(duì)應(yīng)的相空間的點(diǎn)冠王。相空間是一個(gè)六維假想空間赶撰，其中動(dòng)量和空間各占三維。作為一個(gè)巨大維數(shù)的空間柱彻，它上面的每個(gè)點(diǎn)代表我們考慮的系統(tǒng)全部可能的態(tài)豪娜。
例如，如果我們需要用相空間去描述哈密頓量（系統(tǒng)的總能量哟楷，包括動(dòng)能和勢(shì)能）瘤载，那么在系統(tǒng)中的每一個(gè)點(diǎn)Q即代表所有位置坐標(biāo)x1，x2卖擅，…和所有動(dòng)量坐標(biāo)p1鸣奔，p2，…的一種特定的值惩阶。也就是說(shuō)挎狸，Q表示我們整個(gè)物理系統(tǒng)，指明組成它的所有單獨(dú)粒子的特定的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)断楷。
從決定論的角度來(lái)講锨匆，如果我們給定t=0時(shí)刻的相空間的所有變量的起始數(shù)據(jù)，我們即可知道任意t=n時(shí)刻相空間的狀態(tài)冬筒。此處t值可正可負(fù)恐锣。
哈密頓量 ——?jiǎng)幽?勢(shì)能
哈密頓力學(xué)中的一個(gè)重要概念茅主。哈密頓力學(xué)是一個(gè)在拉格朗日力學(xué)基礎(chǔ)上演化而來(lái)的對(duì)牛頓經(jīng)典力學(xué)的重新表述，哈密頓力學(xué)屬于分析力學(xué)的表述方式土榴，它引入了廣義坐標(biāo)系統(tǒng)（相空間）以解決用笛卡爾坐標(biāo)不易描述的問(wèn)題 诀姚，因此其更加具有普遍性，其方法更加具有公理性的特點(diǎn)鞭衩。
雖然哈密頓力學(xué)還是屬于經(jīng)典力學(xué)范疇学搜，但是它在量子力學(xué)中有廣泛使用。在量子力學(xué)中论衍，哈密頓量是用于描述一個(gè)系統(tǒng)總能量的一個(gè)算符，用H表示聚磺。具體來(lái)講坯台，哈密頓量是指在一個(gè)相空間中所有粒子的動(dòng)能的總和加上與系統(tǒng)相關(guān)的粒子的勢(shì)能，即H=T+V（其中T是動(dòng)能瘫寝，V是勢(shì)能）蜒蕾。
對(duì)稱性 ——變化中的不變性
對(duì)稱性（symmetry）是現(xiàn)代物理學(xué)中的一個(gè)核心概念。系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)變換到另一個(gè)狀態(tài)焕阿，如果這兩個(gè)狀態(tài)等價(jià)咪啡，則說(shuō)系統(tǒng)對(duì)這一變換是對(duì)稱的∧郝牛或者說(shuō)給系統(tǒng)一個(gè)“操作”撤摸，如果系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)變到另一個(gè)等價(jià)的狀態(tài)，則說(shuō)系統(tǒng)對(duì)這一操作是對(duì)稱的褒纲。它是指一個(gè)理論在某些變量的變化下的不變性准夷。物理學(xué)中最簡(jiǎn)單的對(duì)稱性例子是牛頓運(yùn)動(dòng)方程的伽利略變換不變性和麥克斯韋方程的洛倫茲變換不變性和相位不變性。
數(shù)學(xué)上莺掠，這些對(duì)稱性由群論來(lái)表述衫嵌。上述例子中的群分別對(duì)應(yīng)著伽利略群，洛倫茲群和U(1)群彻秆。大自然中楔绞，對(duì)稱性比比皆是，比如上述的“本征函數(shù)和本征值”也是對(duì)稱性的一個(gè)深刻表現(xiàn)唇兑。
龐加萊共振 —— 三體問(wèn)題
19世紀(jì)末酒朵，龐加萊證明了并非所有的系統(tǒng)都是可積的。在一個(gè)自由的無(wú)相互作用的粒子（即粒子只具有動(dòng)能而不具有相互作用產(chǎn)生的勢(shì)能）構(gòu)成的系統(tǒng)幔亥，它是可積的耻讽。而是事實(shí)上，現(xiàn)實(shí)世界中 這種相互不作用的系統(tǒng)少之又少帕棉。相反针肥，更常見的是既有動(dòng)能又有勢(shì)能的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)饼记，龐加萊證明了動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是不可積的。其原因就來(lái)自于粒子間的共振作用慰枕，從三體問(wèn)題開始具则，絕大部分的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)都是不可積的。正是因?yàn)辇嫾尤R共振所引起的系統(tǒng)不可積性具帮，時(shí)間的對(duì)稱性自發(fā)產(chǎn)生破缺博肋，不可逆性的自組織系統(tǒng)才得以產(chǎn)生。
漲落 ——平均狀態(tài)下的隨機(jī)偏差
漲落是一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)的概念蜂厅，是指系統(tǒng)中不同時(shí)刻測(cè)量到的單個(gè)實(shí)際數(shù)據(jù)與系統(tǒng)的相對(duì)平均值之間的偏差匪凡。如果有大量的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，我們就可以發(fā)現(xiàn)漲落在宏觀角度體現(xiàn)出明顯的隨機(jī)性掘猿。漲落現(xiàn)象在微觀世界和宏觀世界病游，以及自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)等所有的領(lǐng)域中都有廣泛的適用性。在平均值附近的漲落相對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)來(lái)講較小稠通，可以被忽略衬衬，而系統(tǒng)終會(huì)回到均值穩(wěn)定狀態(tài)；而在臨界值附近的漲落一般很難會(huì)自行消散改橘，會(huì)被系統(tǒng)的不穩(wěn)定性放大滋尉，而最終將系統(tǒng)帶到新的宏觀態(tài)。
量子力學(xué)中的量子漲落是基于海森堡的測(cè)不準(zhǔn)原理推導(dǎo)出的理論飞主，由于在量子場(chǎng)中無(wú)法同時(shí)獲得位置/動(dòng)量這對(duì)共軛變量的精確值狮惜，因此基于漲落理論，我們可以計(jì)算出基本粒子在量子場(chǎng)中的概率密度既棺。
在熱力學(xué)中讽挟，漲落的體現(xiàn)是在于系統(tǒng)的熱波動(dòng)（如壓力，溫度丸冕，熵等）隨時(shí)間的變化與系統(tǒng)的平均狀態(tài)的隨機(jī)偏差耽梅。而考慮到熱力學(xué)中的不可逆性，這種隨機(jī)的波動(dòng)偏差導(dǎo)致了擴(kuò)散或者耗散胖烛，從而產(chǎn)生“自耗散系統(tǒng)”眼姐，“自耗散系統(tǒng)”是《確定性的終結(jié)》一書中的一個(gè)核心概念。
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