3D數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 簡要?dú)w納

• 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第一準(zhǔn)則：看上去是對的就是對的断序，簡單記為近似原則
• OpenGL是基于3D的铃绒，屏幕是2D的
• OpenGL中使用的是列向量

左手系&右手系

• OpenGL更多的是基于左手系
• 線性代數(shù)更多是基于右手系
• 3D圖形學(xué)中常用坐標(biāo)系
  • 世界坐標(biāo)系：系統(tǒng)的絕對坐標(biāo)系
  • 物體坐標(biāo)系：物體產(chǎn)生關(guān)聯(lián)
  • 攝像機(jī)坐標(biāo)系/照相機(jī)坐標(biāo)系
  • 慣性坐標(biāo)系：物體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為世界坐標(biāo)系的 “半途”，目的是為了減少復(fù)雜度潭兽，是一個(gè)過渡
• eg：以下情景基于什么坐標(biāo)系褒侧？
  • 書在我的西邊還是北邊？==> 東南西北 -- 世界坐標(biāo)系
  • 計(jì)算機(jī)在我的前面還是后面嗡载？==> 上下左右 -- 物體坐標(biāo)系
  • 從一個(gè)房間移動到另一個(gè)房間 ==> 尋路型 -- 世界坐標(biāo)系
  • 你能看見我的計(jì)算機(jī)嗎？ ==> 攝像機(jī)坐標(biāo)系

向量

• 存儲 -- 數(shù)組

• 圖形學(xué)中：最多到4維

  • 2D：x铸史、y
  • 3D：x鼻疮、y怯伊、z
  • 4D：x琳轿、y、z耿芹、w

• 零向量：沒有方向崭篡，沒有長度 即 模 = 0

• 負(fù)向量 = (-1).向量, 將向量中的每個(gè)數(shù)都乘以 -1

  • 幾何意義：得到一個(gè)與原向量大小相等，方向相反的向量
    
    負(fù)向量

• 向量大小計(jì)算 即 模的計(jì)算 = 向量中所有數(shù)的平方和吧秕，再求根號

  
  
  向量模計(jì)算

  • 2D向量幾何意義：直角三角形最長邊的邊長

    
    
    2D向量幾何意義

• 標(biāo)量與向量的運(yùn)算總結(jié)

  • 標(biāo)量不能與向量進(jìn)行加減運(yùn)算
  • 標(biāo)量與向量可以相乘琉闪，且滿足交換律，不需要寫乘號
  • 向量可以除以標(biāo)量砸彬，即相當(dāng)于向量乘以一個(gè)標(biāo)量的倒數(shù) 即 v(向量)/k = v 乘以 1/k
  • 標(biāo)量與向量的乘除 優(yōu)先級高于 加減
  • 標(biāo)量不能除以向量颠毙，且向量不能除以另一個(gè)向量
  • 乘法的特殊情況：負(fù)向量斯入，即 向量 乘以 標(biāo)量-1
  • 幾何意義： 以因子（k 即 標(biāo)量）縮放向量的長度，如果k<0, 向量的方向就會相反
    • 當(dāng)k = -1時(shí)蛀蜜，向量僅翻轉(zhuǎn)刻两，得到大小相等，方向相反的向量
    • 當(dāng)k = -2時(shí)滴某，向量是先翻轉(zhuǎn)磅摹，再放大，即-2可以看成（-1）乘以2

• 向量標(biāo)準(zhǔn)化

  • 向量標(biāo)準(zhǔn)化 = 向量 / 向量的模霎奢，且向量 != 0
  • 標(biāo)準(zhǔn)化向量 ：是向量長度 = 1户誓，不等于單位向量，單位向量是主對角線數(shù)為1幕侠，其他全為0帝美，單位向量是標(biāo)準(zhǔn)化向量

• 向量的加減總結(jié)

  • 向量不能與標(biāo)量或者維度不同的向量相加減
  • 向量加法滿足交換律
  • 向量減法不滿足交換律，只有當(dāng) a=b 時(shí)晤硕， a-b = b-a
  • 向量加法幾何意義：平移向量

• 向量的距離公式

  • 向量a與向量b的距離公式 = ||b-a|| = b與a對應(yīng)位置數(shù)差的平方和证舟，再求根號
    
    向量距離公式
  • 幾何意義：兩點(diǎn)間的距離

• 向量的點(diǎn)乘總結(jié)
  

  向量點(diǎn)乘
  • 滿足交換律，因?yàn)辄c(diǎn)乘結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量
  • 幾何意義：兩向量的夾角窗骑，即 a · b = |a||b|cosα ==> α = arccos(a·b / |a||b|)女责，當(dāng)a、b是單位向量時(shí)创译， α = arccos(a·b）

• 根據(jù)已知的向量v和向量n软族，且v2平行于n刷喜，v1垂直于n，求向量v2和向量v1

  
  
  image
  • v2平行于n: v2 = n(|v2| / |n|)
  • cosα = |v2| / |v| ==> |v2| = cosα·|v|
  • 將|v2|代入v2 ==> v2 = n(cosα·|v| / |n|)
  • 分子分母同時(shí)乘以|n| ==> v2 = n(cosα·|v|·|n| / |n|2)
  • 根據(jù)a · b = |a||b|cosα ==> v2 = n(v·n / |n|2)立砸，此時(shí)求得v2
  • 根據(jù)v2求v1掖疮，因?yàn)?code>v1 + v2 = |v| ==> v1 = |v| - v2
  • 將v2公式代入v1 ==> v1 = |v| - n(v·n / |n|2)

• 向量叉乘總結(jié)【常用】

  • 向量叉乘運(yùn)算規(guī)則如下

    
    
    向量叉乘
  • 向量的叉乘優(yōu)先級高于點(diǎn)乘
  • 幾何意義
    • a × b = c，c垂直于a和b構(gòu)成的平面颗祝，即c是該平面的法線浊闪，分別與a，b都垂直
    • a × b = c螺戳，即|c| = |a||b|cosα
  • 叉乘既不滿足交換律搁宾，也不滿足結(jié)合律

  • 任何向量與自己叉乘等于零向量，即 向量a × 向量a = 0

    
    
    image

矩陣

• 矩陣在OpenGL中推薦使用一維數(shù)組存儲

• 方陣：行=列的矩陣

• 向量可以當(dāng)做1*n（行向量） / n*1（列向量）的矩陣使用

• 標(biāo)量和矩陣的乘法：將矩陣中的每個(gè)數(shù)都乘以標(biāo)量

• 矩陣與矩陣相乘倔幼，即 A?*? * B?*? = C?*?盖腿，A的列數(shù)必須匹配B的行數(shù)（記法圖示如下）
  

  矩陣相乘

• 矩陣乘法總結(jié)

  • 當(dāng)S是單位矩陣且乘法有意義，任意矩陣M乘以方陣S，翩腐，那么得到的結(jié)果就是原矩陣鸟款，即MI = IM = M
  • 矩陣乘法不滿足交換律，即AB != BA
  • 矩陣乘法滿足結(jié)合律茂卦，前提是ABC的維數(shù)使其乘法有意義欠雌，即 (AB)C = A(BC)
  • 矩陣乘法也滿足與標(biāo)量/向量的結(jié)合律，即(kA)B = k(AB) = A(kB); (vA)B = v(AB)
  • 矩陣乘積的轉(zhuǎn)置 相當(dāng)于 先轉(zhuǎn)置矩陣疙筹，然后以相反順序相乘富俄，即(AB)? = B?A?

• 向量與矩陣乘法總結(jié)

  • 行向量左乘矩陣，結(jié)果是行向量
  • 列向量右乘矩陣而咆，結(jié)果實(shí)列向量
  • 結(jié)果向量中每個(gè)元素都是原向量與矩陣中單獨(dú)行/列的點(diǎn)積
  • 矩陣-向量成法滿足對向量加法的分配律霍比，即 (v+w)M = vM + wM，其中v暴备，w是向量悠瞬，M是矩陣

• 基向量：單位向量

  • p、q涯捻、r 定義分別指向+x,+y,+z?方向的單位向量量浅妆，v = xp+yq+zr

    
    
    基向量

  • 矩陣M對應(yīng)到坐標(biāo)軸的單位向量如圖所示

    
    
    image

- 矩陣的每一行都能解釋為轉(zhuǎn)換后的基向量

• 矩陣的幾何意義
  • 方陣的行能被解釋為坐標(biāo)的基向量
  • 為了將向量從原坐標(biāo)變換到新坐標(biāo)，需要用向量乘以一個(gè)矩陣
  • 線性變換：從原坐標(biāo)系到基向量定義的新坐標(biāo)系的變化
  • 零向量乘以任何矩陣仍是零向量

2D下的旋轉(zhuǎn)矩陣公式推演

核心動畫CoreAnimation中蘋果官方文檔有提到

• 2D下的旋轉(zhuǎn)時(shí)圍繞原心旋轉(zhuǎn)的

• 三角函數(shù)表

旋轉(zhuǎn)時(shí)向量的變化與三角函數(shù)值的關(guān)系

• 旋轉(zhuǎn)變化如圖所示

  
  
  2D-圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變化過程

• 向量與三角函數(shù)值的關(guān)系

  
  
  基向量與三角函數(shù)值關(guān)系

3D下的旋轉(zhuǎn)矩陣公式推演

• 3D下的旋轉(zhuǎn)時(shí)圍繞某個(gè)軸旋轉(zhuǎn)的障癌，當(dāng)圍繞哪個(gè)軸凌外，哪個(gè)軸的矩陣中所對應(yīng)的行和列就用基向量表示

  • 圍繞x軸旋轉(zhuǎn)，x軸不會發(fā)生變化涛浙，所以x對應(yīng)的矩陣行用基向量表示,圖示如下

  • q向量的值變化過程為: +y（起始） ==> +z ==> -y ==> -z
    1 0 0
    0 0 1
    0 1 0
    0 0 -1
    0 -1 0

  • r向量的值變化過程：+z（起始） ==> -y ==> -z ==> +y
    0 0 1
    0 -1 0
    0 0 -1
    0 1 0

  p康辑、r變化過程圖示為

  
  
  3D-圍繞x旋轉(zhuǎn)變化過程

  與三角函數(shù)的關(guān)系如圖所示

  
  
  image

• 圍繞Y、圍繞Z與圍繞x類似

  • 圍繞Y軸時(shí)R的矩陣：010表示的是基向量轿亮，圍繞誰懂疮薇，誰就必須由基向量表示
    
    圍繞Y旋轉(zhuǎn)

  • 圍繞Y軸時(shí)R的矩陣：001表示的是基向量

    
    
    圍繞z旋轉(zhuǎn)

縮放與平移矩陣公式推演

• 2D縮放：基向量p和q分別乘以標(biāo)量k
• 平移：在哪個(gè)軸平移，將這個(gè)軸的對應(yīng)的值與平移距離相加