首先幅疼，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)定義了一個(gè)平面。每個(gè)平面都有一個(gè)法線堂飞，可以看作垂直于平面表面的直線灌旧。考慮到我們知道三角形頂點(diǎn)（A酝静，B和C）的坐標(biāo)节榜，我們可以計(jì)算向量AB和AC（它們只是從A到B和A到C的線）。為此别智，我們只需從A中減去B和從A中減去C。
要計(jì)算平面的法線（邏輯上稼稿，由于三角形位于平面中薄榛，它與三角形的法線相同）讳窟，我們只需計(jì)算AB和AC的叉積。這兩個(gè)矢量位于同一平面敞恋，因?yàn)樗鼈冞B接三角形的頂點(diǎn)丽啡。由該叉積產(chǎn)生的矢量（表示為N）救是三角形的法線（圖1）。
數(shù)學(xué)表達(dá)如下：
A = v1 - v0 = (1-(-1), (-1)-(-1), 0) = (2, 0, 0)
B = v2 - v0 = (0-(-1), 1-(-1), 0) = (1, 2, 0)
C = A × B
N_x = A.y * B.z - A.z * B.y = 0
N_y = A.z * B.x - A.x * B.z = 0
N_z = A.x * B.y - A.y * B.x = 2 * 2 - 0 * 1 = 4
N = (0, 0, 4)
(注意：在向量里硬猫，符號(hào)“×”指叉積补箍，符號(hào)“?”指點(diǎn)積）
如果對(duì)C進(jìn)行歸一化，我們得到向量(0,0,1)啸蜜，它與正z軸平行坑雅。
這里還有一點(diǎn)需要注意的是，如果交換A與B向量叉乘的順序衬横，會(huì)得到一個(gè)與C方向想法的向量：
N = B × A
N_x = B.y * A.z - B.z * A.y = 0
N_y = B.z * A.x - B.x * A.z = 0
N_z = B.x * A.y - B.y * A.x = 0 * 1 - 2 * 2 = -4
N = (0, 0, -4)
這里涉及到三角形頂點(diǎn)申明順序和方向(繞組)
設(shè)光線與平面的相交點(diǎn)為p裹粤，則p減掉三角形任意一個(gè)頂點(diǎn)所生成的向量位于平面內(nèi)；又因?yàn)閮蓚€(gè)垂直的向量的點(diǎn)積為0蜂林。所以有：
(p - v1) ? N = 0;（公式1）
p點(diǎn)也可以用光線來(lái)表示：
p = O + tR;(公式2）
其中O為光線原點(diǎn)遥诉，R為光線的方向（已歸一化）。
將公式2帶入公式1噪叙，得到：
((O + tR) - v1) ? C = 0;
由于O, R, v1, C已知矮锈，可求得t，將t帶入公式二睁蕾，即可求得焦點(diǎn)p愕难；
t = ((v1 - O) ? N) / (R ? N)（公式3）
此時(shí)有兩個(gè)需要注意的點(diǎn)
1，當(dāng)三角形位于光線的背后的時(shí)候惫霸，此時(shí) t < 0;
2猫缭，當(dāng)三角形與光線平行時(shí)，此時(shí)公式3無(wú)解壹店；如果注意一下公式3猜丹，會(huì)發(fā)現(xiàn)此時(shí)(R ? N) = 0；那么此時(shí)公式3會(huì)除以0硅卢；所以要提前測(cè)試一下射窒；
求得交點(diǎn)之后，還需要進(jìn)行內(nèi)外測(cè)試将塑。目前所求的交點(diǎn)為光線與平面的交點(diǎn)脉顿，所以還不知道交點(diǎn)是否在三角形內(nèi)；所以需要進(jìn)行內(nèi)外測(cè)試已檢測(cè)交點(diǎn)是否在三角形內(nèi)点寥；
如圖2所示艾疟，有一個(gè)與x軸對(duì)齊的矢量A。讓我們假設(shè)這個(gè)向量實(shí)際上與三角形的一個(gè)邊對(duì)齊（由兩個(gè)頂點(diǎn)V0V1定義的邊）。現(xiàn)在蔽莱，第二條邊B由三角形的頂點(diǎn)V0和V2定義弟疆。讓我們計(jì)算這兩個(gè)向量的叉積。結(jié)果是一個(gè)向量盗冷，它指向與z軸和三角形法線相同的方向怠苔。
A=(1,0,0)
B=(1,1,0)
C.x = A.y * B.z ? A.z * B.y =0
C.y = A.z * B.x ? A.x * B.z =0
C.z = A.x * B.y ? A.y * B.x = 1 ? 1 ? 0 ? 1 = 1
C=(0,0,1)
現(xiàn)在，假設(shè)頂點(diǎn)V2不是坐標(biāo)（1,1,0）仪糖，而是坐標(biāo)（1柑司，-1,0）。換句話說(shuō)锅劝，我們已經(jīng)反映了它關(guān)于x軸的位置攒驰。如果我們現(xiàn)在計(jì)算交叉積 A x B'，我們得到結(jié)果C'=（0, 0鸠天，-1）
A=(1,0,0)
B=(1,?1,0)
C.x = A.y * B.z ? A.z * B.y =0
C.y = A.z * B.x ? A.x * B.z=0
C.z = A.x * B.y ? A.y * B.x=1??1?0?1=?1
C=(0,0,?1)
我們知道光線與三角形相交的點(diǎn)在同一平面上讼育。從上面的測(cè)試中得知，如果位于三角形平面中的交點(diǎn)P位于矢量A的左側(cè)稠集，那么三角形的法線和向量C是正的（C是A和B之間的叉積的結(jié)果奶段。在這種情況下，A =（V1-V0）和B =（P-V0））剥纷。但是痹籍，如果P位于A的右側(cè)，則該點(diǎn)積為負(fù)晦鞋。在圖2中可以看到蹲缠，當(dāng)它位于A的左側(cè)時(shí)，P點(diǎn)位于三角形內(nèi)部悠垛。為了測(cè)試點(diǎn)p是否在三角形內(nèi)线定，需要重復(fù)左/右測(cè)試對(duì)于三角形的每個(gè)邊緣。如果對(duì)于每個(gè)三角形邊緣确买，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P位于矢量C的左側(cè)（其中C分別定義為三角形的每個(gè)邊緣的V1-V0斤讥，V2-V1和V0-V2），那么我們知道確保P在三角形內(nèi)湾趾。如果任何三角形邊緣的測(cè)試失敗芭商，則P位于三角形邊界之外。該過(guò)程如圖3所示搀缠。
代碼如下：
bool rayTriangleIntersect(
const Vec3 \& orig, const Vec3& dir,
const Vec3& v0, const Vec3& v1, const Vec3& v2,
float t)
{
Vec3 v1v0 = v1 - v0;
Vec3 v2v0 = v2 - v0;
Vec3 N = v1v0.crossProduct(v2v0); // 求三角形法向量
//求交點(diǎn)P
float NdotRayDirection = N.dotProduct(dir);
if(fabs(NdotRayDirection) < kEpsilon) return false; //如果三角形法向量與光線的點(diǎn)積接近于0铛楣，可以認(rèn)為光線與三角形平行，此時(shí)沒(méi)有交點(diǎn)艺普，返回false
t = (N.dotProduct(v0) + N.dotProduct(orig)) / NdotRayDirection; //計(jì)算t值
if(t < 0) return false; //如果t小于0簸州，那么三角形在光線背后鉴竭，返回false
Vec3 P = orig + t * dir; //計(jì)算交點(diǎn)p
Vec3 C;
//內(nèi)外測(cè)試
Vec3 vp0 = P - v0;
Vec3 edge0 = v1 - v0;
C= edge0.crossProduct(vp0);
if(C < 0) return false; //在三角形外邊，返回false
Vec3 vp1 = P - v1;
Vec3 edge1 = v2 - v1;
C= edge1.crossProduct(vp1);
if(C < 0) return false; //在三角形外邊勿侯，返回false
Vec3 vp2 = P - v2;
Vec3 edge2 = v0 - v2;
C= edge2.crossProduct(vp2);
if(C < 0) return false; //在三角形外邊拓瞪，返回false
return true; //三角形與光線有交點(diǎn)缴罗，返回true
}
