流體力學第四章：理想流體動力學

第四章：理想流體動力學

簡介：理想流體是真實流體的一種近似模型闲坎，忽略粘性（分子的上下振動椅挣、熱傳導）
$\mu = 0$ ,則 $\lambda=\frac{C_\nu\mu}{m}=0,T_{ij}=-p\delta _{ij}$

一、理想流體運動的基本方程和初邊值條件

理想流體運動的基本方程——Euler方程

Euler方程

該方程有六個未知量，需要補充方程详民。
理想流體能量方程的討論

能量方程

動能方程1

動能方程2

其中焓 $i=e+\frac{p}{\rho}$ 。
理想陌兑、常比熱沈跨、完全氣體、絕熱運動時兔综，沿流體質點的跡線熵不變饿凛。
能量方程 $\frac{Ds}{Dt}=0$ 。
常用理想流體動力學微分型封閉方程組

重力場中软驰，理想常比熱完全氣體絕熱連續(xù)流動
重力場中涧窒，理想勻質不可壓縮流體的運動

理想流體運動的初邊值條件

初始條件：對非定常流動的 $\vec{V_0},p_0,\rho_0$
邊界條件：

邊界條件

二、理想流體在勢力場中運動的主要性質

Kelvin定理（沿封閉流體線的環(huán)量不變定理）
理想锭亏、正壓流體纠吴、在勢力場中運動時，連續(xù)流場內沿任一條封閉流體線的速度環(huán)量不隨時間變化慧瘤。
Lagrange定理（渦量不生不滅定理）
理想戴已、正壓流體膳凝、在勢力場中運動時，若某一時刻連續(xù)流場無旋恭陡，則流場始終無旋蹬音。
理想、正壓流體休玩、在勢力場中運動時著淆，若某一時刻連續(xù)流場有旋，則流場始終有旋拴疤。
推論：在滿足Kelvin 定理的條件下永部，均勻來流繞過任一物體的流場為無旋流場；由任意物體在原靜止流場中運動所造成的流場是無旋流場呐矾。
Helmholtz定理（渦線及渦管保持定理）
理想苔埋、正壓流體、在勢力場中運動時蜒犯，組成渦線（面）的流體質點永遠組成此渦線（面）组橄，即渦線（面）是流體線（面）。
理想罚随、正壓流體玉工、在勢力場中運動時，組成渦管的流體質點永遠組成此渦管淘菩，且渦管強度不隨時間變化遵班。
渦量產(chǎn)生或消失的條件
只要不滿足 Kelvin 定理（理想、正壓流體潮改、質量力有勢狭郑、流場連續(xù)）的任何一個條件，旋渦都會產(chǎn)生或消失汇在。
（1）流體的粘性（非理想流體）
（2）存在間斷（非連續(xù)流場）
（3）非正壓流場
（4）非有勢力場
如：Kelvin-Helmholtz不穩(wěn)定性

三翰萨、蘭姆型方程和理想流體運動的幾個積分

Lamb 型方程

Lamb型方程

其中 $\vec{V}\times\Omega$ 稱為Lamb矢量。
伯努利積分
理想正壓流體在勢力場中作定常流動時趾疚，沿流線/渦線有

伯努利積分
伯努利積分總結
共同條件：理想流體+流動定常+質量力有勢缨历。

伯努利積分
Cauchy-Lagrange積分
理想、正壓流體糙麦、在勢力場中作無旋流動時辛孵，全流場成立
$\frac{\partial \varphi}{\partial t}+\frac{1}{2}|\nabla \varphi|^2+P+\Pi=C(t)$
動參考系中的 Cauchy-Lagrange 積分

四、理想不可壓縮無旋流動問題的數(shù)學提法和主要性質

不可壓縮流體無旋流動問題的數(shù)學提法
基本方程： $\nabla ^2 \varphi =0$
邊界條件：

界面條件—— $\frac{\partial F}{\partial t}+\nabla \varphi \cdot \nabla F=0$
無窮遠條件—— $|x|\rightarrow \infty:\nabla \varphi=V_{\infty}$

理想赡磅、不可壓縮流體魄缚、在勢力場中作無旋流動問題的求解思路

由運動學條件求 $\varphi$
由 C-L 積分求 $p$

不可壓縮無旋流動問題中速度勢的主要性質
（1）連通域、單連通域、多連通域冶匹、隔面
（2）無旋流動速度勢的主要性質

速度勢 $\varphi_p(x)=\int_{x_0}^xV\cdot d{x}$
在單連域中速度勢是單值的习劫，故單連域中的無旋流動不可能存在封閉的流線。
雙連域的無旋流場中嚼隘，任意不可縮周線上的速度環(huán)量相等（繞封閉周線一周）诽里，速度勢多值。
（3）理想不可壓無旋流動速度場解的唯一性定理
動能表達式： $T=\frac{1}{2}\rho \int_{D}|V|^2dV$
有界單連域中解的唯一性條件
在邊界上給定 $\varphi$ 或在邊界上給定 $\frac{\partial \varphi}{\partial n}$
有界雙連域中解的唯一性條件
無界單連域中解的唯一性條件
無界雙連域中解的唯一性條件

不可壓無旋流場的主要特性

速度勢函數(shù)不能在域內有極大或極小值
速度矢量的模不能在域內達到極大值
重力場中飞蛹，理想均質不可壓縮無旋流場內壓強不能在域內達到極小值

五谤狡、理想不可壓縮無旋流動速度勢方程的基本解及疊加法

不可壓無旋流動速度勢的基本解

均勻流場：全場速度是常數(shù)的流場。
$\varphi = u_{\infty}x+v_{\infty}y+w_{\infty}z+C$
點源：若在流場某一點不斷有流體注入流場卧檐，其體積流量為 $Q$ 墓懂，則這種流場稱為點源流場， $Q$ 稱為點源強度霉囚。
$\varphi = -\frac{Q}{4\pi \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}}+C$
偶極子：強度相等捕仔、符號相反的兩點源，若它們無限靠近時有 $\lim_{\delta l\rightarrow0}(Q\cdot \delta l)=0$ 這兩個點源所構成的流場稱為偶極子流場盈罐。記為 $\vec{m}$ 榜跌，其中 $m$ 稱為偶極子強度，偶極子方向為由點匯指向點源暖呕。
$\varphi=-\frac{m}{4\pi} \cdot \frac{x}{(\sqrt{x^2+y^2+z^2})^3}+C$
$\varphi=-\frac{m}{4\pi} \cdot \frac{\alpha(x-x_0)+\beta(y-y_0)+\gamma(z-z_0)}{(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2})^3}+C$

奇點疊加法
例：繞圓球不可壓無旋流動的速度和壓力分布

六斜做、不可壓縮流體二維流動的流函數(shù)及其性質

平行平面流動：流體質點在平行平面上運動，并且每一平面上流動都相同湾揽。

流函數(shù)的定義
$\nabla \cdot \vec{V}=0$
直角坐標系下： $\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0$
其中 $u\equiv\frac{\partial \Psi}{\partial y},v\equiv -\frac{\partial \Psi}{\partial x}$
即： $\Psi=\int (\frac{\partial \Psi}{\partial y}dy+\frac{\partial \Psi}{\partial x}dx)=\int (udy-vdx)$
流函數(shù)的性質

流函數(shù)可以差一個任意常數(shù)而不影響速度場；
流函數(shù)的等值線就是流線笼吟；
通過平面上任意曲線 $MM_0$ 的體積流量等于 $M$ 點和 $M_0$ 點的流函數(shù)值之差库物，即： $Q=\int_{M_0}^{M} V_nds=\Psi(M)-\Psi(M_0)$
不可壓縮流體平面無旋流動中，流函數(shù)的等值線與等勢線正交贷帮；
若流場中不存在源和匯戚揭，則在單連域中，流函數(shù)是單值的撵枢；在雙連域中檔通過內邊界的總流量不等于零時民晒，流函數(shù)是多值的，但速度是連續(xù)單值的锄禽。

不可壓流體平面無旋流動的流函數(shù)方程及定解條件

方程： $\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial y^2}=0$
來流條件：
靜止物面的不可穿透條件： $\Psi =Const$
環(huán)量條件： $\oint _{l_0}(\frac{\partial \Psi}{\partial y}dx-\frac{\partial \Psi}{\partial x}dy)=\Gamma _0$

流函數(shù)表示的基本解及疊加法

均勻流的流函數(shù)表達式
點源解的流函數(shù)表達式
偶極子的流函數(shù)表達式

七潜必、理想不可壓縮流體平面無旋流動問題的復變函數(shù)方法

復勢
以速度勢為實部、流函數(shù)為虛部組成的復函數(shù)稱為復勢沃但。
$w(z)=\varphi(x,y)+i\psi(x,y)$
復勢為解析函數(shù)
速度勢和流函數(shù)為調和函數(shù)磁滚，并滿足Cauchy-Riemann條件
解析函數(shù)主要性質

解析函數(shù)的方向導數(shù)與求導方向無關；
解析函數(shù)的和、導數(shù)垂攘、積分是解析函數(shù)维雇；
在全平面處處解析的函數(shù)為常數(shù)；
在有限域中（不包括 $z=0$ 的點）晒他，解析函數(shù)的一般展開式為：

復速度
以平面不可壓無旋流動的速度分量組成的復函數(shù)稱為復速度吱型。
復速度與復勢：
不可壓縮流體平面無旋繞流問題的復勢提法
現(xiàn)有周界為 $L$ 的平面物體，無窮遠處有一 $V_{\infty}$ 速度為的理想均質不可壓流體繞流此物體陨仅，求速度場唁影。

image.png
基本流動

均勻流
平面點源 $w(z)=\frac{Q}{2\pi}\ln(z-z_0)$
推導： $V=\frac{Q}{2\pi r}=\frac{Q}{2\pi}\cdot\frac{z}{|z|^2}=\frac{Q}{2\pi}\cdot\frac{z}{z\cdot z^*},\frac{dw}{dz}=V^*=\frac{Q}{2\pi}\cdot \frac{1}{z}$
平面點渦 $w(z)=\frac{\Gamma}{2\pi i}\cdot \ln (z-z_0)$
點渦強度 $\Gamma=v\cdot 2\pi r$ 為速度的環(huán)量，為常值掂名。
平面偶極子 $w(z)=-\frac{M}{2\pi}\cdot\frac{1}{z-z_0}$

圓柱的無環(huán)量繞流
圓柱的有環(huán)量繞流
平壁面鏡像法和圓定理簡介

平壁面鏡像法

解平面不可壓縮無旋繞流問題的保角映射法

最后編輯于：2019.04.10 10:40:15

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