2.19 線性代數(shù)簡介 Introduction to linear algebra

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前言

線性代數(shù)對于量子力學非常重要貌踏，以前講到的正交中就有線性代數(shù)的用武之地层皱。量子力學并不利用簡單的笛卡爾坐標录择，而是用復數(shù)空間的向量來描述物理體系沉衣。所以找到理解復數(shù)空間和復數(shù)向量的簡單方法阁苞，有利于從簡單薛定諤方程求解過渡到物理體系的性質(zhì)尚卫。

1. 為什么重要

$\begin{array}{c|c|c}\hline 傳統(tǒng)向量 & 量子力學 & Notation \\ \hline \vec a & \psi(x) & \vec a \rightarrow |a\rangle \\ \vec a \cdot \vec b & \int \psi_a^* \psi_b(x)dx & \overbrace{bra}^{\langle a|}c\overbrace{ket}^{|a\rangle} \\ \vec a = a_x \hat x + a_y \hat y + a_z \hat z & \psi(x) & | a \rangle \rightarrow "ket\ a" \\ = a_{\alpha} \hat x + a_{\beta} \hat \beta + a_{\gamma} \hat \gamma & \phi(k) & \langle a | \rightarrow "bra\ a" \\ \hat x \cdot \hat x = 1 & \int \psi^* \psi dx = 1 & - \\ \hline \end{array}$

可以看出：
- 傳統(tǒng)向量和波函數(shù)有某種相似喧伞，不同的基向量可以表示同一向量窟她，類似波函數(shù) $\psi(x)$ 可以用傅里葉變換表示 $\phi(x)$ ,表達式不同纸泡，但表示的內(nèi)容相同漂问。
- 單位向量點乘自己等于1，波函數(shù)點乘自己的共軛的積分也等于1
- 由于量子力學對自旋的區(qū)分女揭，因此才有了bra和ket蚤假，他們方向相反，互為共軛吧兔。

2. 向量的性質(zhì)

有0
$|\alpha \rangle + | 0\rangle = | \alpha\rangle$
有1
$1| \alpha\rangle = | \alpha \rangle$
加減
$|\alpha \rangle + |\beta \rangle = |\gamma \rangle = | \beta\rangle + |\alpha \rangle$
數(shù)乘法
$a | \alpha\rangle = | \gamma\rangle$
乘法分配率
$a(| \alpha \rangle + |\beta \rangle) = a |\alpha \rangle + a | \beta \rangle$
$(a+b) |\alpha \rangle = a|\alpha \rangle + b|\alpha \rangle$
乘法結合律
$a b | \rangle = a (b| \rangle) = b (a| \rangle) = (ab) | \rangle$
不滿足乘法交換律磷仰，因為有方向

3. 函數(shù)的性質(zhì)-疊加/線性組合

$a | \alpha \rangle + b | \beta \rangle + c | \gamma \rangle + ···$

線性獨立
- 如果 $| \alpha \rangle和| \beta \rangle$ 之間滿足如下關系 $| \alpha \rangle = a| \beta \rangle + c | \gamma \rangle$ ，說明他們之間線性相關
- 如果 $| \alpha \rangle和| \beta \rangle$ 之間不滿足如下關系 $| \alpha \rangle = a| \beta \rangle + c | \gamma \rangle$ 境蔼，說明他們之間線性獨立
基失:即存在基失 $\{| x_i \rangle \}$ 滿足如下關系
$|\alpha \rangle = \sum_i \{c_i| x_i \rangle \}$
空間(span)
如果空間中每一個 $|\alpha_i \rangle$ 都可以寫成 $|\alpha \rangle = \sum_i \{c_i| x_i \rangle \}$ 灶平，那么 $\{| x_i \rangle \}$ 就是span空間
維度
基矢 $\{| x_i \rangle \}$ 的最小數(shù)量

4. 向量內(nèi)積

內(nèi)積的形式如下
$\langle \alpha | \beta \rangle$
內(nèi)積的共軛
$\langle \alpha | \beta \rangle$ = $\langle \beta | \alpha \rangle^*$
向量自身的內(nèi)積
$\underbrace{\langle \alpha | \alpha \rangle}_{實數(shù)} \geq 0$
正交
$\langle \alpha | \beta \rangle=0$
$\delta_{ij} 函數(shù)$
如果滿足如下關系，說明向量之間是正交關系
$\langle x_i | x_j \rangle=\delta_{ij}$

5. 正則化/歸一化（Normalization）

向量的長度
$||\alpha|| = \sqrt{\langle \alpha | \alpha \rangle}$
如果 $||\alpha|| = 1$ ,說明向量是歸一化的箍土。

6. 系數(shù)

$\begin{array}{c|c}\hline 三維& 多維\\ \hline | x\rangle, | y\rangle, | z\rangle & \{ |x_i \rangle\} \\ | \alpha \rangle = \alpha_x | x\rangle + \alpha_y | y\rangle + \alpha_z | z\rangle & |\alpha \rangle = \sum_i \alpha_i | x_i\rangle \\ | \beta \rangle = \beta_x | x\rangle + \beta_y | y\rangle + \beta_z | z\rangle & \alpha_i = \langle x_i| \alpha \rangle \\ \langle \alpha | \beta \rangle = \alpha_x^* \beta_x + \alpha_y^* \beta_y + ... & \langle \alpha | \beta \rangle = \sum_i \alpha_i^* \beta_i \\ \langle \alpha | \alpha \rangle = \alpha_x^* \alpha_x + \alpha_y^* \alpha_y + ... & \langle \alpha | \alpha \rangle = \sum_i \alpha_i^* \alpha_i \\ \alpha_x = \langle x | \alpha \rangle ; \alpha_y = \langle y| \alpha \rangle & - \\ \hline \end{array} \\$

上表可以看出：
- 基矢的線性組合可以得到向量 $| \alpha \rangle逢享，| \beta \rangle$
- $| \alpha \rangle，| \beta \rangle$ 的內(nèi)積就是系數(shù)的一一相乘加和
- 每個線性組合中吴藻，基矢前的系數(shù)等于該基矢與向量的內(nèi)積（注意這個結論下一節(jié)會用到）

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