記北師版八上數(shù)學(xué)教材第一章第三節(jié)《勾股定理的應(yīng)用》習(xí)題課3。
折疊問(wèn)題是近年陜西中考選擇題當(dāng)中的常考題型握侧，所涉及考點(diǎn)主要有圖形的性質(zhì)捌肴、對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用。經(jīng)過(guò)前幾課的學(xué)習(xí)藕咏，學(xué)生已經(jīng)能較為熟練的運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題并初步接觸了用方程思想結(jié)合勾股定理求直角三角形邊長(zhǎng)状知。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)課對(duì)折疊問(wèn)題進(jìn)行專題探究孽查。
本課共設(shè)置了五道例題饥悴，前三道以矩形為背景，后兩道以三角形為背景盲再。
例1
講授過(guò)程中幾點(diǎn)注意：
1.引導(dǎo)學(xué)生逐句分析題目條件
由“長(zhǎng)方形紙片”可知長(zhǎng)方形ABCD4個(gè)角都是90度西设，對(duì)邊平行且相等。由“折疊”學(xué)生想到對(duì)應(yīng)邊相等答朋、對(duì)應(yīng)角相等贷揽。這時(shí)追問(wèn)“那么折疊前后的兩個(gè)圖形是什么關(guān)系？”有學(xué)生回答全等梦碗，也有學(xué)生想到對(duì)稱禽绪。此處教師點(diǎn)撥——全等是對(duì)圖形的大小和形狀作限定；而對(duì)稱是在全等的基礎(chǔ)上對(duì)圖形的位置再作要求洪规。因此由“折疊”得對(duì)稱印屁，對(duì)應(yīng)邊角相等。問(wèn)題求線段長(zhǎng)斩例，想到用勾股定理求直角三角形邊長(zhǎng)雄人。
2.“角平分線”“平行”“等腰三角形”知二推一
由折疊的對(duì)稱性得∠1=∠2，由矩形對(duì)邊平行得∠2=∠3,所以∠1=∠3,推出 FA=FC（等角對(duì)等邊）.
3.勾股定理求邊長(zhǎng)時(shí)計(jì)算可簡(jiǎn)化
在直角三角形ADF中念赶，∠D=90°,? AF=25/4, DF=7/4, 可用勾股定理直接求AD础钠。具體在計(jì)算AD時(shí)，數(shù)字帶分母計(jì)算較復(fù)雜叉谜，可設(shè)AD為a/4旗吁，根據(jù)“把一組勾股數(shù)同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)，所得結(jié)果仍能構(gòu)成直角三角形”正罢，計(jì)算以“a阵漏，7驻民，25”的直角三角形即可翻具。a2=625-49=576. a<25且“四四一十六”，估計(jì)a=24回还，經(jīng)驗(yàn)證裆泳，正確。
4.總結(jié)折疊問(wèn)題大致思路
做題過(guò)程中用到了：長(zhǎng)方形的性質(zhì)柠硕、軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理工禾，所求線段所在的直角三角形中已知兩邊运提，用勾股定理直接計(jì)算。
例2.
點(diǎn)撥：直角三角形中闻葵，已知一邊和另兩邊關(guān)系（和差倍分均可）民泵，用方程思想結(jié)合勾股定理求解。
例3.
實(shí)際教學(xué)中槽畔，例3設(shè)置了兩問(wèn)
第（1）問(wèn)與例二類似栈妆，讓學(xué)生獨(dú)立完成
第（2）問(wèn)有一定難度，需教師引導(dǎo)
點(diǎn)撥：要求AM厢钧，而觀察圖形AM并不在直角三角形中鳞尔，因此可以把求AM轉(zhuǎn)化成求A'M。再觀察A'M所在的三角形早直，雖然在圖中可以找到一個(gè)小直角三角形寥假，但是這個(gè)三角形的其余兩邊并不好表示，故放棄這個(gè)三角形霞扬「馊停考慮題中是線段較多，所以設(shè)未知數(shù)喻圃，設(shè)A'M=y兔沃，則DM=9-y。又DB'=6, A'B'=9,這些線段都和MB'有關(guān)级及。因此想到連接MB', MB'是ΔDMB'和ΔA'MB'的公共邊乒疏，是連接這兩個(gè)三角形的橋梁。在兩個(gè)三角形中饮焦，利用勾股定理分別表示DB'怕吴，而DB'=DB'，利用這個(gè)等量關(guān)系列方程县踢。
由此得出：當(dāng)兩個(gè)直角三角形有公共邊時(shí)转绷，可利用公共邊相等這組等量關(guān)系列方程解決問(wèn)題。
例4
如圖硼啤，已知三角形三邊分別為3议经、4、5谴返。折疊使AB落在AC邊上煞肾，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處。求CE和CD的長(zhǎng)度嗓袱。
這道題有一個(gè)容易遺漏的細(xì)節(jié)籍救，即用3、4渠抹、5這組勾股數(shù)先判定直角三角形蝙昙。
第（1）問(wèn)較簡(jiǎn)單闪萄，多數(shù)學(xué)生可獨(dú)立完成。
第（2）問(wèn)與例2類似奇颠，用方程思想結(jié)合勾股定理求線段長(zhǎng)败去。
做完之后，教師可以口述再加一問(wèn)：求ΔACD的面積烈拒，學(xué)生自然會(huì)和第二文聯(lián)系起來(lái)为迈。由此說(shuō)明：求面積的問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為求線段長(zhǎng)，考察的還是勾股定理缺菌。
例5
有了例4中第（3）問(wèn)的過(guò)渡,學(xué)生容易想到求線段長(zhǎng)葫辐。由勾股定理推出AB=10，由折疊推出BC'=6伴郁，得AC'=4且DC'⊥AB耿战。要求ΔAC'D的面積，只需求DC'即可焊傅。利用方程思想剂陡、勾股定理可求。
除了求線段長(zhǎng)狐胎，這道題還可以用面積比的方法解決鸭栖。ΔBCD與ΔBC'D對(duì)稱，面積相等握巢。ΔAC'D與ΔBC'D共高晕鹊，面積比等于底之比，而它們的底分別為4和6暴浦〗埃可設(shè)三個(gè)三角形面積分別為2a、3a歌焦、3a（如圖）飞几，它們的面積和為24。所以8a=24,? 2a=6.
如此独撇，遇到折疊問(wèn)題屑墨，可以想到利用勾股定理求線段長(zhǎng)、求面積纷铣；還可跳出勾股定理卵史，利用比例等其他方法解決問(wèn)題。
