多項式歸納

總而言之莺葫，多項式中的題目基本上三板斧就能夠解決：設(shè)出合適的形式片习、帶余除法運用捌肴、利用根和互素性。

合適的形式

什么叫做合適的形式藕咏，以我目前的水平還無法用幾句話來概括状知，只能列舉幾個例題來說明：
例1.設(shè) $f(x)$ 是整系數(shù)多項式，且 $f(1)=f(2)=f(3)=p(p為素數(shù))$ .則不存在整數(shù) $m$ 使得 $f(m)=2p$
Tips:對于多項式的設(shè)法最關(guān)鍵的就是能夠充分把題目信息包含進去孽查，學(xué)了數(shù)值分析中饥悴，遇到這種問題總是會冒出插值的想法，然而插值并無法保證整系數(shù)這一點盲再，所以設(shè)為 $f(x)=g(x)(x-1)(x-2)(x-3)+p$

例2.設(shè) $m$ 為任一正整數(shù)西设，證明 $f^m(x)|g^m(x)$ 的充要條件為 $f(x)|g(x)$
Tips:令 $(f(x),g(x))=d(x)$ 設(shè) $f(x)=d(x)f_1(x),g(x)=d(x)g_1(x),(f_1(x),g_1(x))=1$ 來進一步做，或設(shè)出 $g(x)$ 的標(biāo)準(zhǔn)分解式 $g(x)=ap_1^{r_1}(x)p_2^{r_2}(x)\ldots p_s^{r_s}(x)$

例3. $f(x)$ 為數(shù)域 $\mathbb{P}$ 上的不可約多項式
(1) $g(x)\in \mathbb{P}[x]$ 且與 $f(x)$ 有一公共復(fù)根 $\alpha$ 答朋，則 $f(x)|g(x)$
(2)若 $c$ 及 $\frac{1}{c}$ 都是 $f(x)$ 的根贷揽， $b$ 是 $f(x)$ 的任一根，證明 $\frac{1}绿映$ 也是 $f(x)$ 的根
Tips:設(shè) $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$
$\phi(x)=a_n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^{n-1}+a_0$

例4.求所有滿足條件： $f(0)=-4,f(1)=-2,f(-1)=-10,f(2)=2$ 的實系數(shù)多項式
Tips:設(shè) $h(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ,滿足條件的 $f(x)=g(x)x(x-1)(x+1)(x-2)+h(x)$

例5.設(shè) $p$ 為素數(shù)擒滑，證明 $f(x)=px^4+2px^3-px+(3p-1)$ 在有理數(shù)域上不可約
Tips:大膽設(shè)腐晾，不要怕寫出具體形式。

例6.證明：設(shè) $n>4,a_1,\ldots,a_n$ 為互不相同的整數(shù)丐一， $f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_n)+1$ 則 $f(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可約藻糖。

例7.求一個 $2n-1$ 次多項式使得 $f(x)+1$ 能被 $(x-1)^n$ 整除，而 $f(x)-1$ 能被 $(x+1)^n$ 整除

例8.設(shè) $F$ 是數(shù)域库车， $f(x),g(x)\in F(x)$ 且 $degf(x)=m>1,degg(x)=n>1$ 巨柒，利用 $f(x),g(x)$ 構(gòu)造一個次數(shù)為 $mn-1$ 的可約多項式

帶余除法的運用

遇到表達成什么形式的題目，一般要帶余除法和互素性相結(jié)合來解題柠衍。
例9.設(shè) $f_1(x),\ldots,f_m(x)$ 是兩兩互素的多項式洋满， $a_1,\ldots,a_m$ 是數(shù)，證明：存在多項式 $g(x)$ 滿足 $g(x)=f_i(x)q_i(x)+a_i,i=1,\ldots,m$
Tips:其中構(gòu)造出的 $g(x)$ 具有高度的對稱性珍坊，其構(gòu)造過程值得好好品味牺勾， $U_i(x)f_i(x)+V_i(x)\prod\limits_{k\not=i}f_k(x)=a_i$ 令 $g(x)=\sum\limits_{i=1}^mV_i(x)\prod\limits_{k\not=i}f_k(x)$

例10.設(shè) $\mathbb{Q}[x]$ 表示有理數(shù)域上的多項式的集合。 $c$ 是某一有理系數(shù)多項式的根阵漏。令 $I=\{f(x)\in \mathbb{Q}[x]|f(c)=0\}$
證明：
(1)在 $I$ 中存在一個首項系數(shù)為1的多項式 $p(x)$ 驻民，使得 $\forall f(x)\in \mathbb{Q}[x]$ ，都有 $p(x)|f(x)$
(2) $p(x)$ 是有理數(shù)域上的不可約多項式
(3)若 $c=\sqrt{2} + i$ 履怯，求 $p(x)$
分析：這種存在性問題一般先根據(jù)其具有的性質(zhì)寫出大方向回还，再進一步證明。
證明：(1)由條件知 $I$ 非空叹洲，不妨設(shè) $I$ 中最小次數(shù)且首一的多項式為 $p(x)$ 柠硕，那么 $\forall f(x)\in\mathbb{Q}[x]$ 令 $f(x)=p(x)q(x)+r(x)$ 其中 $q(x),r(x)\in\mathbb{Q}[x]$ 且 $r(x)=0$ 或 $deg (r(x))<deg(p(x))$ 若 $r(x)\not=0$ 則可得 $r(c)=f(c)-p(c)q(c)=0$ 即 $r(x)$ 是比 $p(x)$ 次數(shù)更小的滿足條件多項式，與取法矛盾运提，從而 $r(x)=0$ 得到 $p(x)|f(x)$
(2)反設(shè) $p(x)$ 可約 $p(x)=p_1(x)p_2(x)$ 由 $p(c)=0$ 可推得 $p_1(c)=0$ 或 $p_2(c)=0$ 與 $p(x)$ 取法矛盾
(3) $(x-c)(x-\overline{c})=x^2-2\sqrt{2}x+3$ $p(x)=(x^2-2\sqrt{2}x+3)(x^2+2\sqrt{2}x+3)=x^4-2x^2+9$

利用根和互素性

例11.設(shè)多項式 $(f(x),g(x))=1$ 蝗柔，則 $f^2(x)+g^2(x)$ 的重根為 $f'(x)^2+g'(x)^2$ 的根

例12.設(shè) $f(x),g(x),h(x)\in \mathbb{F[x]}$ ，證明：存在 $a(x),b(x),r(x),s(x),t(x)\in F[x]$ 使得 $\left|\begin{array}{ccc} f(x)&g(x)&h(x)\\ a(x)&b(x)&c(x)\\ r(x)&s(x)&t(x)\end{array}\right|=(f(x),g(x),h(x))$

最后編輯于：2018.12.08 08:36:06

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