一、數(shù)學(xué)非常有趣耸弄。
包含那么多推理過(guò)程的精巧性和結(jié)論的洞察性。通過(guò)抽象從復(fù)雜對(duì)象中揭示出其本質(zhì)內(nèi)核卓缰。
二计呈、數(shù)學(xué)能簡(jiǎn)化我們對(duì)世界認(rèn)知和把握方式。最主要的方式就是分類
通過(guò)對(duì)一類對(duì)象的研究（而非單獨(dú)對(duì)象）就能得到這一類對(duì)象的特點(diǎn)和規(guī)律征唬，比單個(gè)對(duì)像研究效率高太多捌显。
只有元素構(gòu)成的集合性質(zhì)沒(méi)有那么有趣，如果在其中加入某些運(yùn)算（如乘法总寒、加法）扶歪，對(duì)這些運(yùn)算定義規(guī)則(如封閉性，結(jié)合律摄闸，單位元善镰，逆元、交換律等)年枕，就賦予系統(tǒng)以結(jié)構(gòu)炫欺。于是就出現(xiàn)了常見(jiàn)的群、環(huán)熏兄，域等結(jié)構(gòu)品洛，而如果還想對(duì)集合中元素之間關(guān)系(遠(yuǎn)近，距離等)進(jìn)行度量（如歐氏距離摩桶、余弦?jiàn)A腳等）桥状，或者是讓運(yùn)算具有疊加效果（Laplace 變換），那么有可以分別構(gòu)成度量空間典格，線性空間等等不同空間岛宦，是一種更復(fù)雜的代數(shù)結(jié)構(gòu)。而這樣的不同結(jié)構(gòu)又進(jìn)行了一個(gè)大分類耍缴，不同結(jié)構(gòu)集合實(shí)例化后砾肺，可以一次性解決巨量的多樣問(wèn)題。
兩個(gè)系統(tǒng)不僅僅是元素對(duì)應(yīng)起來(lái)防嗡，對(duì)應(yīng)元素之間關(guān)系還可以保持不變的話变汪，就將具有相同或者相似結(jié)構(gòu)不同系統(tǒng)等同起來(lái)，這樣對(duì)應(yīng)就是同構(gòu)蚁趁、同態(tài)裙盾，又是一種分類，大大方便探索未知對(duì)象效率。
三番官、把結(jié)論適當(dāng)推廣
比如說(shuō)有了二維和三維的一些結(jié)論就直接向高維度推廣庐完。比如，矩陣徘熔、多項(xiàng)式都可以和數(shù)組 一樣作為向量對(duì)待门躯。把實(shí)數(shù)等開(kāi)區(qū)間推廣到集合的開(kāi)集后來(lái)創(chuàng)建測(cè)度等，都大大拓展了研究對(duì)象范圍酷师。
四讶凉、建立定量聯(lián)系
通過(guò)映射把不同集合之間通過(guò)函數(shù)關(guān)聯(lián)起來(lái)，即可以表達(dá)因果關(guān)系山孔，又可以對(duì)相關(guān)關(guān)系進(jìn)行描述懂讯。
五、有效解決問(wèn)題方法
1台颠、分而治之（最重要一個(gè)方法）
把問(wèn)題分成幾個(gè)部分褐望，一個(gè)一個(gè)部分進(jìn)行證明。 這是極其重要又普適的一個(gè)技巧蓉媳，在許多領(lǐng)域都在使用譬挚。如對(duì)復(fù)雜群進(jìn)行研究時(shí)，也用到這個(gè)方法酪呻，就是研究其子群的結(jié)構(gòu)减宣，通過(guò)對(duì)子群的研究得到對(duì)特定群的特征。
2玩荠、證明問(wèn)題的必要條件
若原命題成立漆腌，可以推理得到一個(gè)新的相對(duì)簡(jiǎn)單很具體的結(jié)論。如果這個(gè)具體問(wèn)題得證阶冈，則原命題的正確性可以推進(jìn)一步闷尿，若具體問(wèn)題被證偽，則原命題也被證偽（問(wèn)題具體化）女坑。
3填具、證明問(wèn)題的充分條件
把原命題當(dāng)成一個(gè)更抽象問(wèn)題的一個(gè)實(shí)例化后的結(jié)果。構(gòu)造的這個(gè)抽象問(wèn)題一般更難求解匆骗，但是求解后能得到更多的結(jié)論劳景。在抽象過(guò)程中，就把關(guān)于自然數(shù)的數(shù)論問(wèn)題映射到代數(shù)碉就、拓?fù)浠蛘叻治龅念I(lǐng)域盟广。創(chuàng)建的新的抽象問(wèn)題被證明后，相關(guān)的猜想也就變成了定理（問(wèn)題抽象化）瓮钥。這是許多的著名數(shù)論問(wèn)題證明的路線圖筋量。數(shù)論問(wèn)題看起來(lái)都容易理解烹吵，但是要證明，一般在算數(shù)領(lǐng)域很難證明（歐幾里得在算數(shù)領(lǐng)域用反證法證明素?cái)?shù)無(wú)窮的這類美妙方法真的很少）桨武。都需要對(duì)其進(jìn)行范式轉(zhuǎn)換肋拔，所以數(shù)論猜想看起來(lái)很簡(jiǎn)單，但是證明起來(lái)卻需要非常高深理論的原因呀酸。
4只损、從不同角度看問(wèn)題
比如說(shuō)，雖然對(duì) Δx→0 取極限黎曼積分非常好用七咧，但是畢竟有些特殊函數(shù)不能進(jìn)行積分，那么換一個(gè)思路叮叹，針對(duì) Δy→0 取極限艾栋，勒貝格積分就派上了用場(chǎng)。
5蛉顽、在一個(gè)系統(tǒng)里面解決問(wèn)題很難蝗砾，那就把他轉(zhuǎn)換到另外系統(tǒng)里面去求解
如費(fèi)馬大定理的證明是把有解轉(zhuǎn)換為 橢圓函數(shù)（y^2 = x^3+bx+c）上有特殊解。
