學(xué)習(xí)高數(shù)的時(shí)間有點(diǎn)久了蒋失，很多概念都生疏了，所以花了一天時(shí)間重新翻了一遍高等數(shù)學(xué)啥纸，就寫一篇文檔總結(jié)一下微積分中的關(guān)鍵點(diǎn)和關(guān)鍵概念裹唆，幫助以后工作更快速的進(jìn)步誓斥。我看的教材還是同濟(jì)版的，同濟(jì)的高等數(shù)學(xué)寫的要比線性代數(shù)好得多许帐。

一劳坑、 函數(shù)

函數(shù)是初等數(shù)學(xué)中的概念，在高等數(shù)學(xué)中同樣適用舞吭，這是微積分討論的對(duì)象泡垃。有輸入，也有對(duì)應(yīng)的輸出羡鸥，滿足這樣的功能的都叫映射蔑穴，或者函數(shù)，只不過(guò)函數(shù)更側(cè)重于數(shù)這個(gè)變量惧浴。編程中有參數(shù)存和，有 return，都叫函數(shù)衷旅，而函數(shù)的本來(lái)意思就是功能捐腿，實(shí)現(xiàn)一定的功能。函數(shù)是描述黑箱系統(tǒng)的工具柿顶，這在信號(hào)與系統(tǒng)茄袖，隨機(jī)過(guò)程中尤為突出，同樣的嘁锯，一個(gè)矩陣也是一個(gè)函數(shù)宪祥。

數(shù)列是離散函數(shù)，指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)家乘，多項(xiàng)式函數(shù)蝗羊，三角函數(shù)是初等函數(shù)。而實(shí)際上仁锯，根據(jù)歐拉公式和泰勒展開(kāi)耀找，這些初等函數(shù)其實(shí)是一回事。

函數(shù)連續(xù)性是微積分的基礎(chǔ)业崖，如果沒(méi)有連續(xù)性野芒，比如 狄利克雷函數(shù)蓄愁，則無(wú)法計(jì)算微積分。我感覺(jué)理解函數(shù)連續(xù)性和可微積分的關(guān)系的最漂亮的函數(shù)是阻尼震蕩函數(shù)狞悲，函數(shù)分?jǐn)?shù)線上方是三角正弦函數(shù)涝登，下方是二次多項(xiàng)式函數(shù)。盡管有斷點(diǎn)效诅，但是仍然保持了連續(xù)性，可微積分趟济。

函數(shù)的一致連續(xù)性乱投，從定義上來(lái)講，不允許函數(shù)在定義域上的斜率無(wú)限大顷编。多項(xiàng)式函數(shù)戚炫，指數(shù)函數(shù)都是斜率逼近無(wú)限的。至于一致連續(xù)有什么工程意義媳纬，我認(rèn)為任何工程都必須保持一致連續(xù)双肤，我們實(shí)際上根本不可能出現(xiàn)無(wú)限大，這是解決工程問(wèn)題的前提钮惠，比如功率放大器茅糜，盡管理論上可以達(dá)到無(wú)限大，但是實(shí)際上不可能素挽，沖激函數(shù)使用短時(shí)方波擬合蔑赘，此時(shí)的斜率也一定是存在的，不可能是理論上的無(wú)限大预明，這個(gè)短時(shí)方波也是連續(xù)的缩赛；而理論上，沖激函數(shù)就是不連續(xù)的撰糠。

二酥馍、 極限

形象地理解極限非常容易，但是極限的嚴(yán)謹(jǐn)定義有些拗口阅酪。極限是微積分的基礎(chǔ)旨袒，在微積分的討論中，廣泛應(yīng)用到了忽略高階無(wú)窮小量遮斥，無(wú)限劃分有限長(zhǎng)度峦失、面積等，這些約等于术吗、近似尉辑、逼近的根基在于存在極限，如果沒(méi)有極限這個(gè)根基较屿，微積分構(gòu)建不起來(lái)隧魄，時(shí)長(zhǎng)忽略無(wú)窮小量也會(huì)造成大量的不嚴(yán)謹(jǐn)和錯(cuò)誤卓练。總之购啄，極限是保證了微積分從近似到精準(zhǔn)的橋梁襟企，也是根基。

在極限的各種性質(zhì)中狮含，我認(rèn)為最重要的是極限的定義顽悼，夾逼定理，柯西函數(shù)收斂準(zhǔn)則几迄。根基極限的定義蔚龙，也就可以得出無(wú)窮小量的比較這個(gè)概念，在程序算法的復(fù)雜度分析當(dāng)中映胁，這個(gè)使用的非常頻繁木羹。

三、 導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)的英文是 derivitive解孙，意思就是根源坑填，源頭，這樣理解起來(lái)弛姜，導(dǎo)數(shù)的意思就是變化的源頭脐瑰，函數(shù)本身刻畫了變化的過(guò)程，而導(dǎo)數(shù)就是刻畫變化本身娱据。我一直認(rèn)為蚪黑，翻譯的水平直接影響了中國(guó)人理解數(shù)學(xué)概念。導(dǎo)數(shù)的定義是根據(jù)極限得來(lái)的中剩，首先定義中給出了一個(gè)定義域段忌穿，對(duì)應(yīng)的有一個(gè)直線斜率。當(dāng)定義域時(shí)間段越來(lái)越小時(shí)结啼，斜率趨近于一個(gè)穩(wěn)定的值掠剑，這個(gè)值就是導(dǎo)數(shù)。在討論導(dǎo)數(shù)的時(shí)候郊愧，一定是指某一個(gè)點(diǎn)朴译，而非某一個(gè)時(shí)間段∈籼可以說(shuō)眠寿，對(duì)于某一個(gè)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，并不存在斜率這個(gè)東西焦蘑，只有存在時(shí)間段的時(shí)候才有盯拱。所以，只能是滿足存在極限，導(dǎo)數(shù)才存在狡逢。導(dǎo)數(shù)存在的條件就是被討論的點(diǎn)的附近有定義域宁舰，且有規(guī)定的極限。

可導(dǎo)必連續(xù)奢浑，連續(xù)不一定可導(dǎo)蛮艰，導(dǎo)數(shù)的幾何解釋就是切線。但是我們可以在-1 到 1的 開(kāi)區(qū)間上定義這樣一個(gè)函數(shù)雀彼，當(dāng)定義域?yàn)橛欣頂?shù)時(shí)壤蚜，值域是 sin，當(dāng)定義域?yàn)闊o(wú)理數(shù)時(shí)徊哑，值域是 tan仍律。顯然不連續(xù)。但是在定義域取 0 的時(shí)候实柠，導(dǎo)數(shù)所定義的那個(gè)極限是存在的……，誰(shuí)能幫我把我說(shuō)的這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)推翻了善涨？整個(gè)函數(shù)窒盐，只有在 0 處才連續(xù)。

一階導(dǎo)數(shù)刻畫斜率钢拧，速率蟹漓，正負(fù)號(hào)區(qū)分單調(diào)性，極值點(diǎn)源内，即速度的方法轉(zhuǎn)換點(diǎn)葡粒，二階導(dǎo)數(shù)刻畫突度，加速度膜钓，拐點(diǎn)嗽交，即加速度的方向轉(zhuǎn)換點(diǎn)。在機(jī)器學(xué)習(xí)和最優(yōu)化里颂斜，有太多的學(xué)習(xí)最終穩(wěn)定在了極值點(diǎn)里夫壁，沒(méi)有到達(dá)最值點(diǎn)。

另外一個(gè)沃疮，在極坐標(biāo)系下盒让，導(dǎo)數(shù)的意義就變成了曲率。將極坐標(biāo)變換為笛卡爾坐標(biāo)司蔬，曲率意味著曲線的彎曲程度邑茄，彎曲的越厲害，說(shuō)明二階導(dǎo)數(shù)作用非常大俊啼。放在物理里的加速度上講肺缕，就是力的作用大。

四、 微分

微分是在導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)上的一個(gè)操作步驟搓谆，其基本思想是在無(wú)限短的區(qū)間段上炒辉，用導(dǎo)數(shù)所代表的斜率去構(gòu)成的三角形去近似真正的曲線。三角形用到了直線泉手，而一階導(dǎo)數(shù)就是刻畫直線黔寇，在此條件下，近似成立斩萌；反之缝裤，如果是刻畫二階微分，則用直線不可行颊郎，還必須考慮到二階小量憋飞。盡管是近似，但是當(dāng)取值到極限的時(shí)候姆吭，就是真實(shí)值榛做。由于微分從導(dǎo)數(shù)而來(lái)，所以微分也有各種復(fù)合運(yùn)算求導(dǎo)法則内狸〖烀校可微的本質(zhì)含義就是可以去使用直線近似，所以昆淡，可微的條件就是滿足近似锰瘸，與真實(shí)值的差值是一個(gè)高階無(wú)窮小量。

拉格朗日中值定理昂灵，也叫有限增量定理避凝。從幾何直觀上，不難理解眨补，微分是用直線進(jìn)行近似管削，而拉格朗日中值定理指出了在曲線的每一處變化的導(dǎo)數(shù)上，進(jìn)行平均撑螺，一定得到直線對(duì)應(yīng)的斜率值佩谣，這個(gè)值就是中值。其本質(zhì)就是算數(shù)平均实蓬。在工程上茸俭，有大量的問(wèn)題最后的求解就是解一個(gè)非常龐大的方程組。這時(shí)就需要根據(jù)中值定理首先將方程組或方程的解分隔安皱，或做切線调鬓、割線，縮小解的范圍酌伊，得到一個(gè)解的近似值腾窝。

洛必達(dá)法則也有一套幾何形象化理解：分?jǐn)?shù)線上下的兩個(gè)函數(shù)各有一個(gè)導(dǎo)數(shù)缀踪，當(dāng)從附近鄰域趨近極限點(diǎn)時(shí)，劃分一個(gè)極小的區(qū)間段虹脯，由于可以使用直線近似曲線驴娃，該段的斜率值一定正比于當(dāng)前的函數(shù)取值，所以循集，洛必達(dá)法則成立唇敞。

五、 泰勒展開(kāi)

泰勒展開(kāi)式給出了在函數(shù)的給定定義域值的附近咒彤，如何根據(jù)導(dǎo)數(shù)和微分的這種近似和極限取值疆柔，而且使用了高階導(dǎo)數(shù)來(lái)確定取值，來(lái)得出近似的多項(xiàng)式镶柱。同樣地旷档，泰勒也可以從近似得到極限，最終泰勒展開(kāi)式是一個(gè)恒等式歇拆。不過(guò)鞋屈，泰勒展開(kāi)一定強(qiáng)調(diào)在鄰域中，微分的近似一定是基于導(dǎo)數(shù)存在故觅，極限存在這一基礎(chǔ)的谐区。如果極限不存在，那么泰勒展開(kāi)無(wú)效逻卖。

根據(jù)泰勒展開(kāi)，所有初等函數(shù)都是一回事昭抒，我們可以用多項(xiàng)式冪函數(shù)替換為三角函數(shù)评也，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)灭返，總而言之盗迟，這些都是函數(shù)之間的線性變換。由于我們理論上可以認(rèn)為冪函數(shù)的冪有無(wú)限個(gè)熙含，但實(shí)際上無(wú)法取到罚缕。所以泰勒展開(kāi)的意義仍然是近似，近似的差值叫做高階的皮亞諾余項(xiàng)怎静。

六邮弹、 不定積分

不定積分完全是求導(dǎo)的逆運(yùn)算，所謂的不定蚓聘，是指求導(dǎo)逆運(yùn)算得到的結(jié)果數(shù)量不唯一腌乡。而且，根據(jù)不定積分和求導(dǎo)的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)看夜牡，這兩個(gè)過(guò)程都是線性變換与纽。滿足線性變換的所有性質(zhì)。教課書中介紹了各種各樣的積分換元法，
所謂的換元就是換坐標(biāo)基急迂，線性變換本質(zhì)不變性保證了換元法可以行得通影所，在微積分中，換元的意思就是復(fù)合函數(shù)僚碎，combination猴娩，也就是矩陣乘法，在這里听盖，復(fù)合函數(shù)和矩陣乘法形成了統(tǒng)一胀溺。

七、 定積分

定積分的幾何意義在于給定函數(shù)皆看，積分所要計(jì)算的函數(shù)是確定的仓坞，確定性來(lái)源于坐標(biāo)系的確定。定積分的幾何意義就是函數(shù)與x軸夾成的面積腰吟，且這個(gè)面積具有方向性无埃，方向性針對(duì)x軸和y軸都成立，這里的面積是個(gè)抽象概念毛雇，而非慣常理解的占地面積嫉称。

定積分的中值定理本質(zhì)上也是算數(shù)平均，幾何上講就是用一個(gè)等效的方形去替代函數(shù)與x軸夾成的面積灵疮。

八织阅、 空間解析幾何

在線性代數(shù)中定義了向量，向量是線性空間的所有元素震捣。而在書中介紹的空間解析幾何荔棉，又把向量這一概念具象為一組數(shù)字。

兩個(gè)向量的數(shù)量積的本質(zhì)我認(rèn)為已經(jīng)脫離的乘法的范疇蒿赢，它指的是兩個(gè)向量在同一個(gè)方向上最大的距離的乘積润樱，這一點(diǎn)和投影然后相乘是一致的，投影就是找到保證最大值的同一方向的過(guò)程羡棵。數(shù)量積本身和方向并無(wú)關(guān)系壹若，但是只有在確定的方向上，投影皂冰，然后數(shù)量積才能達(dá)到最大店展。當(dāng)兩個(gè)向量垂直時(shí)，數(shù)量積為0秃流，就是說(shuō)不論在哪個(gè)方向上壁查，兩個(gè)向量都找不到共同點(diǎn)，這個(gè)共同點(diǎn)由向量夾角的余弦刻畫剔应。

向量積屬于電磁學(xué)應(yīng)用最典型的地方睡腿。兩個(gè)向量的向量積语御，其方向指向與兩方向垂直的方向。也就是說(shuō)席怪，我們討論的線性空間应闯，除了向量之間的變換外，向量和向量之間也有各種各樣的關(guān)系挂捻。

在整個(gè)書中討論空間解析幾何的過(guò)程中碉纺，不論是確定一條直線也好，確定一個(gè)平面也好刻撒，始終是靜態(tài)的骨田，也就是說(shuō)，我們始終都沒(méi)有使用矩陣這種東西声怔，而一直在利用方程和方程組态贤。當(dāng)討論旋轉(zhuǎn)和球面、柱面的時(shí)候醋火，我們用到了線性代數(shù)悠汽，這時(shí)，選取的坐標(biāo)基變了芥驳，當(dāng)然柿冲，秩不變，空間的秩始終都是3兆旬。旋轉(zhuǎn)和球假抄、柱等曲面在笛卡爾系下，一定是二次的丽猬，在變換坐標(biāo)系后宿饱，算式簡(jiǎn)潔，只有一次宝鼓。坐標(biāo)系之間的變換一定可以用一個(gè)矩陣來(lái)表示。

在所有的二次曲線或曲面當(dāng)中巴刻，圓是核心愚铡。

九、 從一元到多元

在微積分中胡陪，函數(shù)從一元變?yōu)槎嘣罅ち龋瑥臉O限、導(dǎo)數(shù)柠座、微分邑雅、到積分等等，整個(gè)概念都進(jìn)行了擴(kuò)充妈经。這種擴(kuò)充從幾何的角度講淮野，是從直線到平面的擴(kuò)充捧书，x和y都變成了自變量，z成了輸出變量骤星。在這種情況下经瓷，任何二元初等函數(shù)的圖像都是某種優(yōu)美的曲面，似乎x和y之間存在著什么聯(lián)系洞难。但事實(shí)上舆吮，x和y之間不存在任何聯(lián)系。由于介入到了空間和平面的概念队贱，我們很容易聯(lián)想到向量方向這一概念色冀，它可以有效地幫助我們理解多元函數(shù)和多元微積分，但是x和y僅僅是多元柱嫌，并沒(méi)有方向性锋恬。

偏微分容易使人聯(lián)系到方向的概念，在x方向上的微分為x偏微分慎式，在y方向上的微分為y偏微分伶氢。經(jīng)過(guò)兩個(gè)方向的偏微分先后順序可以不變。
全微分的概念正是因偏微分而來(lái)瘪吏，其道理同樣是近似癣防。在幾何上，仍然用三角來(lái)刻畫擬合的程度掌眠。偏導(dǎo)數(shù)存在是全微分成立的必要條件蕾盯，而偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)則是充分條件。此時(shí)全微分必然由x和y方向上的微小量dx和dy刻畫蓝丙，缺一不可级遭。同樣的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)也是一個(gè)嵌套過(guò)程，全導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是一元導(dǎo)數(shù)渺尘，所謂的二元成了中間變量挫鸽，只是代換的一個(gè)步驟。二元函數(shù)不存在全導(dǎo)數(shù)鸥跟，只有偏導(dǎo)數(shù)丢郊。

另外，隱函數(shù)僅僅是普通函數(shù)的方便寫法医咨，類似于貴賓犬的梳毛方式?jīng)Q定了它有時(shí)候也叫泰迪枫匾。

我之前說(shuō)過(guò)在多元中，變量之間并無(wú)任何聯(lián)系拟淮，而方向?qū)?shù)的含義則是x量和y量的不同組合干茉，從幾何上可以理解為方向。在討論偏微分的時(shí)候很泊，我們可以假想x方向和y方向是完全不相關(guān)的兩個(gè)方向角虫。但是當(dāng)組合的量不一樣的時(shí)候沾谓，方向出現(xiàn)了，同樣的在方向?qū)?shù)中上遥，方向的定義僅僅是x和y軸上的余弦值組合搏屑，除此之外再無(wú)含義。從二元擴(kuò)展到多元粉楚，已經(jīng)不能再用形象化的方向來(lái)定義了辣恋，高維空間中，方向僅僅是余弦值組合模软。

梯度指一個(gè)向量伟骨，梯度與方向向量的數(shù)量積就是方向?qū)?shù)。方向?qū)?shù)刻畫了在某一方向上函數(shù)的變化率燃异，梯度的本質(zhì)含義就是變化率最快的方向携狭。如果梯度按照梯度方向求方向?qū)?shù)的話，其值一定是最大的回俐。也就是說(shuō)逛腿，在某一點(diǎn)的各個(gè)方向上，只有沿著梯度方向仅颇，變化最劇烈单默。梯度的模就是最大的方向?qū)?shù)。

在多元函數(shù)中忘瓦，極值同樣由導(dǎo)數(shù)確定搁廓，只不過(guò)，此時(shí)的導(dǎo)數(shù)為兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)耕皮。當(dāng)極值存在時(shí)境蜕，兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)一定等于0，反之則不一定凌停。根據(jù)駐點(diǎn)的定義粱年，極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，而駐點(diǎn)不一定就是極值點(diǎn)罚拟。駐點(diǎn)的意思是就是斜率停駐台诗，為0，但是并非為0就一定是極值點(diǎn)舟舒，這在一元三次函數(shù)中就有體現(xiàn)拉庶。需要注意的是二元函數(shù)極值點(diǎn)判定充分條件定理嗜憔。

最小二乘：用經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)求得經(jīng)驗(yàn)函數(shù)來(lái)擬合真實(shí)函數(shù)的手段秃励，實(shí)際上就是計(jì)算方差最小。

二重積分和三重積分很好理解吉捶，可以看到積分的意義就是按照在坐標(biāo)軸上函數(shù)的變換進(jìn)行累積夺鲜。相應(yīng)的皆尔，曲線積分和曲面積分則不是按照坐標(biāo)軸來(lái)，它自行規(guī)定了一個(gè)曲線或曲面币励。盡管比較困難慷蠕，我們?nèi)匀豢梢钥吹剑€或曲面仍然是在坐標(biāo)系下的食呻，所以可以轉(zhuǎn)換到方便處理的坐標(biāo)系下來(lái)求解流炕。對(duì)于曲面和曲線積分的 格林公式的本質(zhì)有兩個(gè)二元函數(shù)，這兩個(gè)函數(shù)毫無(wú)關(guān)聯(lián)仅胞，但是兩個(gè)函數(shù)在一起可以組成一個(gè)場(chǎng)每辟，一個(gè)二元函數(shù)或或多元函數(shù)組成一個(gè)數(shù)量場(chǎng)，而一組這樣的函數(shù)就是一個(gè)向量場(chǎng)干旧，所以渠欺，格林公式實(shí)際上在描述一個(gè)場(chǎng)，放在物理里面這個(gè)叫力場(chǎng)椎眯、電場(chǎng)挠将、磁場(chǎng)。在場(chǎng)存在的前提下编整，格林公式的本質(zhì)就是向量場(chǎng)的基本性質(zhì)舔稀，通過(guò)曲面的通量等于其邊界曲線上散度的積分。

在任意向量場(chǎng)中闹击，通量是單位時(shí)間通過(guò)某個(gè)曲面的量镶蹋；散度是某個(gè)點(diǎn)的通量強(qiáng)度；環(huán)流量是單位時(shí)間內(nèi)環(huán)繞某個(gè)曲線的量赏半，旋度是環(huán)流量的強(qiáng)度贺归。如果不搞流體力學(xué)、物理學(xué)断箫、電磁場(chǎng)之類的東西拂酣，格林公式就是不好理解。

在場(chǎng)的概念基礎(chǔ)上仲义，又提出了保守場(chǎng)婶熬，也就是場(chǎng)中的功只與位置有關(guān)，而與路徑無(wú)關(guān)埃撵，重力場(chǎng)就是這樣的赵颅，所做的功僅僅與移動(dòng)了多少高度有關(guān)。

與格林公式相呼應(yīng)暂刘，高斯公式和斯托克斯公式應(yīng)運(yùn)而生饺谬。高斯公式中將向量場(chǎng)擴(kuò)展到了空間，其意義和格林公式類似谣拣∧颊總體來(lái)說(shuō)族展，我花了不少的文字在寫向量場(chǎng)有關(guān)的積分，事實(shí)上我工作當(dāng)中接觸的并不多拔鹰，主要還是想把概念搞清楚仪缸。像散度、旋度這些概念列肢，首先定義就有些復(fù)雜恰画，我認(rèn)為一定是物理上先遇到這些問(wèn)題，然后微積分上給予了解決方法瓷马，否則锣尉，從曲線積分來(lái)看，數(shù)學(xué)實(shí)在沒(méi)有必要自己搞出來(lái)一大堆這樣復(fù)雜的東西决采。

十自沧、 無(wú)窮級(jí)數(shù)

級(jí)數(shù)的概念與數(shù)列和極限非常靠近树瞭，針對(duì)數(shù)列的收斂完全適用于級(jí)數(shù)拇厢。
在一般性的無(wú)窮級(jí)數(shù)中，冪級(jí)數(shù)有特定的性質(zhì)晒喷，它規(guī)定了一個(gè)變量x孝偎，根據(jù)其冪的無(wú)限次增長(zhǎng)，存在收斂半徑和收斂域凉敲、收斂值衣盾。很明顯，這和泰勒展開(kāi)是一個(gè)東西爷抓，只不過(guò)又起了個(gè)名字势决。相對(duì)于其它初等函數(shù)，冪級(jí)數(shù)的求解最為方便蓝撇，這也是為何把其它函數(shù)改為冪函數(shù)果复，而非別的函數(shù)的原因。相反渤昌，在信號(hào)和電磁中虽抄，三角函數(shù)就成了公認(rèn)的方便處理的基本函數(shù)了，此時(shí)的展開(kāi)就不是泰勒級(jí)數(shù)了独柑，而是傅里葉級(jí)數(shù)迈窟。在信號(hào)當(dāng)為離散函數(shù)時(shí)，傅里葉級(jí)數(shù)有效忌栅；連續(xù)函數(shù)時(shí)车酣，就用到了積分和極限思想，用傅里葉變換來(lái)解決；但是骇径，即便為離散時(shí)，傅里葉級(jí)數(shù)也用的較少者春，轉(zhuǎn)而用Z變換破衔。

十一、復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)是我感覺(jué)給人沖擊最強(qiáng)烈的部分钱烟。讀書時(shí)候我學(xué)的最好的一門數(shù)學(xué)課是復(fù)變函數(shù)晰筛。

復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)域的擴(kuò)充，在實(shí)數(shù)域拴袭，所有的數(shù)都是標(biāo)量读第，但是負(fù)數(shù)中的負(fù)號(hào)是一個(gè)比較特例的存在，作為標(biāo)量拥刻，仍然存在一個(gè)負(fù)號(hào)怜瞒，表示相反，這個(gè)負(fù)號(hào)在數(shù)學(xué)中的意義異常廣泛般哼，在導(dǎo)數(shù)中吴汪，負(fù)號(hào)表示函數(shù)單調(diào)遞減，線性代數(shù)中蒸眠，特征值負(fù)號(hào)表示特征向量向相反方向拉伸或縮減漾橙。也就是說(shuō)，盡管實(shí)數(shù)是標(biāo)量楞卡，但是負(fù)號(hào)的存在指示了相反的方向霜运。反方向也就是180度。

復(fù)數(shù)就是在此基礎(chǔ)上的擴(kuò)充蒋腮，它引入了單位虛數(shù)i淘捡，一個(gè)i表示90度，兩個(gè)i相乘表示180度池摧，正好等于一個(gè)負(fù)號(hào)案淋。也就是說(shuō)，復(fù)數(shù)的意義在于將標(biāo)量的數(shù)徹底轉(zhuǎn)化為帶有方向的數(shù)险绘。從坐標(biāo)系的角度講踢京，實(shí)數(shù)域中，所有的數(shù)都是在一個(gè)固定好的笛卡爾系中宦棺，整個(gè)空間平面都是平的瓣距，直的。但是引入復(fù)數(shù)之后代咸，所謂的線性從直觀上就消失了蹈丸。比如復(fù)函數(shù) y =（3+4i）x 這樣的所謂一元一次線性函數(shù)，所得到的結(jié)果一定不是直線。由于輸入是復(fù)數(shù)逻杖，輸出是復(fù)數(shù)奋岁，所以不方便畫一個(gè)函數(shù)圖像，但肯定的是荸百，即便輸入是直線闻伶，但是輸出之后，圖像一定發(fā)生了彎折够话。此外蓝翰，復(fù)數(shù)有兩種表示法，一種是實(shí)數(shù)加虛數(shù)女嘲，另外一種就是范數(shù)乘以e的角度虛數(shù)次方畜份。而后者才是復(fù)數(shù)的真正本身，前者只是坐標(biāo)系的一種刻畫方法欣尼。故爆雹，復(fù)數(shù)的本質(zhì)就是伸縮與旋轉(zhuǎn)。

由于復(fù)數(shù)是從實(shí)數(shù)域擴(kuò)充而來(lái)的愕鼓，所以e顶别，i，等的定義是與實(shí)數(shù)保持一致的拒啰，在實(shí)數(shù)指數(shù)運(yùn)算中驯绎，有e的x次方乘e的y次方等于e的x+y次方，根據(jù)擴(kuò)充前后的一致性谋旦，這條在復(fù)數(shù)域也同樣適用剩失，且完美展示了復(fù)數(shù)的本質(zhì)含義，這不再是一個(gè)隨著次數(shù)越來(lái)越大册着，值變得無(wú)限大的指數(shù)函數(shù)拴孤，而成了一個(gè)繞著復(fù)平面上單位圓不斷旋轉(zhuǎn)的函數(shù)。指數(shù)項(xiàng)就是角度甲捏，系數(shù)項(xiàng)就是伸縮倍數(shù)演熟。所以，復(fù)數(shù)的加法就是在原數(shù)基礎(chǔ)上再旋轉(zhuǎn)多少度司顿，再增加多少長(zhǎng)度芒粹。復(fù)數(shù)的乘法就是按一定比例旋轉(zhuǎn)，而非按確定的度數(shù)旋轉(zhuǎn)大溜。所以化漆，復(fù)數(shù)的加法不改變平面，而乘法則是將整個(gè)復(fù)平面壓縮或者擴(kuò)張钦奋，看起來(lái)好像復(fù)平面是一塊非常有彈性的布座云。

歐拉公式有兩種表示法疙赠，一種是指數(shù)和三角函數(shù)的表示，單位指數(shù)的虛數(shù)次方等于復(fù)平面上的三角函數(shù)值朦拖。歐拉公式是將復(fù)數(shù)的兩種表示法畫等號(hào)的橋梁圃阳。

另一種確定性的歐拉函數(shù)，直接將角度值標(biāo)為pi璧帝，則取值為-1捍岳，這個(gè)公式把e，pi裸弦，-1，0作喘，i這幾個(gè)數(shù)學(xué)中非常關(guān)鍵的東西聯(lián)系在了一起理疙，從幾何出發(fā)，它還包含了圓和三角泞坦，這也是幾何中最重要的圖形窖贤。

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