庫(kù)默爾是研究單位根形成的代數(shù)數(shù)，而高斯的學(xué)生戴德金(Julius Wilhelm Richard Dedekind,1831-1916)用一種全新的形式探討唯一因子分解問(wèn)題目尖，他出生在不倫瑞克馒吴，31歲時(shí)回到不倫瑞克，在當(dāng)?shù)馗叩燃夹g(shù)學(xué)校當(dāng)了50年教師瑟曲，1871年他編輯狄利克雷的《數(shù)論》第二版饮戳，在附錄中發(fā)表了他的結(jié)果。在第三洞拨、四版《數(shù)論》中他又?jǐn)U展了這些結(jié)果扯罐，創(chuàng)立了現(xiàn)代代數(shù)數(shù)的理論。
戴德金的代數(shù)數(shù)理論是高斯復(fù)整數(shù)和庫(kù)默爾代數(shù)數(shù)的一般化烦衣，但和高斯復(fù)整數(shù)有一些差別篮赢，如果數(shù)r是方程的根（方程次數(shù)為n）就稱(chēng)r為一個(gè)n次代數(shù)數(shù)齿椅，式中ai是普通整數(shù)（a0不為0）琉挖，如果a0為1启泣，則所有解叫做n次代數(shù)整數(shù)。代數(shù)整數(shù)的和示辈、差寥茫、積仍是代數(shù)整數(shù)，如果一個(gè)代數(shù)整數(shù)是有理數(shù)矾麻，則它是普通整數(shù)纱耻。
在新定義下，一個(gè)代數(shù)整數(shù)可以包括普通分?jǐn)?shù)险耀，如是一個(gè)二次代數(shù)整數(shù)弄喘，因?yàn)樗?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=x%5E2%2B13x%2B71%3D0" alt="x^2+13x+71=0" mathimg="1">的根，反之
是一個(gè)二次代數(shù)數(shù)但不是代數(shù)整數(shù)甩牺，因?yàn)樗?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=2x%5E2-2x%2B3%3D0" alt="2x^2-2x+3=0" mathimg="1">的根蘑志。
戴德金接著引入數(shù)域的概念，數(shù)域是一個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)的集合F贬派，如果α,β屬于F急但，則α+β，α-β搞乏，αβ波桩，α/β(β≠0)都屬于F，每個(gè)數(shù)域都包含有理數(shù)请敦，因?yàn)槿绻翆儆跀?shù)域F镐躲，則α/α=1也屬于F，1+1侍筛，1+2等都屬于F萤皂。一切代數(shù)數(shù)的集合形成一個(gè)域。
如果從有理數(shù)域出發(fā)勾笆，而θ是一個(gè)n次代數(shù)數(shù)敌蚜，則θ和自身及有理數(shù)在四種運(yùn)算下形成的集合也是n次域，這個(gè)域也可以說(shuō)是包含有理數(shù)和θ的最小域窝爪，也稱(chēng)有理數(shù)的擴(kuò)域弛车。這樣的域不包含所有代數(shù)數(shù)，而是一個(gè)特殊的代數(shù)數(shù)域蒲每，現(xiàn)在常記為R(θ)纷跛。令f(x),g(x)為有理系數(shù)的多項(xiàng)式，f(θ)/g(θ)在域R(θ)中邀杏，且R(θ)中的任何數(shù)a能表示為贫奠，ai是普通有理數(shù)唬血。此外域中存在n個(gè)代數(shù)整數(shù)θ1,θ2,...,θn使域中所有代數(shù)整數(shù)都有形式A1θ1+A2θ2+...+Anθn，Ai是普通的正或負(fù)整數(shù)唤崭。
戴德金引入了環(huán)的概念拷恨，環(huán)是一個(gè)集合，如果α和β屬于該集合谢肾，則α+β腕侄，α-β，αβ也屬于該集合芦疏，所有代數(shù)整數(shù)的集合形成一個(gè)環(huán)冕杠，任何一個(gè)特殊代數(shù)數(shù)域中的一切代數(shù)整數(shù)也形成環(huán)。
如果存在一個(gè)代數(shù)整數(shù)γ使α=βγ酸茴，就說(shuō)代數(shù)整數(shù)α能被代數(shù)整數(shù)β整除分预，如果j是一個(gè)代數(shù)整數(shù)并能整除代數(shù)數(shù)域中的每個(gè)其它整數(shù)，就稱(chēng)j是該域的一個(gè)可逆元素薪捍，這些可逆元素包括±1笼痹，是普通數(shù)論中可逆元素±1的一般化。如果代數(shù)整數(shù)α不是0或可逆元素飘诗，且能分解為βγ（β和γ也屬于該域与倡，β或γ是該域中的可逆元素），則稱(chēng)α是一個(gè)素?cái)?shù)昆稿。
下面討論算數(shù)基本定理成立的范圍纺座。在一切代數(shù)整數(shù)所形成的環(huán)中沒(méi)有素?cái)?shù)「忍叮考慮特殊的代數(shù)數(shù)域R(θ)中的整數(shù)環(huán)净响，如域，其中a,b是普通的有理數(shù)喳瓣，在這個(gè)域中唯一因子分解不成立馋贤，如
，這四個(gè)因子都是素?cái)?shù)畏陕，它們不能分解為形如
的乘積配乓，其中cdef是整數(shù)。
再考慮域惠毁，a,b是普通有理數(shù)犹芹，對(duì)這種數(shù)進(jìn)行四種代數(shù)運(yùn)算仍能得到這種數(shù)。限定a,b是整數(shù)鞠绰，則得到這個(gè)域的(2次)代數(shù)整數(shù)腰埂，在這個(gè)域中可將可逆元素等價(jià)定義為：若1/M也是代數(shù)整數(shù)，則代數(shù)整數(shù)M是可逆元素蜈膨，于是±1和5±2√6是可逆元素屿笼。每個(gè)整數(shù)都可被任意可逆元素整除牺荠，如果域中的一個(gè)代數(shù)整數(shù)只能被自身和可逆元素整除，則它為素?cái)?shù)驴一。6=2·3=√6·√6的分解因子不是素?cái)?shù)休雌，正確的分解是6=(2+√6)(-2+√6)(3+√6)(3-√6)，此時(shí)唯一分解成立蛔趴。
在特殊代數(shù)數(shù)域的整數(shù)環(huán)中挑辆，代數(shù)整數(shù)總能分解成素因數(shù)，但唯一分解一般不成立孝情，對(duì)形如的域，D取不為平方數(shù)整除的正整數(shù)洒嗤，對(duì)直到10^9的D僅當(dāng)D=1,2,3,7,11,19,43,67,163時(shí)唯一因子分解成立箫荡，因此代數(shù)數(shù)本身不具備唯一因子分解性。
