陀螺的規(guī)則進動及其近似理論

陀螺示意圖：

陀螺.png

陀螺具有質(zhì)量對稱軸嫂粟，并繞此對稱軸（也稱自轉(zhuǎn)軸）做高速旋轉(zhuǎn)的定點運動的剛體。

設(shè)陀螺繞自轉(zhuǎn)軸 $Oz'$ 以角速度 $\pmb \omega_{\varphi} = \dot{\varphi} \pmb k'$ （也稱自旋角速度）旋轉(zhuǎn)椰于；自轉(zhuǎn)軸同時以恒定的角速度 $\pmb \omega_{\psi} = \dot{\psi} \pmb k$ （也稱進動角速度）繞空間的某一固定軸 $Oz$ 轉(zhuǎn)動淘菩， $Oz$ 軸和 $Oz'$ 軸的夾角（稱為章動角）為 $\theta$ 。

設(shè) $Oz$ 軸和 $Oz'$ 軸所確定的平面的單位法向量（節(jié)線方向）為 $\pmb n = \pmb k \times\pmb k'/sin\theta$ 霜幼，另一個單位向量為 $\pmb b = \pmb k' \times \pmb n$ 嫩码。

設(shè)陀螺在運動過程中， $\theta?$ 罪既、 $\dot{\psi}?$ 為常量铸题，作用在陀螺上的外力矩的矢量和在自轉(zhuǎn)軸 $Oz'?$ 上的投影為零（外力作用線與自轉(zhuǎn)軸相交或平行）。根據(jù)剛體定點運動的歐拉動力學(xué)方程：
$J_{x'} {{d\omega_{x'}}\over{dt}} + (J_{z'}-J_{y'})\omega_{y'}\omega_{z'}=M_{x'}\\ J_{y'} {{d\omega_{y'}}\over{dt}} + (J_{x'}-J_{z'})\omega_{z'}\omega_{x'}=M_{y'}\\ J_{z'} {{d\omega_{z'}}\over{dt}} + (J_{y'}-J_{x'})\omega_{x'}\omega_{y'}=M_{z'}$
陀螺的動力學(xué)方程為
$\begin{aligned} J_{x'} \dot{\omega}_{x'} + (J_{z'}-J_{y'})\omega_{y'}\omega_{z'} & =M_{x'}\\ J_{y'} \dot{\omega}_{y'} + (J_{x'}-J_{z'})\omega_{z'}\omega_{x'} & =M_{y'}\\ J_{z'} \dot{\omega}_{z'} + (J_{y'}-J_{x'})\omega_{x'}\omega_{y'} & =0 \end{aligned} \tag1$

考慮到陀螺運動特點： $\theta$ 琢感、 $\dot{\psi}$ 為常量丢间，根據(jù)歐拉運動學(xué)方程：
$\begin{aligned} \omega_{x'} & = \dot{\psi}sin\theta sin\varphi+\dot{\theta}cos\varphi\\ \omega_{y'} & = \dot{\psi}sin\theta cos\varphi-\dot{\theta}sin\varphi\\ \omega_{z'} & = \dot{\psi}cos\theta + \dot{\varphi} \end{aligned}$
可得：
$\begin{split} \omega_{x'} &= \dot{\psi}sin\theta sin\varphi\\ \omega_{y'} &= \dot{\psi}sin\theta cos\varphi\\ \omega_{z'} &= \dot{\psi}cos\theta + \dot{\varphi} \end{split} \tag2$
上式對時間求導(dǎo)可得：
$\begin{aligned} \dot{\omega}_{x'} &= \dot{\psi} \dot{\varphi}sin\theta cos\varphi\\ \dot{\omega}_{y'} &= -\dot{\psi}\dot{\varphi}sin\theta sin\varphi\\ \omega_{z'} &= \ddot{\varphi} \end{aligned}\tag3$
將式（2）和式（3）代入式（1），整理得：
$\begin{aligned} J_{x'}\dot{\varphi}cos\varphi+(J_{z'}-J_{y'})cos\varphi(\dot{\psi}cos\theta+\dot{\varphi}) = {M_{x'}\over{\dot{\psi}sin\theta}}\\ -J_{y'}\dot{\varphi}sin\varphi+(J_{x'}-J_{z'})sin\varphi(\dot{\psi}cos\theta+\dot{\varphi}) = {M_{y'}\over{\dot{\psi}sin\theta}}\\ J_{z'}\ddot{\varphi}+{(J_{y'}-J_{x'})\over2}(\dot{\psi}sin\theta)^2sin2\varphi=0 \end{aligned} \tag4$
將式（4）中的第一個方程兩邊乘以 $cos\varphi$ 驹针，第二個方程兩邊乘以 $sin\varphi$ 烘挫，然后兩式相減得到：
$(J_{x'}cos^2\varphi+J_{y'}sin^2\varphi)\dot{\varphi}+[J_{z'}-(J_{y'}cos^2\varphi+J_{x'}sin^2\varphi)](\dot{\psi}cos\theta+\dot{\varphi}) = {M_n\over\dot{\psi}sin\theta} \tag5$
其中， $M_n=M_{x'}cos\varphi-M_{y'}sin\varphi$ 為外力矩矢量和在節(jié)線上的投影柬甥。

將式（4）中的第一個方程兩邊乘以 $sin\varphi$ 饮六，第二個方程兩邊乘以 $cos\varphi$ ，然后兩式相加得到：
$(J_{x'}-J_{y'})sin2\varphi(\dot{\psi}cos\theta+2\dot{\varphi}) = {2M_b\over\dot{\psi}sin\theta}\tag6$
其中苛蒲， $M_b=M_{x'}sin\varphi+M_{y'}cos\varphi$ 為外力矩矢量和在單位向量 $\pmb b$ 上的投影卤橄。

$\pmb n,\pmb b,x',y'?$ 的關(guān)系示意圖：

坐標系.png

因此，陀螺運動的動力學(xué)方程可由式（5）臂外、式（6）以及式（4）中的第三個方程構(gòu)成虽风，即
$\begin{aligned} (J_{x'}cos^2\varphi+J_{y'}sin^2\varphi)\dot{\varphi}+[J_{z'}- (J_{y'}&cos^2\varphi+J_{x'}sin^2\varphi)](\dot{\psi}cos\theta+\dot{\varphi}) = {M_n\over\dot{\psi}sin\theta}\\ (J_{x'}-J_{y'})sin2\varphi(\dot{\psi}&cos\theta+2\dot{\varphi}) = {2M_b\over\dot{\psi}sin\theta}\\ J_{z'}\ddot{\varphi}+{(J_{y'}-J_{x'})\over2}&(\dot{\psi}sin\theta)^2sin2\varphi =0 \end{aligned} \tag7$

當(dāng)定點運動剛體對定點 $O$ 的兩個慣量主軸的轉(zhuǎn)動慣量相等時（如 $J_{x'}=J_{y'}$ ）棒口，則稱剛體為動力學(xué)對稱。由于陀螺通常為繞質(zhì)量對稱軸 $Oz'$ 的旋轉(zhuǎn)體辜膝，因此 $J_{x'}=J_{y'}=J$ 无牵。式（7）可表示為：
$\begin{split} & [J_{z'}(\dot{\psi}cos\theta+\dot{\varphi})-J\dot{\psi}cos\theta]\dot{\psi}sin\theta=M_n\\ & 0=M_b\\ & \ddot{\varphi}=0 \end{split} \tag8$
若陀螺在運動過程中， $\theta$ 厂抖、 $\dot{\varphi}$ 茎毁、 $\dot{\psi}$ 保持為常量，則稱陀螺作規(guī)則進動忱辅。式（8）為陀螺規(guī)則進動的動力學(xué)方程七蜘。方程表明：陀螺自旋角速度大小不變，外力矩矢量始終平行于節(jié)線且大小為常量墙懂。

陀螺作規(guī)則進動的要求：作用在陀螺上的外力對 $O$ 點之矩有： $M_o=M_n \pmb n$ 橡卤，其中 $M_n$ 由式（8）中的第一方程給出。

兩種特殊情況：

（1）若 $Oz$ 軸和 $Oz'$ 軸垂直時损搬，式（8）中第一個方程表示為：
$J_{z'}\dot{\varphi}\dot{\psi}=M_n \tag9$
（2）若 $|\dot{\varphi}|>>|\dot{\psi}|$ 碧库，并略去 $\dot{\psi}^2$ 項時，式（8）中第一個方程可以表示為：
$J_{z'}\dot{\varphi}\dot{\psi}sin\theta=M_n \tag{10}$
還可以將式（10）表示成矢量形式：
$\pmb \omega_{\psi}\times J_{z'}\pmb \omega_{\varphi} = \pmb M_o \tag{11}$
式（11）稱為陀螺近似理論的進動方程巧勤。當(dāng) $Oz\bot O{z'}$ 時嵌灰，陀螺近似理論的進動方程恰好給出的是精確解。

對陀螺施加外力矩 $\pmb M_o$ 的物體將受到陀螺的反作用力矩颅悉，設(shè)該力矩為 $\pmb M_g$ 沽瞭，從而： $\pmb M_g=\pmb M_o$

力矩 $\pmb M_g$ 也稱為陀螺力矩。

陀螺力矩的作用效應(yīng)稱為陀螺效應(yīng)剩瓶。在具有高速轉(zhuǎn)動部件的裝置中驹溃，只要自轉(zhuǎn)軸被迫在空間中改變方向，就會產(chǎn)生陀螺效應(yīng)延曙。

證明：剛體繞最大或最小慣量主軸的轉(zhuǎn)動是穩(wěn)定的

設(shè) $z'$ 軸是剛體的最大或最小慣量主軸豌鹤，證明： $\omega_{z'0}\approx \omega_{z'}(t),\pmb k'_0 \approx \pmb k$

根據(jù)歐拉動力學(xué)方程，當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動運動時搂鲫，外力對質(zhì)心之矩為零傍药，則：
$\begin{eqnarray*} J_{x'} {{d\omega_{x'}}\over{dt}} + (J_{z'}-J_{y'})\omega_{y'}\omega_{z'}=0 \tag1\\ J_{y'} {{d\omega_{y'}}\over{dt}} + (J_{x'}-J_{z'})\omega_{z'}\omega_{x'}=0 \tag2 \\ J_{z'} {{d\omega_{z'}}\over{dt}} + (J_{y'}-J_{x'})\omega_{x'}\omega_{y'}=0 \tag3 \end{eqnarray*}$
$(1)\times (J_{z'}-J_{x'})\omega_{x'}+(2)\times (J_{z'}-J_{y'})\omega_{y'}$ 得：
$J_{x'}(J_{z'}-J_{x'})\dot{\omega}_{x'}\omega_{x'}+J_{y'}(J_{z'}-J_{y'})\dot{\omega}_{y'}\omega_{y'}=0$
設(shè) $A=J_{x'}(J_{z'}-J_{x'})\space B= J_{y'}(J_{z'}-J_{y'})$ 。根據(jù) $z'$ 軸的性質(zhì)魂仍，可得： $A \cdot B > 0$
$A\dot{\omega}_{x'}\omega_{x'}+B\dot{\omega}_{y'}\omega_{y'}=0$
兩邊同時乘以 $dt$ 拐辽，
$A\omega_{x'}d\omega_{x'}+B\omega_{y'}d\omega_{y'} = 0$
積分得
$A\omega_{x'}^2+B\omega_{y'}^2 =C \tag4$
由 $A、B$ 同號知 $A擦酌、B俱诸、C$ 同號，不妨設(shè)： $A>0赊舶、B>0睁搭、C>0$

初始 $t_0$ 時赶诊，有 $C=A\omega_{x'}^2(t_0)+B\omega_{y'}^2(t_0) \tag5$

若 $t=t_0$ 時，剛體角速度僅沿 $z'$ 方向园骆，即
$|\omega_{x'}(t_0)|<\epsilon舔痪，|\omega_{y'}(t_0)|<\epsilon$
由式（5）得：
$C<(A+B)\epsilon^2$

由式（4）得：
$|\omega_{x'}(t)| \le \sqrt{C\over A} < \epsilon\sqrt{{A+B}\over A} <M\epsilon = \epsilon^*\\ |\omega_{y'}(t)| \le \sqrt{C\over B} < \epsilon\sqrt{{A+B}\over B} <M\epsilon = \epsilon^*$
其中， $M = max\{\sqrt{{A+B}\over A}锌唾，\sqrt{{A+B}\over B}\}$

當(dāng) $t>t_0$ 時锄码，必有
$|\omega_{x'}(t)|<\epsilon^*，|\omega_{y'}(t)|<\epsilon^* \tag6$

剛體對質(zhì)心 $C$ 的動量矩為： $\pmb L_C =J_{x'}\omega_{x'} \pmb i'+J_{y'}\omega_{y'}\pmb j'+J_{z'}\omega_{z'} \pmb k'$

由于外力對質(zhì)心之矩為零晌涕，故： ${{d\pmb L_C}\over{dt}} = 0$ 滋捶，即 $L_C(t) = L_C(t_0) \tag7$

當(dāng) $t= 0$ 時，剛體作定軸轉(zhuǎn)動余黎， $t=t_0$ 時重窟，受到一個微小的擾動，使得：
$|\omega_{x'}(t_0)| \le \epsilon惧财，|\omega_{y'}(t_0)|\le\epsilon巡扇，|\omega_{z'0}|>>1$
則有：
$\pmb L_C(t_0)=J_{x'}\omega_{x'}(t_0) \pmb i_0'+J_{y'}\omega_{y'}(t_0) \pmb j_0'+J_{z'}\omega_z'(t_0) \pmb k_0' \approx J_{z'}\omega_{z'0}\pmb k_0'$
當(dāng) $t>t_0$ 時，由式（6）可知：
$\pmb L_C(t)=J_{x'}\omega_{x'}(t) \pmb i'+J_{y'}\omega_{y'}(t) \pmb j'+J_{z'}\omega_z'(t) \pmb k' \approx J_{z'}\omega_{z'}\pmb k'$
結(jié)合式（7）可缚，得： $\omega_{z'0} \approx \omega_{z'}(t)霎迫，\pmb k_0'\approx \pmb k'$

即定軸轉(zhuǎn)動剛體斋枢，當(dāng)轉(zhuǎn)速足夠大時帘靡，受到微小擾動后，其之后的運動是穩(wěn)定的瓤帚，擾動對剛體運動的影響不隨時間的增加而增加描姚。

參考資料：《理論力學(xué)（第二版）》（謝傳鋒王琪主編）