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Introduction

這個筆記由幾位專業(yè)人士準備特漩，因而感覺非常好讀督笆。主要關于subdivision，從最基礎的數學介紹到應用栽惶，還有一些bonus代碼脓诡。

Advantages:

• arbitrary topology
• scalability
• uniformity of representation
• numerical stability
• code simplicity.

比起樣條（spline）更便利，同時是recursive structure媒役，方便實現和計算祝谚，效率比較高。

Foundations I: Basic Ideas

細分思想

先從插值細分（Interpolating Subdivision）開始講起酣衷。我個人理解是交惯，在一段線段里再插入幾個點，讓線段變成幾條小線段穿仪，從而使折線更平滑席爽。原來的點不變，只是多了插入的點啊片。

Subdivision defines a smooth curve or surface as the limit of a sequence of successive refinements.

也就是說只锻，細分是想用有限的序列不斷地精細化，來表現平滑曲線曲面紫谷。
在插值細分中齐饮，需要確定一個規(guī)則，即如何決定在哪里插入新的點笤昨。不同的規(guī)則自然會導致不同平滑度和不同形狀的曲線曲面祖驱。
規(guī)則需要考慮到的點有以下幾條：

• Efficiency：用少量浮點運算計算新點位置，e.g. 加權平均
• Compact support: 當一個點插入時瞒窒，其影響應當是有限的捺僻，能夠控制住的
• Local definition: 新點的計算規(guī)則不應該基于較遠的點
• Affine invariance: 點集的affine transformation不會影響曲線曲面的形狀，e.g. 加權平均中權重和為1
• Simplicity: 規(guī)則要簡明
• Continuity: 注意產生的曲線曲面的連續(xù)性和可微性

細分與其他方式的對比：

• Efficiency: 細分是比較高效的崇裁。其實有些細分就是spline modeling中knot insertion的推論和歸納匕坯。但是隱式曲面（不是很懂）計算就比較低效了。

An algorithm such as marching cubes is required to generate the polygonal approximation needed for rendering.Variational surfaces can be even worse: a global optimization problem has to be solved each time the surface is changed.

• Arbitrary topology: 細分是在研究者們嘗試解決spline的任意拓撲問題時產生的拔稳。這個也是隱式曲面的特長所在葛峻。（不是很懂）
• Surface features: 即對于形狀大小的控制。variational surfaces很好壳炎，靈活性高泞歉，也能精確創(chuàng)造性狀。隱式曲面則不行匿辩。spline雖然可以腰耙，但是計算上非常低效。細分比spline好铲球。
• Complex geometry: 這個應該是subdivision的專長了挺庞，由于是計算決定精細度，很容易實現level-of-detail rendering稼病。

復習樣條的內容

Splines are piecewise polynomial curves of some chosen degree.

樣條是B-樣條（即basis spline）的線性組合选侨。這些B-樣條是控制點的系數掖鱼。想要連接樣條，連接處的曲線段的各級導數最好是相等的援制，這樣才能維持住spline整體的連續(xù)性戏挡。同時控制點的移動僅會影響一小部分的曲線。這里有一個小動畫晨仑，通過拖動控制點褐墅，可以很清楚地看到其移動帶來的影響是local的。p.s. 加載可能要vpn

下面介紹如何用repeated convolution構建B-splines洪己。

x(t) = ∑x_iB^i_0(t)
_表示下標妥凳，^表示上標。目前沒找到在markdown里加latex的方法……

如果 x(t) 是piecewise constant coordinate functions答捕，那么 B_0(t) 就是一個box function逝钥，在 [0,1) 上為1，其他為0拱镐。然后上標 i 表示translation艘款，即把 B_0(t) 右移 i。

the continuous convolution of two functions f and g: (f ? g)(t) = integrate{ f(s) g(t?s) ds }.

于是B_1(t)= integrate{ B_0(s) B_0(t?s) ds }痢站，是一個linear hat function磷箕。

于是a B-spline of degree p可以歸納為：

B_p(t)= integrate{ B_p?1(s) B_0(t?s) ds }.

其連續(xù)性有以下定理：

Theorem 1 If f(t) is C^k continuous, then (B_0 ? f )(t) is C^k+1 continuous.

即一個n級spline是C^n-1 continuous。

B-樣條的微調能力

B-樣條遵從一個refinement equation阵难。這是一條連接樣條和細分的性質。

In other words, the B-spline of degree l can be written as a linear combination of translated (k) and dilated (2t) copies of itself.