章節(jié)概覽
我們今天要做一些非常危險的事情，那就是從高中跨越到大學(xué)艇搀。做好準備吧，同學(xué)們求晶。同樣焰雕，我仍然要告訴你們該教程并不是什么優(yōu)秀的數(shù)學(xué)讀物，如果你希望從這里學(xué)到非常多的數(shù)學(xué)知識芳杏，那么趁早放棄吧矩屁。它只能告訴你，所有的配料的名字爵赵，而非直接給予你這個配料吝秕。
1.噩夢的開端：極限
1857年5月23日柯西在巴黎病逝。他臨終的一句名言空幻，長久地叩擊著一代又一代學(xué)子的心扉烁峭。
人總是要死的，但是秕铛，他們的業(yè)績永存约郁。
為什么要說極限呢？因為極限是微積分最基礎(chǔ)的內(nèi)容但两，是很多概念的基礎(chǔ)鬓梅。極限是針對一個函數(shù)而存在的，它描述了當(dāng)該函數(shù)的參數(shù)趨向于某個值的時候谨湘，該函數(shù)的值趨向的值绽快。
1.1.什么是趨向于
趨向于就是無限逼近但是不等于芥丧，這是一個很讓人頭疼的事情。就像一個悶騷又極其內(nèi)向的人A喜歡一個姑娘老久了就是不表白一樣坊罢，永遠都只是朋友而不是戀人娄柳。但是其實我們是可以理解的，因為有的時候艘绍，我們追求的那個值赤拒，是不可能達到的。就像A心里也清楚诱鞠，人家姑娘看不上他這種人挎挖。但是現(xiàn)實中的比喻和數(shù)學(xué)還是有不同的，畢竟那個姑娘哪天說不定莫名其妙眼睛就瞎了航夺。但是悲傷的故事是蕉朵，一個x，永遠取不到一個叫做
的值阳掐∈夹疲或者真正恐怖的事實是，無窮正是因為取不到缭保，才叫無窮汛闸。
1.2.極限的格式
極限的寫法比較簡單，它由英文單詞 limit 而來艺骂。極限格式就是先寫一個lim出來诸老，在lim上的下面寫出該極限的參數(shù)趨向于的值，然后函數(shù)表達式放右邊就行了钳恕。
這個極限讀作别伏，x趨向于無窮大時，1/x的極限值忧额。毫無疑問的厘肮，該極限值為0，雖然1/x永遠不可能等于0睦番，但是它的極限卻可以在x趨于無窮大時為0类茂。
1.3.換一種對極限的叫法
可能極限這個名詞太專業(yè)了，其實并不需要這么個東西抡砂。我們在這個章節(jié)暫時不說極限這個名詞大咱，而用一種非常粗淺的叫法，即非常非匙⒁妫靠近的值。比如溯捆，剛才的算式可以這么叫丑搔，當(dāng)x趨向于無窮大時厦瓢，1/x非常非常靠近的值啤月。
當(dāng)x趨向于無窮大時煮仇，1/x的非常非常靠近的值是0谎仲，因而
1.3.1關(guān)于求極限
求非常非痴愕妫靠近的值的手段很多，但是大部分沒啥用郑诺，因為我們平時在數(shù)學(xué)題里面用到的函數(shù)夹姥，全部拎出來，放到現(xiàn)實生活中辙诞，或者自然界的函數(shù)中去辙售，簡直就是一顆原子釋放到了宇宙中。因而我的老師跟我說飞涂，有的非常非车┎浚靠近的值呀，只有上帝求得出來较店。不過我們還是得知道一件很普通的事士八，那就是，在我們求非常非沉撼剩靠近的值的過程中曹铃，如果參數(shù)x趨向于的值并不是0或者無窮大，而是一個實實在在的值捧杉，那么直接代入這個值就可以了陕见。比如
它的含義就是，當(dāng)x無限趨近于3的時候味抖，x+1的非常非称捞穑靠近的值是4
1.4.從極限到導(dǎo)數(shù)
1.4.1.斜率的現(xiàn)實含義
突然扯到斜率有點唐突，不過倒是一個很不錯的入口點仔涩。斜率最初描述對象其實是坡度忍坷，圖中所示的直角三角形，就可以看作是一個坡熔脂。
怎么計算斜率呢佩研？這是一件很簡單的事情，我們可以通過多種方式霞揉，最簡易的方式就是通過計算高度與長度的比值旬薯。
這樣，我們就計算出了這個斜面的坡度或者斜率适秩，為0.5绊序，更多的時候硕舆，我們沒有這個所謂的“坡”，只有這個斜面骤公，或者稱為斜線抚官。
假設(shè)我們把這個圖像當(dāng)做是一個挖煤的過程，x軸的單位是月阶捆，y軸的單位是噸凌节。那么這個斜率0.5表示的含義就發(fā)生了變化，它表示已經(jīng)挖出來的煤的增長的速度洒试。這就是我們這個小標題的答案倍奢，斜率的現(xiàn)實含義或者它在這個專題中一個非常重要的意義就是增長率
1.4.2.從開車問題拓展增長率的概念
一旦扯到開車，就絕對避免不了去談一個問題儡司，即加速問題娱挨。比如從0m/s加速到5m/s要用多少時間啦。在研究這個問題的時候捕犬，我們先做兩個基本假設(shè)跷坝，第一個假設(shè)就是我們從0m/s加速到5m/s用了10秒，第二個假設(shè)就是這輛車加速的增長率恒定碉碉。那么上面這個圖像就完全可以用來描述小汽車加速的這個問題柴钻，換個單位就成了」噶福可是實際情況是贴届，花了10秒從0m/s加速到5m/s可以接受，也許是輛遙控玩具車呢蜡吧，但是小汽車的速度增長率不太可能是恒定的毫蚓。它可能是下面這張圖所描述的。
此時昔善，小汽車在每個時刻的速度都不符合之前的函數(shù)所描述的元潘。幸好這輛車提供了一個記錄每秒速度的儀器，這個儀器記錄了所有時刻的瞬時速度并且記錄到了一個表格里君仆，現(xiàn)在我們可以把它作為一個函數(shù)來看待翩概。即小汽車在t時刻的速度為f(t)
只要有了這個函數(shù)，我們可以計算某個時間段內(nèi)返咱，這輛車的速度的平均增長率钥庇。
比如，我們選取時刻3s咖摹，和時刻5s
我們現(xiàn)在知道评姨，3s時，汽車的速度為f(3)楞艾，而5s時参咙，汽車的速度為f(5)龄广，那么就可以輕松的計算出在3s到5s這段時間內(nèi)硫眯，汽車速度的平均增長率為
為什么要計算3秒到5秒呢蕴侧？啊两入？我也不知道啊净宵。所以
有了這個公式，我們就可以計算任意兩個時刻內(nèi)的平均速度增長率了裹纳，（說了這么半天的速度增長率择葡，其實在物理中被稱為加速度，這里說成增長率是為了方便大家理解剃氧。）也許到了這里敏储，很多人都滿足了。但是就是有那么一個人朋鞍，他覺得已添，如果兩個時間刻度x1和x2十分的接近，我們不就可以得到一個點的近似的瞬時增長率了嗎滥酥？
這確實是一個非常好的想法更舞，但是怎么描述x1和x2非常接近呢？
當(dāng)然是用非常非晨参牵靠近的值啦缆蝉。如果x1無限趨近于x2，那么自然而然的我們就得到x2這個點附近的瞬時增長率了瘦真。所以我們先列出這個式子咯
前面我們說到刊头，如果參數(shù)x趨向于一個實實在在的值，那么極限的值就直接代入它就可以了诸尽。因而這個式子可以直接寫成
它表示在無限趨近于
時原杂，
的非常非常靠近的值為
弦讽。如果你已經(jīng)對非常非澄畚荆靠近值的含義有一定的掌握了，就可以不再用這種非常粗俗的叫法了往产，還是叫極限吧被碗，高大尚。
不過由于我們并不真的知道到底是什么仿村，因而我們無法求出
的具體表達式锐朴，不過我們倒是可以嘗試嘗試不同的函數(shù)。于是再做一個假設(shè)吧蔼囊，假設(shè)
焚志，于是這個極限就成了
如果你看到了這里衣迷，并且理解了所有的內(nèi)容。那么恭喜你酱酬，你掌握了一個很重要的概念壶谒，即導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)描述的是一個函數(shù)在某一個點的增長率膳沽，它的計算方式就是上面的推導(dǎo)過程汗菜。而函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)就是
小結(jié)
今天你有沒有成功度過大峽谷呢？如果你看不懂挑社，別灰心陨界，看一些其他的更加基礎(chǔ)的內(nèi)容來補充你所需要的知識吧。我也是一步一步走過來的痛阻。我們今天主要的目的是為了講導(dǎo)數(shù)菌瘪，只不過導(dǎo)數(shù)比較依賴極限，然而極限又不是一個非常簡單的東西阱当。我甚至沒有搬出極限的原始定義俏扩，因為我覺得它太反人類了。有了導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)斗这，我們就可以開始下面的內(nèi)容了动猬。
