1. Jacobian
在向量分析中, 雅可比矩陣是一階偏導(dǎo)數(shù)以一定方式排列成的矩陣, 其行列式稱為雅可比行列式. 還有, 在代數(shù)幾何中, 代數(shù)曲線的雅可比量表示雅可比簇：伴隨該曲線的一個代數(shù)群, 曲線可以嵌入其中. 它們?nèi)慷家詳?shù)學(xué)家卡爾·雅可比(Carl Jacob, 1804年10月4日－1851年2月18日)命名寝贡；英文雅可比量”Jacobian”可以發(fā)音為[ja ?ko bi ?n]或者[?? ?ko bi ?n].
雅可比矩陣的重要性在于它體現(xiàn)了一個可微方程與給出點的最優(yōu)線性逼近. 因此, 雅可比矩陣類似于多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
假設(shè)F: Rn→Rm是一個從歐式n維空間轉(zhuǎn)換到歐式m維空間的函數(shù). 這個函數(shù)由m個實函數(shù)組成: y1(x1,…,xn), …, ym(x1,…,xn). 這些函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(如果存在)可以組成一個m行n列的矩陣, 這就是所謂的雅可比矩陣：
此矩陣用符號表示為：
這個矩陣的第i行是由梯度函數(shù)的轉(zhuǎn)置yi(i=1,…,m)表示的.
如果pp是RnRn中的一點, FF在pp點可微分, 那么在這一點的導(dǎo)數(shù)由JF(p)JF(p)給出(這是求該點導(dǎo)數(shù)最簡便的方法). 在此情況下, 由F(p)F(p)描述的線性算子即接近點pp的FF的最優(yōu)線性逼近, xx逼近于pp:
F(x)≈F(p)+JF(p)?(x–p)
雅可比行列式
如果m = n, 那么FF是從n維空間到n維空間的函數(shù), 且它的雅可比矩陣是一個方塊矩陣. 于是我們可以取它的行列式, 稱為雅可比行列式.
在某個給定點的雅可比行列式提供了 在接近該點時的表現(xiàn)的重要信息. 例如, 如果連續(xù)可微函數(shù)FF在pp點的雅可比行列式不是零, 那么它在該點附近具有反函數(shù). 這稱為反函數(shù)定理. 更進(jìn)一步, 如果pp點的雅可比行列式是正數(shù), 則FF在pp點的取向不變；如果是負(fù)數(shù), 則FF的取向相反. 而從雅可比行列式的絕對值, 就可以知道函數(shù)FF在pp點的縮放因子痊银；這就是為什么它出現(xiàn)在換元積分法中.
對于取向問題可以這么理解, 例如一個物體在平面上勻速運(yùn)動, 如果施加一個正方向的力FF, 即取向相同, 則加速運(yùn)動, 類比于速度的導(dǎo)數(shù)加速度為正衣屏；如果施加一個反方向的力FF, 即取向相反, 則減速運(yùn)動, 類比于速度的導(dǎo)數(shù)加速度為負(fù).
2. 海森Hessian矩陣
在數(shù)學(xué)中, 海森矩陣(Hessian matrix或Hessian)是一個自變量為向量的實值函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)組成的方塊矩陣, 此函數(shù)如下：
f(x1,x2…,xn)
如果f的所有二階導(dǎo)數(shù)都存在, 那么f的海森矩陣即：
當(dāng)A為正定矩陣時，f有極小值酝静；
當(dāng)A為負(fù)定矩陣時节榜，f有極大值；
