教學(xué)目標(biāo)
知識技能:
1.了解無理數(shù)和實數(shù)的概念以及實數(shù)的分類币厕。
2.知道實數(shù)與數(shù)軸上的點具有一一對應(yīng)關(guān)系磁奖。
情感態(tài)度:
1.通過了解數(shù)系擴充體會數(shù)系擴充對人類發(fā)展的作用温兼。
2.敢于面對數(shù)學(xué)活動中的困難,并能有意識地運用已有知識解決新問題收恢。
重點難點
重點:了解無理數(shù)和實數(shù)的概念梁钾。難點:對無理數(shù)的認(rèn)識绳泉。
6.1 第一學(xué)時
教學(xué)活動
活動1【導(dǎo)入】實數(shù)
經(jīng)過幾節(jié)課的學(xué)習(xí),我們認(rèn)識了算術(shù)平方根、平方根及立方根,這些數(shù)都源于我們的生活,今天我們將繼續(xù)來認(rèn)識生活中的數(shù)姆泻。首先,我們從一個小視頻開始我們今天的數(shù)學(xué)旅程,大家注意:小視頻中也蘊含著數(shù)學(xué)知識哦!
活動2【活動】實數(shù)
我們看了洋蔥視頻知道了根號2也有組織零酪，小數(shù)可分為有限小數(shù)和無限小數(shù)，有理數(shù)的分類拇勃。
活動3【講授】實數(shù)
無理數(shù)四苇？
我們之前接觸過這樣的數(shù)嗎?
你怎么知道圓周率π和 是無限不循環(huán)小數(shù)呢?你知道圓周率π小數(shù)點后第幾位?
老師這里有一個計算器,它能幫助我們計算出圓周率π和 等無限不循環(huán)小數(shù)的小數(shù)點后很多位數(shù),比如π,你想看到小數(shù)點后第幾位數(shù)?
借助計算器顯示π和 小數(shù)點后10000位數(shù)字。
看,這就是“無限不循環(huán)!”
活動4【講授】實數(shù)
在剛才的視頻中我們認(rèn)識了無限不循環(huán)小數(shù),它是我們之前學(xué)習(xí)過的有理數(shù)嗎?(問題二)
首先,我們一起來復(fù)習(xí)一下什么是有理數(shù)?
不管是整數(shù)還是分?jǐn)?shù),我們都可以把它們統(tǒng)一為小數(shù)的形式,下面請同學(xué)們拿出計算器,把下面的分?jǐn)?shù)化為為小數(shù)的形式,看看有什么發(fā)現(xiàn)?
(1)利用計算器,把下列有理數(shù)3, , , , , 轉(zhuǎn)換成小數(shù)的形式方咆。
(2)這些小數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)嗎?由此你得到什么結(jié)論?
(3)再找一些別的數(shù)試一試,上面的結(jié)論還成立嗎?請同學(xué)們分小組進(jìn)行合作探究,把小組得到的結(jié)論寫下來月腋。
教師講解:
任何一個有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)的形式;反過來,任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)!
那么說明——無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù)。
活動5【講授】實數(shù)
其實這樣的數(shù)早在公元前6世紀(jì)就被人們所發(fā)現(xiàn)。你了解無限不循環(huán)小數(shù)的歷史嗎?(問題三):
下面通過視頻看一下無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程：
1.最早發(fā)現(xiàn)無限不循環(huán)小數(shù)的是古希臘畢達(dá)哥拉斯的學(xué)生——希帕索斯(Hippasus)!但是他的發(fā)現(xiàn)不被他的老師認(rèn)可,最終被扔到海里淹死了榆骚。
2.在我國,祖沖之精確計算出了小數(shù)點后第七位,是世界上最早精確計算圓周率的人!他的記錄保持了一千年∑模現(xiàn)在的最高記錄已經(jīng)精確到小數(shù)點后兩千零六十一億五千八百四十三萬位。計算圓周率已經(jīng)成為檢驗計算機計算精度的一個常用的方法妓肢。
3.但是對于這樣的數(shù),人們感到十分惶恐,達(dá)芬奇曾經(jīng)說它“不可理喻”,開普勒曾經(jīng)說它“不可名狀”穆碎。由此,引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機。無限不循環(huán)小數(shù)也因此得名——無理數(shù)!
4.事實上,很多正有理數(shù)的平方根和立方根都是無理數(shù)职恳。(引出無理數(shù)概念)
活動6【練習(xí)】實數(shù)
我們已經(jīng)認(rèn)識了無理數(shù),你能舉出哪些無理數(shù)的例子嗎?(問題四)
很棒,大家舉了很多無理數(shù),它們都是帶根號的數(shù),那么請問帶根號的數(shù)都是無理數(shù)嗎?
由此,我們可以得出第一種常見的無理數(shù)的類型,它們是帶根號且開不盡方的數(shù)所禀。
你還能舉出別的形式的無理數(shù)嗎?
對,這是常見的另一種常見的無理數(shù)類型:像π, …這樣的數(shù)。
你還見過別的形式的無理數(shù)嗎?像課前游戲中產(chǎn)生的無理數(shù),或一些有規(guī)律但不循環(huán)的小數(shù)放钦。這是第三種無理數(shù)的常見類型色徘。
已經(jīng)對常見的幾種無理數(shù)的常見類型進(jìn)行了解了,你能快速的辨別無理數(shù)了嗎?試一試。
活動7【講授】實數(shù)
有了無理數(shù)的加入,數(shù)的范圍又?jǐn)U充了操禀。但是,1545年,意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在解三次方程時又有了驚人的發(fā)現(xiàn)——存在一類新的數(shù),如何把有理數(shù)和無理數(shù)與卡丹發(fā)現(xiàn)的新數(shù)區(qū)別開呢?法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在1637就率先提出來把有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)褂策。 (引出實數(shù)概念)
數(shù)的大家庭成員在擴充,難免會造成識別上的困難和混亂。因此有必要對它們進(jìn)行分類颓屑。你能對實數(shù)進(jìn)行合理的分類嗎?試一試斤寂。(問題五)
活動8【練習(xí)】實數(shù)
你學(xué)會了嗎?練一練吧。
(1)把下列各數(shù)分別填在相應(yīng)的集合中:
①有理數(shù)集合{ …}
②無理數(shù)集合{ …}
(2)把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi):
,4, , , , , , , (兩個2之間1的個數(shù)每次多一個)揪惦。
①有理數(shù)集合{ …}
②無理數(shù)集合{ …}
③正實數(shù)集合{ …}
④負(fù)實數(shù)集合{ …}
活動9【活動】實數(shù)
我們已經(jīng)從數(shù)的角度認(rèn)識了無理數(shù),從形的角度,無理數(shù)真的象開普勒曾經(jīng)說過的“不可名狀”嗎?
下面我們一起進(jìn)入問題六:
1遍搞、我們知道,每個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示,那么無理數(shù)是否也可以用數(shù)軸上的點表示出來呢?從我們最熟悉的無理數(shù)開始研究吧。你能在數(shù)軸上找到表示 的點嗎?
首先,通過剛才的洋蔥視頻器腋，一起來回顧一下,我們是怎么認(rèn)識 的?
幻燈片演示用兩個邊長為1的小正方形拼成邊長為 的正方形的過程溪猿。你發(fā)現(xiàn)長度為 的線段與小正方形的關(guān)系了嗎?
利用這一關(guān)系,你能想到在數(shù)軸上表示 的方法了嗎?動手畫一畫,然后小組交流你的畫法。
2纫塌、表示 的點在數(shù)軸上找到了,你能在數(shù)軸上找到表示 的點嗎?
說到 ,你想到了什么?
如何把圓的周長在數(shù)軸上表示出來呢?
學(xué)生探究出結(jié)果后,教師演示多媒體課件诊县。
講解:
事實上,每一個無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來。數(shù)軸上的點有的表示有理數(shù),有的表示無理數(shù)!在無理數(shù)出現(xiàn)之前的數(shù)軸是有“孔隙”的,無理數(shù)出現(xiàn)后,就將這些“孔隙”填滿了!
當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)后,實數(shù)與數(shù)軸上的點就是一一對應(yīng)的,即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示;反過來,數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)!
活動10【活動】實數(shù)
通過這節(jié)課的學(xué)習(xí):
1.你有哪些收獲或體會?
2.你的工作是否獲得你小組的肯定?
活動11【作業(yè)】實數(shù)
1.第178頁習(xí)題10.3第1題,第2題措左。
2.課外閱讀:關(guān)于無理數(shù)依痊、圓周率的相關(guān)網(wǎng)站,相信你會有更多收獲!
3.課后思考:①進(jìn)一步,平面直角坐標(biāo)系中的點與有序?qū)崝?shù)對之間也存在一一對應(yīng)關(guān)系嗎?②當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后,相反數(shù)和絕對值的意義以及運算法則對于實數(shù)來說是否還適用呢?
