Calculus with Parametric Curves 參數(shù)曲線的微積分
表示曲線的參數(shù)等式。
對(duì)應(yīng)的微積分在 參數(shù)曲線的應(yīng)用逞度。
通常解決問(wèn)題會(huì)用
- Tangents 切線
- **area 面積 **
- arc length 弧長(zhǎng)
- surface area 表面積
Tangents 切線
前面 自變量 和 因變量 之間的表達(dá)式甘耿，很好理解
這里 參數(shù)方程， 例如 x = f（t） 和 y = g（t） 的表達(dá)。
最后得到 y = F（x）
也就是： g（t） = F（f（t））
【注意： 這里 g忧便，F(xiàn)，f都是可微的】
通過(guò)鏈?zhǔn)皆瓌t帽借，可以得到
如果
我們可以得到：
其實(shí)珠增， 換一種寫(xiě)法，也就是：
例子1
（a）
因?yàn)檫^(guò)（3砍艾，0）
可以得到 t = 0蒂教， 或者 t = 正負(fù)根號(hào)3 （先簡(jiǎn)單這樣寫(xiě)吧，哎）
這里x = 3脆荷， 也就是 t 為 正負(fù)根號(hào)3
在（3凝垛，0）有2個(gè)切線值， 我們可以得到
由 t 為 正負(fù)根號(hào)3
可以得到：
所以蜓谋，2個(gè)切線為：
（b）
水平切線梦皮，也就是 斜率為 0
- dy / dx = 0，
- dy / dt = 0 , dx / dt ≠ 0
豎直切線桃焕，也就是
- dx / dt = 0
- dy / dt ≠ 0
具體過(guò)程
【水平切線】剑肯，由
可以得到
并且這個(gè)時(shí)候，都滿足：dx / dt ≠ 0
可以得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（1覆旭，2）退子，（1，-2）
【豎直切線】型将，由
dx / dt = 2t = 0
可以得到 t = 0
這個(gè)時(shí)候寂祥，dy / dt ≠ 0
我們可以得到點(diǎn)（0，0）
（c）
我們求2次導(dǎo)數(shù)七兜，有：
可以知道
- t > 0 的時(shí)候丸凭， upward
- t < 0 的時(shí)候， downward
（d）
自己就貼一下圖，不是自己畫(huà)....
Areas 面積
對(duì)應(yīng)的由 自變量惜犀，因變量 到 第3參數(shù)铛碑，其實(shí)就是一個(gè)轉(zhuǎn)換的過(guò)程
都用t表示即可
例子3
我們先看下圖3：
再由
和
我們可以把面積 A 化簡(jiǎn)為：
Arc Length 弧長(zhǎng)
之前有，當(dāng)曲線C連續(xù)虽界，也就是 F 可導(dǎo)汽烦，有：
如果有：
這個(gè)時(shí)候，我們把自變量都變成t莉御，有：
當(dāng)
有：
具體證明撇吞，略
例子4
這里10.1的 Example2， 我們貼一下題目和圖：
圖：
這里礁叔，由：
我們可以表示對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)：
Surface Area 表面積
如果 f' 牍颈， g' 存在，并且連續(xù)琅关， 還有 g(t) >= 0
我們有：
例子6
對(duì)應(yīng)的球體煮岁，就是半圓旋轉(zhuǎn)得到的：
有
所以，表面積為：
證畢
