第十二章多個(gè)比率的比較幻梯、獨(dú)立性及擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

參考書(shū)目為安德森的《商務(wù)與經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)》，以下為個(gè)人的學(xué)習(xí)總結(jié)努释，如果有錯(cuò)誤歡迎指正碘梢。有需要本書(shū)pdf的，鏈接在本文末尾伐蒂。（僅限個(gè)人學(xué)習(xí)使用煞躬，請(qǐng)勿牟利）

第十二章多個(gè)比率的比較、獨(dú)立性及擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

前面介紹了一個(gè)或兩個(gè)總體的總體均值饿自、比率和方差的假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)推斷汰翠。接下來(lái)介紹另外三種假設(shè)檢驗(yàn)的方法龄坪。幫助我們對(duì)總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。

12.1 三個(gè)或多個(gè)總體比率的相等性的檢驗(yàn)

針對(duì)多個(gè)總體比率 $p_1复唤、p_2健田、p_3\cdots p_k$
假設(shè)： $H_0:p_1=p_2=\cdots=p_k$ $H_a:所有總體比率不全相等$
如果根據(jù)樣本數(shù)據(jù)和 $\chi^2$ 檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果表明不能拒絕 $H_0$ 則我們認(rèn)為k個(gè)總體比率有差異。

舉例：調(diào)查不同汽車的汽車品牌忠誠(chéng)度（再次購(gòu)買的比率）佛纫。

假設(shè)： $H_0:p_1=p_2=p_3$ $H_a:所有總體比率不全相等$
已知： $n_1=125 n_2=200 n_3=175$

image

另外在500人有312人對(duì)自己的品牌有忠誠(chéng)度妓局，312/500=0.624；那么我們可以算出每個(gè)汽車車主還會(huì)再次購(gòu)買該品牌的期望頻數(shù)呈宇，即 $0.624n_i$ 好爬，從而得到下面的表。

image

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 $\chi^2$ ：
$\chi^2=\sum\limits_{i} \sum\limits_{j} \frac{(f_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}}$
式子中甥啄， $f_{ij}$ 為第 $i$ 行第 $j$ 列的單元格的觀察頻數(shù)存炮； $e_{ij}$ 代表在假定 $H_0$ 為真時(shí)的第 $i$ 行和第 $j$ 列的單元格的期望頻數(shù)。
涉及k個(gè)總體比率相等性的 $\chi^2$ 檢驗(yàn)中蜈漓，上述檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從自由度為k-1的 $\chi^2$ 分布穆桂，并且要求每個(gè) $e_{ij}$ 都大于等于5。

根據(jù)公式融虽，我們進(jìn)行計(jì)算享完，如下圖所示。得到 $\chi^2=7.89$

image

由于我們假定的時(shí) $H_0:p_1=p_2=p_3$ 有额，所以觀察頻數(shù) $f_{ij}$ 與期望頻數(shù) $e_{ij}$ 應(yīng)該是一致的般又，那么在檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 $\chi^2$ 計(jì)算中 $(f_{ij}-e_{ij})^2$ 應(yīng)該較小，且此時(shí) $H_0$ 不能被拒絕巍佑；另一方面茴迁，如果 $(f_{ij}-e_{ij})^2$ 較大，則 $H_0$ 可能會(huì)被拒絕句狼。所以說(shuō)總體比率相等性的 $\chi^2$ 檢驗(yàn)永遠(yuǎn)是一個(gè)上側(cè)檢驗(yàn)笋熬。

通過(guò)excel的計(jì)算，我們知道當(dāng) $\chi^2=7.89$ 腻菇，自由度為2時(shí)的上側(cè)面積即p-值=0.0194<0.05胳螟，所以我們拒絕 $H_0$ 認(rèn)為三車的車主品牌忠誠(chéng)度不完全相同。

當(dāng)然也可以用臨界值法：對(duì)于 $\alpha=0.05$ 筹吐，自由度為2的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的臨界值 $\chi^2=5.9915$ 糖耸，如果 $\chi^2>5.9915$ 則拒絕 $H_0$

總結(jié)：對(duì)于 $k \geq 3$ 個(gè)總體，總體比率相等性的 $\chi^2$ 檢驗(yàn)的一般步驟如下：

image

多重比較方法：

首先丘薛，我們?nèi)∶恳粚?duì)總體的樣本比率之差的絕對(duì)值嘉竟。即 $|\bar p_1-\bar p_2|$ 、 $|\bar p_1-\bar p_3|$ 和 $|\bar p_2-\bar p_3|$ 。
k個(gè)總體比率的Marascuilo成對(duì)比較方法的臨界值:
$CV_{ij}=\sqrt{\chi_{\alpha}^2}\sqrt{\frac{\bar p_i(1-\bar p_i)}{n_i}+\frac{\bar p_j(1-\bar p_j)}{n_j}}$
其中 $\chi_{\alpha}^2$ 為顯著水平為 $\alpha$ 且自由度為k-1的 $\chi_{\alpha}^2$ 值舍扰； $\bar p_i$ 和 $\bar p_j$ 總體為i和j的樣本比率倦蚪， $n_i$ 和 $n_j$ 為樣本容量。
將三個(gè)樣本比率代入得到 $CV_{12}=0.138$ 边苹、 $CV_{13}=0.1379$ 和 $CV_{23}=0.1198$
進(jìn)行比較陵且，任何成對(duì)樣本比率之差的絕對(duì)值 $|\bar p_i-\bar p_j|$ 超過(guò)其對(duì)應(yīng)的臨界值 $CV_{ij}$ ，則在顯著水平0.05之下个束，成對(duì)的差是顯著的慕购，此時(shí)我們得出相應(yīng)的兩個(gè)總體比率不同。

image

從上圖所示茬底，我們只能得到沪悲， $\bar p_3$ 明顯大于 $\bar p_1$ 。而 $\bar p_2$ 的值分別和 $\bar p_1$ 以及 $\bar p_3$ 都沒(méi)有顯著差異阱表。

總結(jié)：

在前面介紹的使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量z來(lái)比較兩個(gè)總體比率的假設(shè)檢驗(yàn)殿如，本節(jié)使用 $\chi^2$ 檢驗(yàn)也可用于兩總體比率相等的假設(shè)檢驗(yàn)。兩種方法結(jié)果相同捶枢，且 $\chi^2$ 的數(shù)值時(shí) $z$ 的數(shù)值的平方握截。區(qū)別在于 $\chi^2$ 檢驗(yàn)只能用于相等性檢驗(yàn)，但總體可以來(lái)源于3個(gè)及以上烂叔。
在k個(gè)總體中，每個(gè)車主有兩種結(jié)果：“是”固歪、“否”蒜鸡。每個(gè)總體服從二項(xiàng)分布。當(dāng)k個(gè)總體中每一個(gè)有三個(gè)或更多種回答時(shí)牢裳， $\chi^2$ 方法有拓展應(yīng)用逢防，此時(shí)每一個(gè)總體服從多項(xiàng)分布。 $\chi^2$ 計(jì)算的期望頻數(shù) $e_{ij}$ 以及檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 $\chi^2$ 的計(jì)算與上述相同蒲讯，不同的是原假設(shè)為對(duì)于所有總體回答變量的多項(xiàng)分布是相同的忘朝。k個(gè)總體中每一個(gè)都有r種回答，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 $\chi^2$ 的自由度為 $(r-1)(k-1)$

12.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)

$\chi^2$ 檢驗(yàn)的一個(gè)重要應(yīng)用是利用樣本數(shù)據(jù)檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性判帮，稱作獨(dú)立性檢驗(yàn)（test of independence）局嘁。

舉例：抽取200名飲酒者組成樣本，看他們對(duì)三種類型的啤酒偏好程度晦墙。研究問(wèn)題是：啤酒的偏好是否與飲酒者性別獨(dú)立悦昵。

獨(dú)立性檢驗(yàn)的假設(shè)： $H_0$ :啤酒偏好與飲酒者性別獨(dú)立 $H_a$ :啤酒偏好與飲酒者性別不獨(dú)立。數(shù)據(jù)如下圖所示：

image
將性別作為解釋變量晌畅，（因?yàn)橄胩骄啃詣e對(duì)啤酒偏好的影響）但指。
三種類型啤酒的樣本比率或百分比如下：

image
首先計(jì)算 $e_{ij}=\frac{第i行合計(jì)數(shù) \times 第j列的合計(jì)數(shù)}{樣本容量}$ 得到下表

image

按照公式計(jì)算 $\chi^2$ ：
$\chi^2=\sum\limits_{i} \sum\limits_{j} \frac{(f_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}}$
對(duì)于r行c列的表， $\chi^2$ 的自由度為 $(r-1)\times(c-1)$ ，且期望頻數(shù)都大于等于5棋凳。

下面是計(jì)算過(guò)程：

image

\chi^2=6.45

在自由度為2的上側(cè)面積即p值為0.0398拦坠，所以拒絕

H_0

使用臨界值法的話，可以計(jì)算 $\alpha=0.05$ 且自由度為2時(shí) $\chi^2$ 的臨界值為5.991剩岳，如果 $\chi^2$ 大于5.991則拒絕 $H_0$

對(duì)于不同性別對(duì)啤酒的偏愛(ài)如圖所示：

image

總結(jié)：

image

12.3 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

本節(jié)贪婉，我們使用 $\chi^2$ 來(lái)確定被抽樣的總體是否符合某個(gè)特殊的概率分布。首先考慮總體服從一個(gè)歷史的多項(xiàng)概率分布情形卢肃，并使用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)來(lái)確定樣本數(shù)據(jù)的總體分布在與歷史的分布相比較中疲迂，是否存在改變。然后考慮假設(shè)總體服從正態(tài)概率分布的情形莫湘，我們利用分布擬合檢驗(yàn)來(lái)確定樣本數(shù)據(jù)是否顯示與正態(tài)概率分布的假設(shè)是適當(dāng)還是不適當(dāng)尤蒿。這兩個(gè)檢驗(yàn)都稱作擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。

12.3.1 多項(xiàng)概率分布

多項(xiàng)概率分布幅垮，總體中每個(gè)個(gè)體都被分到三個(gè)或多個(gè)類別中的一個(gè)腰池。

舉例：市場(chǎng)調(diào)研公司調(diào)查三個(gè)公司的市場(chǎng)份額，在過(guò)去一年中份額為： $p_A=0.3$ 忙芒、 $p_B=0.5$ 和 $p_c=0.2$ 示弓；C公司有了新產(chǎn)品，想知道新產(chǎn)品上線是否對(duì)市場(chǎng)份額產(chǎn)生影響呵萨。
假設(shè)c公司新產(chǎn)品上市后的市場(chǎng)占有率： $H_0$ : $p_A=0.3$ , $p_B=0.5$ , $p_C=0.2$ $H_a$ :總體比率不是 $p_A=0.3$ , $p_B=0.5$ , $p_C=0.2$
現(xiàn)取樣本n=200得到觀察頻數(shù)如圖所示：

image

再計(jì)算期望頻數(shù)：

image

計(jì)算擬合優(yōu)度的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

\chi^2=\sum \limits_{i=1}^k \frac{(f_i-e_i)^2}{e_i}

f_i

為第

i

類的觀察頻數(shù)奏属；

e_i

為第

i

類的期望頻數(shù)；

k

為類別個(gè)數(shù)
注意：當(dāng)所有類別的期望頻數(shù)都大于等于5時(shí)潮峦，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從自由度為

k-1

的

\chi^2

分布囱皿。

我們令顯著水平 $\alpha=0.05$ ，經(jīng)過(guò)下面的計(jì)算過(guò)程得到 $\chi^2=7.34$

image

再利用excel計(jì)算

\chi^2=7.34

在自由度

df=2

的上側(cè)面積為0.0255<0.05
或者用臨界值法忱嘹，計(jì)算自由度為2且上側(cè)面積為0.05的

\chi^2=5.991

兩種方法的結(jié)論都為拒絕

H_o

嘱腥，認(rèn)為C公司在新產(chǎn)品引入后的新市場(chǎng)份額與原來(lái)不同。
兩個(gè)市場(chǎng)份額對(duì)比如下：

image

看到C公司的新品對(duì)A公司的市場(chǎng)占有率影響更大拘悦。

總結(jié)：對(duì)假設(shè)的多項(xiàng)總體分布進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的步驟：

image

12.3.2 正態(tài)分布

舉例：公司對(duì)員工進(jìn)行能力測(cè)驗(yàn)齿兔，如果服從正態(tài)分布，就好判斷誰(shuí)是后20%的人础米。

現(xiàn)取樣本容量為 $n=50$
點(diǎn)估計(jì)值: $\bar x=68.42$ $s=10.41$
假設(shè)： $H_0$ :測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)總體服從均值為68.42和標(biāo)準(zhǔn)差為10.41的正態(tài)分布 $H_a$ :測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)總體不服從均值為68.42和標(biāo)準(zhǔn)差為10.41的正態(tài)分布
將正態(tài)分布劃分10個(gè)等概率區(qū)間分苇，計(jì)算每個(gè)區(qū)間的邊界z值（需要滿足每個(gè)區(qū)間的期望頻數(shù)大于等于5），這樣做是因?yàn)檎龖B(tài)分布是連續(xù)型的椭盏，我們需要用區(qū)間來(lái)定義類別组砚。

image
計(jì)算出每個(gè)區(qū)間的邊界的z值和對(duì)應(yīng)的測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)

image
統(tǒng)計(jì)每個(gè)區(qū)間的觀察頻數(shù)( $f_i$ )和期望頻數(shù)( $e_i$ )

image
根據(jù)觀察頻數(shù)( $f_i$ )和期望頻數(shù)( $e_i$ )計(jì)算 $\chi^2=\sum \limits_{i=1}^k \frac{(f_i-e_i)^2}{e_i}=7.2$ ，其中自由度為 $k-p-1=10-2-1=7$ 這里的p指是有樣本估計(jì)的分布參數(shù)的個(gè)數(shù)（這里指的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差掏颊，使用的樣本估計(jì)值）糟红。

image

假設(shè)顯著水平為0.1艾帐，通過(guò)計(jì)算自由度為7， $\chi^2=7.2$ 的上側(cè)面積即p-值為0.4084>0.1盆偿。因此不能拒絕 $H_0$

總結(jié)：正態(tài)分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)步驟如下

image

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第十二章多個(gè)比率的比較、獨(dú)立性及擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

12.1 三個(gè)或多個(gè)總體比率的相等性的檢驗(yàn)

12.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)

12.3 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

12.3.1 多項(xiàng)概率分布

12.3.2 正態(tài)分布

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