Optimization Problems 優(yōu)化問(wèn)題
解決最大值，最小值等一系列的問(wèn)題佩谣，通撤苍酰可以用下面幾部步驟：
Steps in Solving Optimization Problems
- (1) Understand the Problem 理解問(wèn)題
- 理解題目意思悉稠。
- 了解 什么不知道宫蛆，要做什么。
- 給了哪些值
- 知道哪些條件
- (2) Draw a Diagram 畫(huà)圖像
- 畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖像
- 標(biāo)出 已經(jīng)給了的值
- (3) Introduce Notation 符號(hào)介紹
- 用一個(gè)符號(hào)表示要求的最大值 或者 最小值 （這里用Q表示）
- 用一些符號(hào)表示位置的變量的猛，或者標(biāo)簽耀盗。
- 可以用首字母去表示
- 例如： A表示 Area區(qū)域， h表示height高卦尊， t表示time時(shí)間
- (其他) 略
例子
例子1
先理解叛拷，有已知條件 2400ft
求 面積 A
根據(jù)下圖，可以得到大體表達(dá)式：
已知 2x + y = 2400
求 A = xy = 岂却？ 的最大值
為了用一個(gè)變量表示忿薇， 我們可以得到 y = 2400 - 2x
帶入 xy中得：
（注意： 這里 x>0, x<1200）
我們求導(dǎo)，可得：
由
我們可以得到 臨界點(diǎn) x = 600
并且對(duì)應(yīng)的 A'(x)的符號(hào)是變化的
我們求對(duì)應(yīng)的 A''(x) 的值躏哩， 可以得到：
A''(x) = -4 < 0
我們知道是 凹向下署浩， 有最大值
所以，
最大值為 A(600) = 720000
First Derivative Test for Absolute Extreme Values 一階求導(dǎo)的最值驗(yàn)證
其實(shí)扫尺， 這個(gè)之前已經(jīng)證明過(guò)筋栋， 只是在具體問(wèn)題上，做下驗(yàn)證
例子：
找出拋物線 y^2 = 2x 上器联，離 P(1二汛， 4)最近的點(diǎn)是哪個(gè)點(diǎn)？
我們?cè)O(shè)求 的這個(gè)點(diǎn)為 Q(x拨拓，y)
則肴颊，對(duì)應(yīng)的距離為：
我們通過(guò)拋物線 y^2 = 2x， 可得渣磷， x = y^2/2
帶入消元婿着，得：
其實(shí)，距離平方時(shí)最小醋界，距離也就最小竟宋，有
這個(gè)時(shí)候，我們求導(dǎo)形纺，可以得到：
我們可以簡(jiǎn)單得到丘侠，當(dāng)y=2的時(shí)候， f'(y) = 0
這個(gè)時(shí)候逐样，我們看一下 y<2 蜗字， y>2 的時(shí)候，
f'(y) 的值 分別為 f'(y) <0 , f'(y) >0
所以脂新，我們根據(jù)上面的【 一階求導(dǎo)的最值驗(yàn)證】
我們可以知道挪捕，y=2的時(shí)候， f(y) 有最小值
也就是争便， 這個(gè)時(shí)候 距離 d 是最小的
這樣我們可以求出 x = 2^2/2 = 2
也就是 曲線上 點(diǎn)(2级零，2) 離 點(diǎn)(1，4)最近
